11-2 微积分笔记

极值

【极值嫌疑点】 导数为$0$的点，或者导数不存在的点。（前提：函数连续）

极值点的特征：在极值点两侧，导数符号不同。

【第一充分判别法】 设$(x_0,f(x_0))$是极值嫌疑点，$f(x)$在$x_0$的左右邻域内可导。那么：

• 若$f'(x)$在$x_0$左右邻域变号，则$f(x_0)$是$f(x)$的极值。
• 若$f'(x)$在$x_0$左右邻域不变号，则$f(x_0)$不是极值。

【寻找极值的步骤】

一、求$f'(x)=0$的根，以及$f'(x)$不存在的点。
二、判断$x_0$左右邻域内$f'(x)$的符号。

【例1】 求$f(x)=(x+2)(x-1)^2$的极值。
解：$f(x)=(x+2)(x^2-2x+1)=x^3-3x+2$
$f'(x)=3x^2-3$，$f'(x)=0$时有$x=-1,1$.显然前者为极大值，后者为极小值。

【例2】 设$f(x)$二阶可导。$f'(x)+x^2f(x)=x$，问$f(0)$是不是$f(x)$的极值。
解：明显有$f'(0)=0$.现在我们来考虑$f'(x)$在$x=0$的左右邻域内的性状。
原式左右求导可得$f''(0)=1$.又有

$$f''(0)=1=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{x}$$
故$x\to 0$时$f'(x)\sim x$.也就是说$x>0$时$f'(x)>0$，$x<0$时$f'(x)<0$.
故$f(x)$在该处变号。$f(0)$是极小值点。

【例2-A】 $f'(x)+x^3f(x)=x^2$.考虑$f(0)$.
解：有$f'(0)=f''(0)=0,f^{(3)}(0)=2$.
故$f''(0)$在$x<0$时小于$0$，故$f'(x)$此时递减。又$f'(0)=0$，故$x<0$时$f'(x)>0$.同理又可以得到$x>0$时$f'(x)>0$，故$f'(x)$不变号。
因此，$f(0)$不是极值点。

【例2-B】 $f'(x)+x^4f(x)=x^3$
解：易知$f'(0)=f''(0)=f^{(3)}(0)=0,f^{(4)}(0)=6$
$f^{(4)}(0)>0$，故$f^{(3)}(x)$递增；故$f^{(3)}(x)$从负到正。
从而$f''(x)>0$，故$f'(x)$递增，故$f'(x)$从负到正。
故$f(0)$是极小值。

【结论】 若$f'(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0,f^{(n)}(x_0)\neq 0$。则：

• 当$n$为偶数时，$f(x_0)$是极值。$f^{(n)}(x_0)>0$则为极小，否则极大。
• 当$n$为奇数时，$f(x_0)$不是极值。

数学归纳法即可证。现在我们用泰勒展开证一证：

$$f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o(x-x_0)^{n}$$
在$x\to x_0^+,x_0^-$时考察$f(x)- f(x_0)$的符号，即可得到结论。

【第二充分判别法】 设$f'(x_0)=0,f''(x_0)>0(<0)$，则$f(x_0)$是极小(极大)值。

【例3】 求$y=\sin x + \cos x$在$(0,2\pi)$的极值。
解：$y'=\cos x-\sin x$，$y'=0$时有$x=\pi/4,5\pi/4$
而$y''=-\sin x -\cos x$，故$y''(\pi/4)<0$，为极大值点。
$y''(5\pi/4)>0$，为极小值点。

最值

闭区间连续函数的最值

先求极值，然后与区间端点比较。

【例1】 求$f(x)=\sqrt x (3x^2-5x-30)$在$[0,5]$上的最值。

解：$f'(x)=0 : \frac{3x^2-5x-30}{2\sqrt x} + \sqrt x (6x-5)=0$
根为：$x=-1,2$。考虑$0,2,5$这三个点。

$f(0)=0$
$f(2)=-28\sqrt{2}$
$f(5)=20\sqrt 5$

$f(5)$最大， $f(2)$最小。

开区间连续函数的最值

最值必须是取得到的，所以$f(x)=x$在$(2,3)$上没有最值。

若开区间内只有一个极值，那么这个极值是最值。

【例】 设一工厂要生产无盖的圆柱形罐头盒子。求容积一定的情况下，半径与高满足何种关系时最省料？

解：考虑表面积$S=2\pi rh+\pi r^2$，今有$\pi r^2 h \equiv V$，要求最小化$S$.

有$S=\pi r^2 + \frac{2V}{r}$
$S'=0$时有$r=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$

这是唯一的极值点，故必然是最值。结合实际问题，这是最小值。

$h=\frac{V}{\pi r^2}=(\frac V\pi)^{1/3}=r$

故$h=r$时最省料。

习题

一、设$x>-1$有$(1+x)^\lambda\leq(1+\lambda x)$，求$\lambda$
二、设$x>-1$有$(1+x)^\lambda\geq(1+\lambda x)$，求$\lambda$
三、求

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a(a+1)\cdots (a+x)}{b(b+1)\cdots (b+n)} ,(0<a<b)$$