欧几里得证明$\sqrt{2}$是无理数

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选自《费马大定理:一个困惑了世间智者358年的谜》，有少许改动。
原译者：薛密

$\sqrt{2}$是无理数，即不能写成一个分数。欧几里得以反证法证明此结论。第一步是假定相反的事实是真的，即$\sqrt{2}$可以写成某个未知的分数。用$\frac{p}{q}$ 来代表这个假设的分数，其中 $p$ 和 $q$ 是两个整数。

在开始证明本身之前，需要对分数和偶数的某些性质有个基本的了解。

(1) 如果任取一个整数并且用2去乘它，那么得到的新数一定是偶数。这基本上就是偶数的定义。
(2) 如果已知一个整数的平方是偶数，那么这个整数本身一定是偶数。
(3) 最后，分数可以简化。例如分数$\frac{16}{24}$，用2除分子分母得$\frac{8}{12}$，两个分数$\frac{16}{24}$与$\frac{8}{12}$是相等的，进一步，$\frac{8}{12}$与$\frac{4}{6}$ 是相等的，而$\frac{4}{6}$ 又与$\frac{2}{3}$是相等的。然而，$\frac{2}{3}$不能再化简，因为2 和3没有公因数。不可能将一个分数永远不断地简化。

欧几里得相信$\sqrt{2}$不可能写成一个分数。然而，由于他采用反证法，所以他先假定

$$\begin{equation*} \sqrt{2}=\frac{p}{q} \end{equation*}$$

将两边平方，得

$$\begin{equation*} 2=\frac{p^2}{q^2} \end{equation*}$$

即

$$\begin{equation*} 2q^2=p^2 \end{equation*}$$

现在根据第(1) 点我们知道$p^2$ 必定是偶数。此外，根据第(2) 点我们知道 $p$ 本身也必须是偶数。但是，如果 $p$ 是偶数，那么它可以写成$2m$，其中$m$ 是某个别的整数。这是从第(1) 点可以得出的结论。将这再代回到等式中，我们得到

$$\begin{equation*} 2q^2=p^2=(2m)^2=4m^2 \end{equation*}$$

两边除以2，得

$$\begin{equation*} q^2=2m^2 \end{equation*}$$

但是根据我们前面用过的同样的论证，我们知道 $q^2$ 必须是偶数，因而 $q$ 本身必须是偶数。如果确实是这样，那么 $q$ 可以写成$2n$，其中 $n$ 是某个别的整数。如果我们回到开始的地方，那么

$$\begin{equation*} \sqrt{2}=\frac{p}{q}=\frac{2m}{2n}=\frac{m}{n} \end{equation*}$$

现在我们得到一个新的分数$\frac{m}{n}$，它比$\frac{p}{q}$更简单。

然而，我们发现对$\frac{m}{n}$我们可以精确地重复以上同一个过程，在结束时我们将产生一个更简单的分数，比方说$\frac{g}{h}$。然后又可以对这个分数再重复相同的过程，而新的更为简单的分数，比方说$\frac{e}{f}$将是。我们可以对它再作同样的处理，并且一次次地重复这个过程，不会结束。但是根据第(3) 点我们知道任何分数不可能永远简化下去，总是必须有一个最简单的分数存在，而我们最初假定的分数$\frac{p}{q}$ 似乎不服从这条法则。于是，我们可以有正当的理由说我们得出了矛盾。如果$\sqrt{2}$可以写成为一个分数，其结果将是不合理的，所以，说$\sqrt{2}$不可能写成一个分数是对的。于是，$\sqrt{2}$是一个无理数。