11-14 微积分笔记

第一换元法

假设$f[g(x)]$连续，$g(x)$可导且导函数连续。

$\frac{d}{du}F(u)=f(u),\{F[g(x)]\}' = f[g(x)]g'(x)$

故 $\int f[g(x)]g'(x) \text dx = \int f[g(x)] \text d g(x)=\int f(u)\text du = F(g(x)) +c$

【第一换元法】 被积函数写成两个因子的乘积：一个是$g'(x)$，一个是$f[g(x)]$.
将$g'(x)dx$改写成$d g(x)$，令$g(x)=u$.
求$\int f(u)du$，再将$u=g(x)$代入。

【例1】

$$\int \frac{\ln x}{x}dx = \int \ln x \cdot 1/xdx=\int \ln x \cdot d\ln x = \frac{\ln^2 x}{2} +c$$

【例2】

$$\int 3x^2e^{x^3}dx = \int e^{(x^3)} d (x^3) = e^{x^3} +c$$

【常数凑微分】
$\int f(ax+b)dx = 1/a \int f(ax+b)d(ax+b) = \frac1a F(ax+b) +c$

【例1】

$$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx = \frac1{a^2} \cdot \int \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}dx = \frac1a \cdot \int \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}d(x/a) =\frac1a \arctan(\frac xa) +c$$

【例2】

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \int\frac{1}{a\sqrt{1-(x/a)^2}}dx = \int\frac{1}{\sqrt{1-(x/a)^2}}d(x/a) = \arcsin (\frac{x}{a}) +c$$

【例3】

$$\int \frac{1}{a^2-x^2}dx =\int \frac{1}{a+x} \cdot \frac{1}{a-x}dx = \int (\frac{1}{a-x} + \frac{1}{a+x})\frac1{2a}dx = \frac{1}{2a} =\frac{\ln |a+x| - \ln|a-x|}{2a}+c$$
$$=\frac1{2a}\ln\left| \frac{x+a}{x-a} \right| +c$$

$g(x)$与$g'(x)$不同类

一般会方便我们计算。称为显式凑微分。

例如：$g(x)=\ln x,\arcsin x,\arccos x , \arctan x,\text{arccot} x$

【例1】

$$\int \frac{\sin\ln x}{x}dx= \int \sin (\ln x)d\ln(x) = -\cos \ln x +c$$

【例2】

$$\int \frac{1}{(1+x^2)\arctan x}dx=\int \frac{1}{\arctan x} d \arctan x = \ln|\arctan x| +c$$

【例3】

$$\int \frac{\arctan x}{1+x^2} dx= \int \arctan x d \arctan x = \frac{\arctan^2x}{2} +c$$

$g(x)$与$g'(x)$同类

称为“隐式凑微分”法。例如：幂函数、指数函数、三角函数。

【例1】

$$\int \frac1{1+e^x} dx= \int \frac{1+e^x-e^x}{1+e^x}dx=\int1-\frac{e^x}{1+e^x} dx=x-\int \frac1{1+e^x} d(1+e^x) = x-\ln(1+e^x) +c$$

【例2】

$$\int \frac{x^3}{1+x^4}dx = \frac14 \int \frac{1}{1+x^4}d(x^4 +1) = \frac{\ln(1+x^4)}{4}+c$$

【例3】

$$\int \frac{x}{1+x^4}dx= \frac12 \int \frac{1}{1+(x^2)^2}d(x^2)=\frac12 \arctan x^2 +c$$

【例4】

$$\int \frac{x}{\sqrt{2x-x^2}}dx$$
注意到$\sqrt{2x-x^2}'=\frac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^2}}$

开始凑。

$$ans = -\frac12 \int \frac{(2-2x)-2}{\sqrt{2x-x^2}}dx = -\frac12 \int \frac{d(2x-x^2)}{\sqrt{2x-x^2}} + \int \frac{1}{\sqrt{2x-x^2}}dx$$
$$=-\frac12 \sqrt{2x-x^2}\cdot 2 +\int \frac{1}{1-(x-1)^2}d(x-1)=\arcsin(x-1) - \sqrt{2x-x^2} +c$$

【例5】

$$\int \tan x =\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=\int -\frac{1}{\cos x}d\cos x = -\ln |\cos x|+c$$

同理

$$\int \cot x dx = \ln|\sin x| +c$$

【例6】

$$\int \frac1{\cos x} dx = \int \frac{\cos x}{\cos^2x}dx = \int \frac{\cos x}{1-\sin^2x}dx = \int \frac{\cos x}{(1+\sin x)(1-\sin x)} dx$$
$$=\frac12 [\int \frac{\cos x}{1-\sin x}dx + \int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx]=\frac{1}{2} \ln \frac{1+\sin x}{1-\sin x} +c = \frac12 \ln\frac{(1+\sin x)^2}{\cos^2 x} +c =\ln|\frac{1+\sin x}{\cos x}| +c$$
$$=\ln|\tan x + \frac1{\cos x}| +c$$
利用诱导公式可以知道
$$\int \frac{1}{\sin x}dx=\int \frac{-1}{\cos(\frac\pi2 -x)}d(\frac\pi2-x) = - \ln |\tan (\frac\pi2-x)+\frac{1}{\cos(\frac\pi2-x)}|+c$$
$$=- \ln |\cot x + \frac{1}{\sin x}|+c$$