夫琅禾费单缝衍射

光学与原子物理

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研究宽度为$b$的无限长单缝产生的夫琅禾费衍射图样。假设一列平面波垂直入射到单缝上，现在需要计算透镜焦平面上的屏上的强度分布。缝可以看做是由大量等间距的点光源组成，并且认为，缝上每一点都是一个惠更斯子波源，它们发出的子波互相干涉。设点光源$A_1$，$A_2$，$A_3$，$\ldots$，并设相邻点光源的间隔为$\Delta$，如下图所示。

如果点光源的数目为$n$，则

$$b=(n-1)\Delta$$

现在需要计算$n$个点光源在点$P$的总叠加场。点$P$是透镜焦平面上任意一点，此点所能接收的平行光与狭缝法线的夹角为$\theta$。实际上缝是由连续分步的点光源组成，所以在最后的结果表达式中，将是$n$趋于无穷大，$\Delta$趋于零，并保持$n\Delta$趋于$b$。

点$A_1$，$A_2$，$A_3$，$\ldots$到点$P$的距离比缝宽$b$是很大的，所以，从这些点达到点$P$的振动的振幅几乎完全相等。但是，虽然它们到点$P$的距离只有微小的差别，但是相位差不可忽略。

对于垂直入射的平面波，在点$A_1$，$A_2$，$A_3$，$\ldots$是同相位的。点$A_2$发出的波与点$A_1$发出的波的光程差为$\overline{A_2A_2'}$

$$\overline{A_2A_2'}=\Delta \sin \theta$$
相应的相位差
$$\phi=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta \sin \theta$$
同理，相邻点发出的相位差也是$\phi$。如果点$A_1$发出的波在点$P$产生的场$E_0\cos \omega t$，因此，各点在点$P$产生的合振动为
$$E=E_0\{\cos \omega t+\cos (\omega t-\phi)+\ldots+\cos [\omega t-(n-1)\phi)]\}$$
如下图可计算点$P$处的合振动

计算结果为
$$E=\frac{E_0\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\sin\frac{\phi}{2}}\cos[\omega t -(n-1)\phi/2]$$
也可以用复数法得到上述结果。
$$\widetilde{E}=E_0e^{i\omega t}[1+e^{-i\phi}+\ldots+e^{-i(n-1)\phi}]=E_0e^{i\omega t}\frac{1-e^{-i n \phi}}{1-e^{-i \phi}}$$
$$=E_0\frac{e^{i n \phi/2}-e^{-i n \phi/2}}{e^{i \phi/2}-e^{-i \phi/2}}\frac{e^{-i n \phi/2}}{e^{-i \phi/2}}e^{i\omega t}$$
$$=E_0\frac{\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\sin\frac{\phi}{2}}e^{\left \{i\left [\omega t-(n-1)\frac{\phi}{2}\right ] \right \}}$$

点$P$处，合振幅

$$E_P=E_0\frac{\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\sin\frac{\phi}{2}}\approx E_0\frac{\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\frac{\phi}{2}}=(n-1)E_0\frac{\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\frac{(n-1)\phi}{2}}$$
在$n\rightarrow \infty$和$(n-1)\Delta\rightarrow b$情况下，
$$\frac{(n-1)\phi}{2}=\pi (n-1)\Delta\sin \theta /\lambda \rightarrow \pi b\sin \theta /\lambda$$

令$\beta=\pi b\sin \theta /\lambda$，因此有点$P$处的振动为

$$E=(n-1)E_0\frac{\sin \beta}{\beta}\cos(\omega t - \beta)$$
光强
$$I=I_0\frac{\sin^2 \beta}{\beta^2}$$
其中，$I_0$为$\theta=0$处的光强。

极大值与极小值的位置

极小值的位置由下述关系给出

$$\beta=k\pi$$
即
$$b\sin \theta =k\lambda, k=\pm 1,\pm 2,\ldots$$

极大值由以下超越方程的根给出

$$\tan \beta=\beta$$

夫琅禾费单缝衍射强度分布和极大值点见下图