10-26 微积分笔记

Taylor公式

我们之前研究微分时，有这样一个估计公式：

$$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$

其中，近似计算的误差是$o(x-x_0)$.我们利用一次函数近似计算了函数值。

现在，我们希望降低误差。尝试利用多项式来拟合函数。

多项式的Taylor公式

$n$次多项式：$P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots + a_n(x-x_0)^n$
$n$次多项式是由系数决定的。把$a_i$称为多项式的系数。

下面研究$P_n$的导数。

$P_n'(x)=a_1+2a_2(x-x_0)+\cdots +na_n(x-x_0)^{n-1}$
$P_n''(x)=2a_2+3\cdot2a_3(x-x_0)+\cdots +n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}$
$\dots$
$P_n^{(n)}=n!a_n$

有$P_n(x_0)=a_0,P_n'(x_0)=a_1,P_n''(x_0)=2a_2\cdots P_n^{(n)}(x_0)=n! a_n$

也就是说，我们可以通过$P_n$的高阶导数值来确定系数：

$a_0=P_n(x_0)$
$a_1=P_n'(x_0)$
$a_2=\frac{1}{2}P_n''(x_0)$
$\dots$
$a_n = \frac{P_n^{(n)}(x_0)}{n!}$

亦即：

$$P_n(x) = P_n(x_0) + P_n'(x_0)(x-x_0) + \frac{P_n''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{P_n^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

这种表示方式，称为多项式的Taylor公式。亦即：

$$P_n = \sum_{i=0}^n \frac{P_n^{(i)}(x_0)}{i!}\cdot(x-x_0)^i$$

任意函数的Taylor公式

我们希望能以多项式来拟合任意函数。也就是说：

已知$f(x_0)$，已知$f'(x_0),f''(x_0)\cdots f^{(n)}(x_0)$，求一个多项式来拟合$f(x)$.

如果一个东西走得像鸭子，叫得像鸭子，那它就是鸭子（迫真）
如果一个函数$P_n$，在$x_0$处函数值等于$f$的，导数值也等于$f$的，二阶导数也等于$f$的……那$P_n$就很像是$f$了（确信）

$P_n(x_0)=f(x_0)$
$P_n'(x_0)=f'(x_0)$
$\dots$

由此可得

$$P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +\cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

误差分析

记误差为$R_n(x)$.则$R_n(x)=f(x)-P_n(x)$

那么则有

$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +\cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)$$

这就是$f(x)$在$x_0$处的Taylor公式。

$R_n(x)$：$f(x)$在$x_0$处的Taylor余项。

接下来我们讨论$R_n(x)$.

首先，$R_n(x_0)=0$，因为$x_0$处当然不存在误差。
此外，$R_n'(x_0)=R_n(x_0)$，这是因为$R_n(x)=f(x)-P_n(x)=0$，两边求导即可得到。总结起来：

$R_n(x_0)=R_n'(x_0)=R''_n(x_0)=\cdots = R_n^{(n)}(x_0)=0$

另外，若$f(x)$任意阶可导，则$R_n^{(n+1)}(x)=f^{(n+1)}(x)-P_n^{(n+1)}(x)=f^{(n+1)}(x)$
因此，$\forall k>n$有：$R_n^{(k)}(x)=f^{(k)}(x)$

Peano余项

类比微分，我们猜想，$R_n(x)=o(x-x_0)^n$.

【定理1】 设$y=f(x)$在$x_0$处$n$阶可导，则在$x_0$附近有：

$$R_n(x)=o(x-x_0)^n$$

亦即

$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +\cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o(x-x_0)^n$$

$R_n(x)$此时称为Peano余项。

【证明】只需证

$$\lim_{x\to x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n} = 0$$

直接采用洛必达法则搞下去。

故

$$\lim_{x\to x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n} = \lim \frac{R_n'(x)}{n(x-x_0)^{n-1}}=\cdots=\lim \frac{R_n^{(n-1)}(x)}{n!(x-x_0)}$$

注意这里不能直接再用洛必达。因为我们现在还没有说明不知道分子的极限是否存在。（条件只规定了$f(x)$有$n$阶可导，故$n$阶导未必连续，未必有极限）所以我们利用导数定义：

$$\lim_{x\to x_0} \frac{R_n^{(n-1)}(x)}{n!(x-x_0)} = \lim_{x\to x_0} \frac{R_n^{(n-1)}(x) - R_n^{(n-1)}(x_0)}{n!(x-x_0)} = \frac{R_n^{(n)}(x_0)}{n!}=0$$

这是因为：之前（余项的第一个性质）已经知道$R_n^{(n-1)}(x_0)=0$.故可以在分子上减去这一项，凑出导数的形式。

拉格朗日余项

【定理2：泰勒中值定理】 设$y=f(x)$在$x_0$邻域内$n+1$阶可导，则$\exists \xi$介于$x$与$x_0$之间，使得：

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}$$

这是拉格朗日余项。展开公式由此改写为：

$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +\cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}$$

称为Langrange中值公式。

$n=0$时，$f(x)=f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0)$，恰是拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理是泰勒中值定理的特殊情况。

我们考虑

$$|R_n(x)|=|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}|$$

如果有$|f^{(n+1)}(x)| \leq M$，则有：

$$|R_n(x)| \leq |\frac{M(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}|\leq \frac{|M a^{n+1}|}{(n+1)!}$$
其中，我们希望在$|x-x_0|<a$时展开函数（之前的Peano余项只是笼统地说在$x_0$附近）。

有

$$\lim_{n\to\infty} M \left |\frac{a^{n+1}}{(n+1)!} \right|=0$$

故$R_n(x)\to 0(n\to \infty)$.

想让误差$R_n$小，只需要多展开几次（提高$n$）。

麦克劳林公式

在$x_0$取0时，泰勒公式写为：

$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}$$

其中$R_n$采用了拉格朗日余项，$\theta \in(0,1)$.