@ruanxingzhi
2018-10-17T09:48:11.000000Z
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【Langrange 中值定理】设,则有:,使得.
几何意义:割线斜率,等于函数在这一区间某一点的切线斜率。
其他形式:设在区间可导,则,介于之间,使得,或者说:使得
这就是“微分中值定理”的含义:通过导数值,表示函数值.拉格朗日中值定理将函数值转换成了导数值。
将上面的改写,用增量来表示:
,则介于与之间(这样表述是因为也许是负数),使得.
【拉格朗日中值定理的应用】
【例1】 试证
pf. ,作为分子。可以构造分母.也就是说:构造函数,则
因此,,使得
而,故,证毕。【例2】 设.试证:,使得.
pf. 由Rolle Th. 函数在有导数为零的点,不妨设为函数最大值.
注意到,据Langrange th. ,使得
而,故.证毕。【例3】 设在可导且无界,试证在也无界。
pf. 采用反证法。假设在有界,则.
现在来推出有界。我们取一定点,则,即.
立刻有
因此有界。这与条件矛盾,故原命题证毕。【例4】 设。(其中是指二阶可导。类似地,指二阶导数连续。)试证:,有
pf. 直接变形原式,即证
不妨设.记.则:,使得;,使得.
即证:
由于,故单调递减。又,故上式恒成立。上面的定理,几何意义是:若二阶可导函数有,则此函数为上凸函数。中间点的函数值端点函数值的平均值。
【例5】 设在连续,在可导。试证:,使得
pf. 事实上,这个命题是拉格朗日中值定理的推广。
设。我们建立了一组参数方程。
考虑端点,则据拉格朗日中值定理,有:
这也就是柯西中值定理。
【Cauchy 中值定理】设在连续,在可导。则,使得
【例1】 设,,证:,使得:
pf. 变形上式得:
上面的第一个等号:分子为在的函数值的差,分母为函数值的差。可以利用柯西中值定理。
【推论1】 ,等价于 .
pf. 显然右边是左边的充分条件。现在来证是必要条件:
,必须有,由于,故。故为常函数。
【推论2】 若,则.
pf. 考虑,则导数为,据【推论1】,为常函数。证毕。
【例】 (搞笑题)证.
pf. 显然有,故.随便取个代进去,知.
【推论3】 在区间单调递增,当且仅当;
在区间严格单调递增,当且仅当,且在的任一子区间有不恒等于(允许在单个的点导数为0)
单调递减同理。