2-25微积分笔记

线性微分方程解的结构

关于线性微分方程

形如

$$y^{(n)}+p_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(x)y^{(1)}+p_n(x)y = f(x)$$
称为$n$阶线性微分方程。特殊地，当$f(x)\equiv 0$时，称之为$n$阶线性齐次微分方程。
而当$f(x)$不恒为0时，称为$n$阶线性非齐次方程。

用算子$L$来表达上面的式子。令：

$$L(y)=y^{(n)}+p_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(x)y^{(1)}+p_n(x)y$$
$$L=\frac{d^n}{dx^n}+p_1(x)\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}+\cdots +p_{n-1}(x)\frac{d}{dx} + p_n(x)$$

则线性微分方程可以写成$L(y)=f(x)$，齐次微分方程可以写成$L(y)=0$.

$L(y)=0$的解的结构

【定理1：解的存在唯一性定理】若$p_i(x)~(i=1\dots n),f(x)$在某区间$I$上连续，则初值问题

$$\begin{cases}L(y)=f(x) \\ y|_{x_0}=y_0,\cdots,y^{(n-1)}|_{x_0}=y_0^{(n-1)} & (x_0 \in I)\end{cases}$$
在$I$存在唯一解。
【定理2：齐次方程解的线性性】若$y_1,y_2$为$L(y)=0$的解，则$y=c_1y_1+c_2y_2$为$L(y)=0$的解。这源于算子$L$的线性性质。容易验证：

• $L(y_1+y_2)=L(y_1)+L(y_2)$
• $L(k\cdot y_1)=k\cdot L(y_1)$

由线性性可以马上得出：若$y^*$是非齐次方程的特解，$Y$是对应齐次方程的解，则$L(Y+y^*)=L(Y)+L(y^*)=L(y^*)=f(x)$.从而得到：

非齐次方程的通解，就是对应齐次方程的通解加上一个特解。

【定义1：线性相关与线性无关】若$y_1,\cdots ,y_n$为定义在某区间$I$上的函数（组），若存在一组不全为0的常数$k_1,\cdots ,k_n$，使得$k_1y_1+k_2y_2+\cdots +k_ny_n\equiv 0(\forall x\in I)$，则称$y_1,\cdots ,y_n$线性相关；否则称它们线性无关。

朗斯基行列式

【定义2：朗斯基行列式】若$y_1,\cdots , y_n$为定义在某区间$I$上的函数（组），且在$I$上具有$n-1$阶导数，则称

$$w(x)=w(y_1,\cdots ,y_n)=\left|\begin{array}{cccc} y_1 & \cdots &y_n \\ y_1' &\cdots& y_n' \\ \cdots &\cdots & \cdots\\ y_1^{(n-1)}&\cdots &y_n^{(n-1)} \end{array}\right|$$
为朗斯基行列式，其中$x\in I$.

【定理3】若$y_1,\cdots ,y_n$定义在$I$上，为$L(y)=0$的解，则

• 任意组$y_1,\cdots , y_n$线性相关，当且仅当$w(x)\equiv 0$
• 方程的解组$y_1,\cdots , y_n$线性无关，等价于$\forall x\in I,w(x)\neq 0$

第二条指出：线性无关的解组$w(x)$没有任何零点；而第一条的逆否只要求$w(x)$不恒等于0，即可判断一个组线性无关。
对于解组，只要有了任意一点不为0，那么它线性无关，所有的点都不可能是0.

判断线性相关性

简单情况的举例：$y_1,y_2$为$I$上的函数，由定义式$k_1y_1+k_2y_2=0$可以推出：

• 若$y_1/y_2$为常数，则$y_1,y_2$在$I$上线性相关。
• 若$y_1/y_2$不为常数，否则线性无关。

【定理4】对于初值问题，若找到了解$y_1,\cdots ,y_n$，使得

$$\begin{cases}L(y)=0 \\ y_1|_{x_0}=1,y_1'|_{x_0}=0,\cdots,y_1^{(n-1)}|_{x_0}=0 \\ y_2|_{x_0}=0,y_2'|_{x_0}=1,\cdots,y_2^{(n-1)}|_{x_0}=0 \\ \cdots \\ y_n|_{x_0}=0,y_n'|_{x_0}=0,\cdots,y_1^{(n-1)}|_{x_0}=1 \end{cases}$$
这些组的朗斯基行列式有$w(x_0)=1\neq 0$，从而$y_1,y_2\cdots y_n$线性无关，也就是说，它们可以作为基来生成整个解空间。

【定义3】若$y_1,\cdots,y_n$定义在某区间$I$上，为$L(y)=0$的解，且线性无关，则称$y_1,\cdots ,y_n$为齐次方程$L(y)=0$的基本解组。

【定理5：齐次方程的通解】若$y_1,\cdots ,y_n$为$L(y)=0$的基本解组，则$y=c_1y_1+\cdots +c_ny_n$是$L(y)=0$的通解。

下面是一个简短的说明。
一、我们构造出来的东西，是$L(y)=0$的解。这是显然的。
二、我们构造出来了$L(y)=0$所有的解。也就是说：任给解$y$，它都可以由基本解组线性表示。证明如下：
对$x_0\in I$，设$y|_{x_0}=y_0,y'|_{x_0}=y_0'\cdots$
则有

$$k_1 y_1(x_0)+k_2y_2(x_0)+\cdots k_ny_n(x_0)=y_0=y|_{x_0} \\ k_1 y_1'(x_0)+k_2y_2'(x_0)+\cdots k_ny_n'(x_0)=y_0'=y'|_{x_0} \\ \cdots\\ k_1y_1^{(n-1)}(x_0)+\cdots +k_ny_n^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}$$

以下证明需要重做！！！！！

考虑朗斯基行列式，$w(x_0)\neq 0$