10-29 微积分笔记

前情回顾

Langrange余项：要求$f(x)$在$x_0$的邻域内$n+1$阶可导。

则$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}$

现在来证明。

给它变形：

$$\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}}=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$$

由于$R_n(x_0)=0$，故即证：

$$\frac{R_n(x) - R_n(x_0)}{(x-x_0)^{n+1} - (x_0-x_0)^{n+1}}=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$$

根据柯西中值定理，存在$\xi$使得：

$$\frac{R_n(x) - R_n(x_0)}{(x-x_0)^{n+1} - (x_0-x_0)^{n+1}}=\frac{R_n'(\xi _1)}{(n+1)(\xi_1 - x_0)^n}$$

再来执行一次变形：

$$\frac{R_n'(\xi _1)}{(n+1)(\xi_1 - x_0)^n} = \frac{R_n'(\xi_1)-R_n'(x_0)}{(n+1)(\xi_1-x_0)^n - (n+1)(x_0-x_0)^n}$$

如法炮制，最后：

$$ans = \frac{R_n^{(n)}(\xi_n) - R_n^{(n)}(x_0)}{(n+1)\cdot n \cdot (n-1)\cdots 2(\xi_n-x_0) - (n+1)!(x_0-x_0)}=\frac{R_n^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$$

我们之前已经说过，$R_n$与$f$这两个函数，它们高于$n$阶的导数将会相等。因此我们推出了拉格朗日余项。

Macllaurin公式

在$x_0=0$处有：

$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}$$

其中$\xi$介于$x$与$x_0$之间。

几个例子

一、$e^x$的麦克劳林公式

$$e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots + \frac{x^n}{n!} +\frac{e^{\xi}}{(n+1)!}x^{n+1}$$

二、$\sin x$

$$\sin x = x -\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} + \frac{\sin(\xi+\frac{2n+3}{2}\pi)}{(2n+3)!}x$$

三、$\cos x$

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} + \frac{\cos[\xi + (n+1)\pi]}{(2n+2)!}x^{2n+2}$$

$\sin x$与$\cos x$：正负交替；$\sin x$只剩下奇数项，$\cos x$只剩下偶数项。

四、$(1+x)^\alpha$

$$(1+x)^\alpha = 1+\alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots +\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n)(1+\xi)^{\alpha-n-1}}{(n+1)!}x^{n+1}$$

考虑$\alpha=-1$的情况。有：

$$\frac{1}{1+x} = 1 -x + x^2 -x^3+x^4-\cdots+(-1)^nx^n + o(x^n)$$

另有：

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+o(x^n)$$

五、$\ln(1+x)$

$$\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}-\cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n + \frac{(-1)^n}{(n+1)(1+\xi)^{n+1}}x^{(n+1)}$$

【例1】 求$xe^x$的麦克劳林公式。
解：有$f^{(n)}(x)=(x+n)e^x$，$f^{(n)}(0)=ne^0=n$，故有：

$$xe^x = x+\frac{2}{2!}x^2+\frac{3}{3!}x^3+\cdots = x+x^2+\frac{x^3}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{(n-1)!} + o(x^n)$$

【例2】 求$f(x)=\sin(\sin x)$在$x=0$处的三阶泰勒公式。
解：

$$f(x)=x -\frac{x^3}{3} + o(x^3)$$

泰勒公式的应用

近似计算

$$e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!} + \cdots +\frac{x^n}{n!} + \frac{e^\xi}{(n+1)!}x^{n+1}$$

现在我们来近似计算$e$.有：

$$e\approx 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}$$

希望误差不超过$10^{-5}$，那我们考虑余项:

$$R_n(1) = \left|\frac{e^\xi}{(n+1)!}\right| \leq \left| \frac{3}{(n+1)!}\right| \leq 10^{-5}$$
取个$n=9$估计差不多了。

求极限

【例1】

$$\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3} = \lim \frac{x-x+1/6x^3+o(x^3)}{x^3} = 1/6 + \lim\frac{o(x^3)}{x^3} = 1/6$$

【例2】

$$\lim_{n\to\infty}[n-n^2\ln(1+\frac1n)]=\lim \{n-n^2[(1/n)-\frac{(1/n)^2}{2}]\}=\lim[n-n+1/2]=1/2$$

【例3】 $x\to0$时，$\alpha = \sqrt{1-x^2+x^4}-\cos x$为$x$的$k$阶无穷小，求$k$.
解：考察

$$\frac{\sqrt{1-x^2+x^4}-\cos x}{x^k}=C \neq 0$$
展开$\sqrt{1-x^2+x^4}$，有：$\sqrt{1-x^2+x^4} = 1+\frac12(x^4-x^2)+\frac{0.5(-0.5)}{2!}(x^4-x^2)^2+o(x^4)$
而$\cos x = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$
故 $$\frac{\sqrt{1-x^2+x^4}-\cos x}{x^k} = \frac{[1/2-1/8-1/(4!)]x^4+o(x^4)}{x^k} = C \neq 0$$
故$k=4$.