连续

连续的定义

【定义1】 设$y=f(x)$在$x_0$的邻域内有定义，若$\lim _{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，则称$y=f(x)$在$x_0$处连续。

【定义2】 增量：令$\Delta x=x-x_0(x\neq x_0)$，称为$x$在$x_0$处自变量的增量。$\Delta y=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta)-f(x_0)$，称为$y=f(x)$在$x_0$处，由$\Delta x$引起的增量。

我们可以通过增量来定义连续：$\lim_{x\to x_0}[f(x)-f(x_0)]=0$，即$\lim_{\Delta x\to 0}\Delta y=0$.

也可以用$\epsilon-\delta$语言定义为：$\forall \epsilon>0 ,\exists \delta > 0 ,s.t.$当$|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$.
（把极限的概念抄一遍，去心邻域改成邻域）

也可以用左右极限定义为：$f(x_0^+)=f(x_0^-)=f(x_0)$.

连续一定有极限；有极限未必连续。但是，类似于左右极限，我们可以给出“左右连续”的定义。

【定义3】右连续：$f(x_0^+)=f(x_0)$，我们称之为$f(x)$在$x_0$处右连续。
左连续同理可定义。

【定义4】 区间连续：$f(x)$在$(a,b)$上连续，当且仅当$\forall x\in(a,b)$，都有$f(x)$于$x$点连续，则$f(x)$在$(a,b)$上连续。记为：$f(x)\in C(a,b)$。
其中，$C(a,b)$表示：在$(a,b)$上连续的全体函数的集合。

$f(x)$在$[a,b]$上连续，当且仅当$f(x)\in C(a,b)$，且在$a$右连续，在$b$左连续。
记为：$f(x)\in C[a,b]$.

半开半闭区间的连续：$f(x)\in C(a,b],f(x)\in C[a,b)$同理可定义。

【例】 已知：

$$f(x)=\begin{cases} \frac{\sin x}x, & x>0 \\ a, &x=0 \\ x\sin \frac 1 x +b, &x>0 \end{cases}$$
问：$a,b$取何值时，$f(x)$在$0$处有极限？
解：当且仅当$f(0^+)=f(0^-)=1$，故$b=1$，$a$任取。
问：$a,b$取何值时，$f(x)$在$0$处连续？
解：$b=1=a$

间断点

【定义】 设$y=f(x)$在$x_0$的去心邻域内或包括$x_0$在内的单侧邻域内有定义，若$y=f(x)$在$x_0$不连续，则$x_0$称为间断点。

“不连续”，也就是：$f(x_0^+)=f(x_0^-)=f(x_0)$不成立。

【分类】

• 第一类间断点：左右极限都存在
  
  • $f(x_0^+)=f(x_0^-)\neq f(x_0)$ 极限存在，但极限值不等于函数值（或者函数值不存在）。由于我们可以通过钦定$f(x_0)$的取值，使得$f(x)$在此点连续，故称为可去间断点。
  • $f(x_0^+)\neq f(x_0^-)$ 极限不存在（左右极限不相等），称为跳跃间断点。其中$f(x_0^+)-f(x_0^-)$称为“跃度”。
• 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在

【例1】判断下面函数的间断点

$$y=\frac {\sin x} x$$
在$x=0$处为可去间断点。
因为：左右极限都为$1$，而$0$这一点没有定义。可以钦定$f(0)=1$，函数就连续了。

【例2】

$$y=\frac2{1+e^{\frac 1 {x-1}}}$$
在$x=1$处，右极限为$0$，左极限为$2$，故为跳跃间断点。

【例3】

$$y=\begin{cases} \ln x, &x>0 \\ 1, &x=0 \end{cases}$$
$x=0$处属于第二类间断点。是无穷间断点。

【例4】

$$y=\tan x$$
在$x=\pi/2$时为第二类间断点，无穷间断点。

【例5】

$$y=\sin \frac 1 x$$
这个函数始终在$[-1,1]$范围内振荡，在$0$附近频率越来越快。
$x=0$处是间断点，由于函数在振荡，导致函数在$x=0$处无极限。称为振荡间断点。

连续函数的性质

【定理1】 若$f(x),g(x)$在$x_0$处连续，则$f(x) \pm g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)$在$x_0$处连续。（只要运算有意义）

【定理2】 若$y=f(u)$在$u_0$处连续，$u=g(x)$在$x_0$处连续，且$g(x_0)=u_0$，则$y=f(g(x))$在$x_0$处连续。

【定理3】 连续函数的反函数（如果存在）也是连续函数。

推论1：若$f(x)$连续，则$|f(x)|$也连续。
pf. $|f(x)|=\sqrt{f^2(x)}$，由$y=\sqrt u$，$u=v^2$，$v=f(x)$所复合。均为连续函数。

推论2：初等函数在其定义的区间内都是连续函数。

【例1】 讨论以下函数的连续性。

$$f(x)=\begin{cases}x^3+1, & |x|\leq 1 \\ e^{\frac 1 {x+1}}, &|x|>1\end{cases}$$
找出连续区间和间断点，并判断间断点类型。

解：首先可以注意到，函数至少在$(-\infty,-1),(-1,1),(1,+\infty)$是连续的。
考虑特殊点：$x=-1$，$f(-1^+)=0,f(-1^-)=0$，而$f(-1)=0$，故$x=-1$处连续。
$x=1$，$f(1^+)=\sqrt e,f(1^-)=2$，故$x=1$处为跳跃间断点，跃度为$\sqrt e - 2$.

综上。连续区间为：$(-\infty,1),(1,+\infty)$.
$x=1$处为跳跃间断点。

【例2】讨论：

$$f(x)=\lim_{n\to\infty}x^n$$

首先考虑这个函数的定义域。$f(x)$有定义，则$f(x)$有取值。$f(x)$仅在$x\in (-1,1]$取得到值（右式有极限），故$f(x)$定义域为$(-1,1]$.因此：

$$f(x)=\begin{cases}0, &x\in(-1,1) \\ 1 , & x=1\end{cases}$$
故$f(x)$在$(-1,1)$连续。
现在来讨论间断点。$x=-1$处不满足“间断点”定义的前提，所以不讨论。
$x=1$处为其第二类间断点，为可去间断点。

特殊定义：如果是第二类间断点，且钦定$f(x_0)$处的值之后，可以使得$f(x)$连续，则也称此类间断点为可去间断点。

【例3】 设$y=f(x)$满足$\forall x_1,x_2,f(x_1+x_2)=f(x_1)f(x_2)$，且于$0$处连续。证明：$y=f(x)$在$(-\infty,+\infty)$连续。

pf. 即证：$\forall x_0\in (-\infty,+\infty)$，都有$\lim_{\Delta x \to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)$.
根据条件有：$\lim_{\Delta x \to 0}f(x_0+\Delta x)=\lim f(x_0)f(\Delta x)=f(x_0) \lim f(\Delta x)=f(x_0)f(0)$

而$f(0+0)=f(0)\cdot f(0)$，有$f(0)=0$或$1$.

• 若$f(0)=0$，则有$\forall x,f(x+0)=f(x)f(0)=0,f(x)=0$，在R上连续。
• 若$f(0)=1$，则有$\lim_{\Delta x \to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)$，满足了连续的定义，故在R上连续。

综上，证毕。

闭区间上的连续函数

【有界性】
闭区间连续函数有界。

【最值原理】
定义：设$y=f(x)$在区间$I$有定义，若$\exists \xi\in I$，使得$\forall x\in I$，均有$f(x)\leq f(\xi)$，则称$f(\xi) \triangleq M$为$y=f(x)$在$I$上的最大值。记为：

类似地，最小值记为$m$，以$\min$来表示。

最值原理：闭区间连续函数有最值。

【零点原理】
若$f(x)\in C[a,b]$，且$f(a)f(b)<0$，则$\exists \xi \in (a,b)$，使得$f(\xi)=0$.
或者说方程$f(x)=0$在$(a,b)$至少有一个根。

【介值原理】
若$f(x) \in C[a,b]$，设其最大、最小值为$M,m$。则$\forall \mu \in [m,M],\exists \xi \in [a,b]$，使得$f(\xi)=\mu$.

pf. 可以构造$F(x)=f(x)-\mu$，把问题转化为零点原理。随便搞一搞即可证明。