11-16 微积分笔记

【例1】

$$\int \sin^4 x \cos x dx = \int \sin^4xd(\sin x) = \frac15 \sin^5 x +c$$

【例2】

$$\int \sin^4 x \cos^3 x dx=\int \sin^4x(1-\sin^2 x)d(\sin x) = \frac15\sin^5x - \frac17 \sin^7x$$

【例3】

$$\begin{align*}\int \sin^4x\cos^2x dx & = \int \frac{(1-\cos 2x)^2}{4} \cdot \frac{1+\cos 2x}{2} dx \\ &=\frac18 \int (1-\cos 2x -\cos^2 2x +\cos^3 2x)dx \end{align*}$$
这样就都能算了。

总结起来：如果被积式是$\sin^ax\cos^bx$的形式，如果$a,b$有一个是奇数，就可以直接第一换元法，剩下的偶数次幂利用$\sin^2x +\cos^2x=1$来换掉；如果$a,b$全是偶数，那就采用二倍角公式降次。

【例4】

$$\int \frac1{\sin^4x\cos x}dx = \int \frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^4x\cos x}dx=\int\frac{dx}{\sin^2x\cos x}+\int \frac{\cos x}{\sin^4 x}dx$$
$$=\int \frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x \cos x}dx+\int\frac{d\sin x}{\sin^4x}$$
$$=\ln|\tan x + \sec x| - \csc x - \frac13 \csc^3 x$$

如果被积式是$\frac{1}{\sin^a x \cos^b x}$的形式，则反复利用$1=\sin^2x + \cos^2x$。

【例5】

$$\tan^2xdx = \int(\frac{1}{\cos^2x}-1)dx = \tan x - x + c$$

【例6】

$$\int \tan^3 x dx = \int (\frac1{\cos^2x}-1)\tan x dx = \int \frac{\tan x}{\cos^2 x}dx - \int \tan x dx$$
$$=\int \tan x d \tan x + \ln|\cos x|$$
$$=\frac12 \tan^2 x + \ln|\cos x|+c$$

【例7】

$$\tan^4 x dx = \int(\frac1{\cos^2 x}-1)\tan ^2xdx$$
拆开就能算。

对于$\int \tan^n x$，计算方法：

$$\int \tan^n x = \int (\frac1{\cos^2x}-1)\tan^{n-2} xdx$$
$$=\int \tan^{n-2}xd\tan x - \int \tan^{n-2}x dx$$

前者可以直接做，后者降低了问题规模，可以逐步推出来。

【例8】

$$\int \frac1{1+2\sin^2 x}dx =\int \frac{1}{3\sin^2 x + \cos^2 x}dx=\int\frac{dx}{\cos^2x(1+3\tan^2x)}$$
$$=\frac{1}{\sqrt 3}\int \frac1{1+(\sqrt 3 \tan x)^2}d(\sqrt 3 \tan x) = \frac1{\sqrt3}\arctan(\sqrt3 \tan x) +c$$

$\int\frac{c}{a+b\sin^2 x}$,$\int \frac c{a+b\cos^2x}$或$\int \frac{dx}{a\sin^2 x+b\cos^2 x}$，可以利用$1=\sin^2x +\cos^2 x$来换。

【例9】

$$\int \frac{\sin x}{2\sin x + 3\cos x}dx$$
考虑到$\int \frac1udu$很好算。而$du=d(2\sin x + 3\cos x)=(2\cos x -3\sin x)dx$，所以我们尝试在分子中凑出$(2\cos x -3\sin x)$.另外，凑完之后，剩下的部分需要足够好算，所以我们尝试使得凑完之后，余下的项是分母的倍数。也就是搞成：
$$\int \frac{2\cos x -3\sin x + c(2\sin x +3\cos x)}{2\sin x + 3\cos x}$$
由于原来的分子没有$\cos x$，所以我们需要把$\cos x$消掉。因此$c=-\frac23$.
最后： $$ans = -\frac3{13} \int \frac{2\cos x - 3\sin x - \frac23(2\sin x +3\cos x)}{2\sin x + 3\cos x}$$
于是好算了。

这套理论叫做“消凑结合法”。

【例10】

$$\int \frac{1}{\sin(x+\alpha)\sin(x+\beta)}dx \quad(\alpha-\beta\neq k\pi)$$
$$=\int\frac{\sin(x+\alpha)\cos(x+\beta) - \cos(x+\alpha)\sin(x+\beta)}{\sin(x+\alpha)\sin(x+\beta)}\cdot \frac1{\sin(\alpha-\beta)}dx$$
后者是常数，前者拆开成两个$\cot$，即可做。

【例11】

$$\frac{x\cos x - \sin x}{(x+\sin x)^2}dx$$
我们注意到$(\frac{\sin x}x)'=\frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$，故
$$ans = \int\frac{x^2}{(x+\sin x)^2}d(\frac{\sin x}{x})= \int\frac{1}{(1+\frac{\sin x}x)^2}d(\frac{\sin x}{x}+1 )$$
就能搞了。

【例12】

$$\int \frac{1}{\sin x + \tan x}dx = \int \frac{\cos x +1 -1}{\sin x(1+\cos x )}dx$$
$$=\int \frac{dx}{\sin x} - \int\frac{1}{\sin x (1+\cos x)}dx$$
$$=\int \frac{dx}{\sin x} - \int\frac{1-\cos x+\cos x}{\sin x (1+\cos x)}dx$$
$$=\int \frac{dx}{\sin x} - \int\frac{1-\cos x}{\sin x (1+\cos x)}dx - \int\frac{\cos x}{\sin x (1+\cos x)}dx$$
注意到最后一项恰为$ans$，故有
$$2 ans = \int \frac{dx}{\sin x} - \int\frac{1-\cos x}{\sin x (1+\cos x)}dx$$
故 $$ans = \frac12\int \csc x dx - \frac12\int\frac{1-\cos x}{(\sin x )(1+ \cos x)}$$
考虑 $$\int\frac{1-\cos x}{(\sin x )(1+ \cos x)}=\int \frac{\sin^2x}{\sin x (1+\cos x)\cdot(1+\cos x)}dx=\int \frac{\sin x}{(1+\cos x)^2}dx$$
$$=\frac12\int\frac{1}{(1+\cos x)^2}d(\cos x +1)$$

原题就做出来了。

思考题：

$$\int \frac{1}{1+x^4}dx$$
提示：分子分母同时除以$x^2$