10-17 微积分笔记

拉格朗日中值定理

【Langrange 中值定理】设$y=f(x)\in C[a,b],f(x)\in D(a,b)$，则有：$\exists \xi \in (a,b)$，使得$f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

几何意义：割线斜率，等于函数在这一区间某一点的切线斜率。

其他形式：设$f(x)$在区间$I$可导，则$\forall x_1,x_2 \in I$，$\exists \xi$介于$x_1,x_2$之间，使得$f'(\xi)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$，或者说：使得

这就是“微分中值定理”的含义：通过导数值$f'(\xi)$，表示函数值$f(x_2)-f(x_1)$.拉格朗日中值定理将函数值转换成了导数值。

将上面的$x_2$改写，用增量$\Delta x$来表示：
$x_0\in I,x_0+\Delta x\in I$，则$\exists \xi$介于$x_0$与$x_0+\Delta x$之间（这样表述是因为也许$\Delta 0$是负数），使得$\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f'(\xi)\Delta x$.

【拉格朗日中值定理的应用】

【例1】 试证

$$\frac{1}{n+1}<\ln(1+\frac{1}{n})<\frac 1n (n=1,2,\cdots)$$
pf. $\ln(1+\frac{1}{n})=\ln(n+1)-\ln(n)$，作为分子。可以构造分母$(n+1)-n$.也就是说：构造函数$F(x)=\ln x$，则$\ln(1+\frac{1}{n})=\frac{F(n+1)-F(n)}{(n+1)-n}$
因此，$\exists \xi\in(n,n+1)$，使得$\ln(1+\frac 1n)=f'(\xi)(n+1-n)=\frac{1}{\xi}$
而$n<\xi<n+1$，故$\frac 1{n+1}<\frac 1\xi < \frac 1n$，证毕。

【例2】 设$f(x)\in C[a,b],f(x)\in D(a,b),f(a)=f(b),f(x)\neq C$.试证：$\exists \xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)>0$.
pf. 由Rolle Th. 函数在$(a,b)$有导数为零的点，不妨设$f(c)$为函数最大值$M$.
注意到$f(x)\in C[a,c],f(x)\in D(a,c)$，据Langrange th. $\exists \xi \in (a,c)$，使得$f(c)-f(a)=f'(\xi)(c-a)$
而$f(c)-f(a)>0,c-a>0$，故$f'(\xi)>0$.证毕。

【例3】 设$f(x)$在$(a,b)$可导且无界，试证$f'(x)$在$(a,b)$也无界。
pf. 采用反证法。假设$f'(x)$在$(a,b)$有界，则$\exists M>0 ,s.t. \forall x\in(a,b), |f'(x)|\leq M$.
现在来推出$f(x)$有界。我们取一定点$x_0\in(a,b)$，则$f(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0)$，即$f(x)=f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0)$.
立刻有$|f(x)|\leq |x_0|+|f'(\xi)||(x-x_0)|\leq|x_0|+M(b-a)$
因此$f(x)$有界。这与条件矛盾，故原命题证毕。

【例4】 设$f(x)\in D^2(a,b),f''(x)<0$。（其中$D^2(a,b)$是指二阶可导。类似地，$C^2(a,b)$指二阶导数连续。）试证：$\forall x_1,x_2\in(a,b)$，有$f(\frac{x_1+x_2}{2})\geq \frac12[f(x_1)+f(x_2)]$
pf. 直接变形原式，即证

$$f(\frac{x_1+x_2}{2})-f(x_1) > f(x_2)-f(\frac{x_1+x_2}{2})$$
不妨设$x_1<x_2$.记$d=\frac{x_2-x_1}{2}$.则：$\exists \xi_1\in(x_1,x_1+d)$，使得$f(\frac{x_1+x_2}{2})-f(x_1)=f'(\xi_1)d$；$\exists \xi_2\in(x_1+d,x_2)$，使得$f(x_2)-f(\frac{x_1+x_2}{2})=f'(\xi_2)d$.
即证：
$$f'(\xi_1)d>f'(\xi_2)d$$
由于$f''(x)<0$，故$f'(x)$单调递减。又$\xi_1<\xi_2$，故上式恒成立。

上面的定理，几何意义是：若二阶可导函数$f(x)$有$f''(x)<0$，则此函数为上凸函数。中间点的函数值$\geq$端点函数值的平均值。

【例5】 设$f(x),g(x)$在$[a,b]$连续，在$(a,b)$可导。试证：$\exists \xi\in(a,b)$，使得$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
pf. 事实上，这个命题是拉格朗日中值定理的推广。
设$x=f(t),y=g(t),t\in [a,b]$。我们建立了一组参数方程。
考虑端点$A(f(a),g(a)),B(f(b),g(b))$，则据拉格朗日中值定理，有：

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{dy}{dx}|_{t=\xi,\xi\in (a,b)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$
这也就是柯西中值定理。

柯西中值定理

【Cauchy 中值定理】设$f(x),g(x)$在$[a,b]$连续，在$(a,b)$可导。则$\exists \xi\in(a,b)$，使得$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

【例1】 设$f(x)\in D[x_1,x_2]$，$x_1x_2>0$，证：$\exists \xi \in (x_1,x_2)$，使得：

$$\frac{x_1f(x_2)-x_2f(x_1)}{x_1-x_2} = f(\xi)-\xi f'(\xi)$$
pf. 变形上式得：
$$\frac{\frac{f(x_2)}{x_2}-\frac{f(x_1)}{x_1}}{\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}}=\frac{\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}}{-\frac{1}{x^2}}|_{x=\xi,\xi \in (x_1,x_2)}=f(\xi)-\xi f'(\xi)$$
上面的第一个等号：分子为$\frac{f(x)}{x}$在$x_1,x_2$的函数值的差，分母为$\frac{1}{x}$函数值的差。可以利用柯西中值定理。

中值定理的推论

【推论1】 $f(x)\in D(a,b),f'(x)\equiv 0$，等价于 $f(x)\equiv C$.
pf. 显然右边是左边的充分条件。现在来证是必要条件：
$\forall x_1,x_2\in (a,b)$，必须有$f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)$，由于$f'(\xi)\equiv 0$，故$f(x_2)-f(x_1)=0$。故$f(x)$为常函数。

【推论2】 若$f'(x)=g'(x)$，则$f(x)=g(x)+C$.
pf. 考虑$\varphi(x)=f(x)-g(x)$，则$\varphi(x)$导数为$0$，据【推论1】，$\varphi(x)$为常函数。证毕。

【例】 （搞笑题）证$\sin^2x+\cos^2x =1$.
pf. 显然有$(\sin^2x+\cos^2x)'=0$，故$\sin^2x+\cos^2x\equiv C$.随便取个$x=0$代进去，知$C = 1$.

【推论3】 $f(x)$在区间$I$单调递增，当且仅当$f'(x)\geq 0$；
$f(x)$在区间$I$严格单调递增，当且仅当$\forall x\in I,f'(x)\geq 0$，且在$I$的任一子区间有$f'(x)$不恒等于$0$（允许在单个的点导数为0）
单调递减同理。