12-3 微积分笔记

公式

$$I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^nxdx = \int_0^{\pi/2}\cos^n x dx \qquad (n\geq 1)$$
而
$$I_n = \int_0^{\pi/2}\sin^nxdx = \int_0^{\pi/2}\sin^{n-1}xd(\cos x)$$
$$=-\cos x \sin^{n-1}x \Bigg |_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2}\cos^2 x \cdot (n-1)\sin^{n-2}x dx$$
$$= (n-1)\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}xdx - (n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^n x dx$$

故

$$I_n = \frac{n-1}{n} \int_0^{\pi/2} \sin^{n-2}xdx=\frac{n-1}{n} I_{n-2}$$

特别地，$I_0=\pi/2,I_1=1$.

因此：

$$I_n=\begin{cases}\frac{\pi}{2} \cdot \frac12 \cdot \frac34 \cdot \frac56\cdots\frac{n-1}{n} ,& 2|n\\ 1\cdot \frac23 \cdot \frac45 \cdot \frac67 \cdots \frac{n-1}{n}, &otherwise\end{cases}$$

广义积分

如果函数$f(x)$于$[a,b]$可积，那么其必于$[a,b]$有界。现在我们尝试外推“有线区间的积分”。

无限区间上的广义积分

【定义1】设$f(x)$在$[a,+\infty)$上有定义，$\forall b > a$，若$f(x)$在$[a,b]$可积，则记

$$\int_a^{+\infty} f(x)dx = \lim_{b\to +\infty} \int_a^b f(x)dx$$
称之为$f(x)$在$[a,+\infty)$的广义积分。

极限存在，则称这个广义积分收敛；否则发散。在$(-\infty,a]$的广义积分同理定义。

$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^cf(x)dx + \int_c^{+\infty}f(x)dx$$

右边两项同时收敛，这个积分才收敛；任意一个发散，则这个广义积分发散。

【计算】按照定义，取极限即可。

$$\int_a^{+\infty} f(x)dx=\lim_{b\to+\infty}F(x)\Bigg |_a^b=\lim_{b\to+\infty}F(b)-F(a)=F(x) \Bigg |_a^{+\infty}$$

【例1】

$$\int_0^{+\infty} \frac{1}{1+x^2}dx$$
$$=\arctan x\Bigg |_0^{+\infty} = \frac\pi2$$

同理

$$\int_{-\infty}^0\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x \Bigg |_{-\infty}^0 = \frac{\pi}{2}$$
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}dx=\pi$$

【例2】 $p$是任意常数，计算

$$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx$$
解：分类讨论。
一、$p=1$时。$F(x)=\ln x$.
$$ans = \ln x\Bigg|_1^{+\infty}$$
发散。
二、$p\neq 1$时。$F(x)=\frac{1}{1-p}x^{1-p}$
$$ans = \frac{1}{1-p}x^{1-p}\Bigg|_1^{+\infty}$$
注意到若$1-p>0$，即$p<1$时发散。
现在考虑$p>1$时
$$ans = \frac{1}{1-p}(0-1)=\frac{1}{p-1}$$

综上所述。

$$ans=\begin{cases} \text{not exist} , &p\leq 1 \\ \frac{1}{p-1}, & p>1\end{cases}$$
这个广义积分称为“p-积分”。

【例3】

$$\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^2+x+1}dx$$
解：
$$ans = \int_{0}^1 * + \int_1^{+\infty}\frac{\arctan x}{x^2+x+1}dx$$
$$=\int_0^1 * +\int_1^0 \frac{\arctan 1/t}{1/t^2+1/t+1} d(1/t)$$
$$=\int_0^1* + \int_0^1 \frac{\arctan 1/t \cdot (1/t^2)}{1/t^2 +1/t +1}dt = \int_0^1(*+\square)$$
$$=\int_0^1 \frac{\arctan x + \arctan (1/x)}{x^2+x+1}dx$$
而$\arctan x + \arctan (1/x) = \pi/2$
$$ans = \pi/2 \cdot \int_0^1 \frac{dx}{x^2+x+1}$$
$$=\frac\pi2 \int_0^1 \frac{d(x+\frac12)}{(x+\frac12)^2+(\frac{\sqrt 3}{2})^2}$$
$$=\frac\pi2 [\frac{2}{\sqrt 3}\arctan(\frac{2}{\sqrt 3} x)]\Bigg |_0^1$$
代进去就完事。

【例4】

$$\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(1+x^2)(1+x^\alpha)}dx\qquad (0<\alpha<1)$$
同上例做法。
$$ans =\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx = \frac\pi4$$

瑕积分

【定义2】 设$f(x)$在$[a,b]$有定义，$a$是无界间断点。
$\forall \epsilon > 0$，若$f(x)$在$[a+\epsilon,b]$可积，则定义瑕积分

$$\int_a^b f(x)dx= \lim_{\epsilon \to 0^+}\int_{a+\epsilon}^b f(x)dx$$
符号上没有区别。称之为$f(x)$在$[a,b]$的瑕积分。$a$是其瑕点。

若极限存在，则瑕积分收敛；否则发散。

例.

$$\int_0^1\frac{1}{x}dx$$ 发散。

同理定义瑕点在右边的情形：$\lim_{\epsilon\to 0^+}\int_a^{b-\epsilon}f(x)dx$

瑕点在中间的情形：$\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$

简单地说，反常积分是取定积分，然后加上一个极限。

【例1】

$$\int_{-1}^{1} \frac1x dx= \int_{-1}^0 + \int_0^1$$
$$=\ln|x|\Bigg |_{-1}^0 + \ln|x| \Bigg |_0^1$$
这两项均发散，故$\int_{-1}^1$发散。

【例2】

$$\int_0^1 \frac{1}{x^p}dx\qquad(p>0)$$
$$=\begin{cases}\ln x \Bigg|_0^1 , & p=1 \\ \frac{1}{1-p}x^{1-p}\Bigg|_0^1 , & p\neq 1\end{cases}$$
$$=\begin{cases}\text{not exist},&p\geq 1 \\ \frac{1}{1-p} , &0<p<1\end{cases}$$

【例3】 设$f(x)\geq g(x)>0$.在$[a,\infty)$有定义，则
①若$\int_a^{+\infty}f(x)dx$收敛，则$\int_a^{+\infty}g(x)$收敛
②若$\int_a^{+\infty}g(x)dx$发散，则$\int_a^{+\infty}f(x)$发散

pf.由于①②互为逆否命题，故只需证①。

$$\int_a^{+\infty}g(x)dx = \lim_{x\to+\infty}\int_a^x g(t)dt$$
现在证右边的极限存在。尝试使用单调有界定理。
考虑积分的几何意义，立刻可知$\int_a^x g(t)dt$单调递增。现在来证有界：
$$\lim_{x\to+\infty}\int_a^x g(t)dt \leq \lim_{x\to+\infty}\int_a^x f(t)dt = sth.$$
故有界。因此函数$\varphi(x)=\int_a^xg(t)dt$于$x\to+\infty$时有极限。证毕。

利用定积分计算极限

$$\int_a^bf(x)dx = \lim_{n\to\infty}\sum f(\xi_i)\Delta x_i$$
我们取一个特殊的分割——$n$等分。则

$$\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum f(a+\frac{b-a}{n}\cdot i)\frac{b-a}{n}$$

有些数列的极限，可以改写成这个形式。

$[0,1]$区间上，有

$$\int_0^1 f(x)dx = \lim_{n\to \infty}\sum f(\frac in)\frac1n$$

【例1】

$$\lim_{n\to\infty} (\frac{\sin\frac\pi n}{n+1} + \frac{\sin \frac2n \pi}{n+\frac12} + \frac{\sin \frac3n \pi}{n+\frac13}+\cdots + \frac{\sin \pi}{n+1/n})$$
注意到 $$ans=\lim \sum \frac{\sin \frac in \pi}{n+\frac 1i}$$
有 $$\lim \sum\frac{\sin\frac in \pi}{n+1} \leq ans \leq \lim\sum\frac{\sin \frac in \pi}{n}$$
而 $$\lim \sum\frac{\sin\frac in \pi}{n+1} \to \lim \sum\frac{\sin\frac in \pi}{n+1}\cdot \frac{n}{n+1} =\lim\sum\frac{\sin \frac in \pi}{n}$$
应用夹逼定理
$$ans = \lim\sum\frac{\sin \frac in \pi}{n} = \int_0^1 \sin \pi x dx$$

作业：

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^4}\prod_{i=1}^{2n}(n^2+i^2)^{1/n}$$