11-30 微积分笔记

定积分第一换元

不定积分：$\int f[g(t)]g'(t)dt = F[g(t)]$

定积分：

$$\int_a^bf[g(t)]g'(t)dt = F[g(t)] \Bigg|_a^b$$

定积分分部积分

不定积分：$\int udv = uv -\int vdu$

定积分：

$$\int_a^b f'(x)g(x)dx = f(x)g(x)\Bigg|_a^b - \int_a^b f(x)g'(x)dx$$

【例1】

$$\int_0^{\pi/2} x\sin x dx = -x\cos x\Bigg|_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2}\cos x dx = \sin x \Bigg |_0^{\pi/2}=1$$

定积分第二换元

若$f(x)$连续，$F'(x)=f(x)$，$x=g(t)$，$g(\alpha)=a,g(\beta)=b$，则

$$\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)=F(g(\beta))-F(g(\alpha))$$
$$\int_\alpha^\beta f[g(t)]g'(t)dt=F[g(t)]\Bigg |_\alpha^\beta = F(g(\beta))-F(g(\alpha))$$

因此有：

$$\int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f[g(t)]g'(t)dt$$

譬如罢，

$$\int_0^2 f(x)dx = \int_0^2 f(\sin t)d\sin t=\int_{\arcsin 0}^{\arcsin 2}f(\sin t)\cos t dt$$

有时候，如果特定的上下限对我们有利，那么可以尝试通过第二换元，来改变上下限。这是后话。

【例1】

$$\int_0^a \sqrt{a^2-x^2}dx$$
取$x=a \sin t$
$$* = \int_0^a a \cos t d(a\sin t) = a^2 \int_0^{\pi/2} \cos ^2t \text dt = \frac{\pi}{4} a^2$$
这符合其定积分的几何意义：半径为$a$的圆，在第一象限内的面积。

周期函数的一些性质

若$f(x)=f(x+T)$，则从几何上很明显有：

$$\int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^Tf(x)dx$$
反正都是走过一个周期。下面给出证明。

$$\int_a^{a+T} f(x)dx =\int_a^0 +\int_0^T + \int_T^{a+T}$$
因此只需证 $$\int_0^a f(x)dx = \int_T^{a+T} f(x)dx$$
积分上下限不同，因此考虑利用第二换元来搞相同。

考虑平移变换$t=x-T,x=t+T$.

$$\int_T^{a+T}f(x)dx= \int_0^af(t+T)dt=\int_0^af(t)dt$$
证毕。

马上可以推出另一个性质：

$$F(x+T)=F(x)+\int _0^T f(x)dx$$

如果$F(T)=F(0)$，那么$F(x)$也是周期函数。例如$f(x)=\cos x$.

奇偶函数的原函数

既然奇函数有$f(-x)=-f(x)$，则

$$F(x)=\int_0^x f(t)dt +C$$
$$F(-x)=\int_0^{-x}f(t)dt +C$$
考虑反变换$u=-t,t=-u$
$$F(-x)=-\int_0^xf(-u)du +C = F(x)$$

得到结论：奇函数的积分是偶函数。

偶函数：

$$F(-x)=-\int _0^xf(u)du +C =-F(x)$$

结论：若$C=0$，则为奇函数，否则非奇非偶。

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上下限互为相反数

对于所有可积函数都有

$$\int_{-a}^a f(x)dx= \int_{-a}^0 f(x)dx + \int_0^a f(x)dx =-\int_a^0f(-x)dx + \int_0^a f(x)dx$$
$$= \int_0^a[f(-x)+f(x)]dx$$

因此：
若$f(x)$为奇函数，则$\int_{-a}^a f(x)dx=0$
若$f(x)$为偶函数，则$\int_{-a}^a f(x)dx=2\int_0^a f(x)dx$

【例1】 $\int_{-2}^2\arctan x e^{x^8}dx$
被积函数是奇函数，故答案为0.

【例2】

$$\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{\cos x}{1+e^x}dx=\int_0^a [f(-x)+f(x)]dx$$
$$*=\int_0^{\pi/4}\cos x dx = \frac{\sqrt 2}{2}$$

换上下限

我们尝试把$\int_a^b$换成$\int_b^a$.加负号没有很大意义，我们试着采用第二换元。
考虑对称变换$a+b-x=t$。

$$\int_0^{\pi/4}\ln(1+\tan x)dx = \int^{0}_{\pi/4}\ln [1+\tan(\frac{\pi}{4}-t)]dt$$
$$* = \int_0^{\pi/4} \ln(1+\frac{1-\tan t}{1+\tan t})dt=\int_0^{\pi/4}[\ln(2)-\ln(1+\tan t)]dt$$
$$*=\frac{\pi}{4}\ln 2-\int_0^{\pi/4}\ln(1+\tan t)dt$$

有

$$ans = \frac{\pi}{4} - ans$$
得到$ans=\frac{\pi}{8}$.

几个公式

一、若$f(x)\in C[0,1]$，则

$$\int_0^{\pi/2}f(\sin x)dx=\int_0^{\pi/2}f(\cos x)dx$$

$$\int_0^\pi xf(\sin x)dx = \frac\pi2\int_0^\pi f(\sin x)dx = \pi \int_0^{\pi/2}f(\sin x)dx$$