电磁学讲义7：电势
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保守力与势能
一个带有电量q质量为m的带电物体，置于任意的电场E⃗ (r⃗ )中，会如何运动？按照牛顿第二定律运动：
md2r⃗ dt2=qE⃗ (r⃗ )
这个问题有更方便的方法——能量守恒。
考虑如下问题，一个物体沿无摩擦曲面下落，对于这一过程，动能 T 和重力势能 W总量保持不变，即：
T+W=C(1)
方程(1)可以从牛顿定律导出。
dTdt=mvdvdt=Ftv=−mgsinθdsdt=−mgdhdsdsdt
于是有
dT+mgdh=0
积分之后，即得方程(1)。
下面我们看三维情况。
dTdt=12mv⃗ ⋅dv⃗ dt+12mdv⃗ dt⋅v⃗ =mdv⃗ dt⋅v⃗ =F⃗ ⋅v⃗ =F⃗ ⋅dl⃗ dt
于是有
dT=F⃗ ⋅dl⃗
两边积分，有
ΔT=∫r⃗ 2r⃗ 1F⃗ ⋅dl⃗
左边是动能的变化量，右边是外力做的功，右边的积分沿着物体运动路径进行积分。
对于物体从光滑曲线上下滑这个例子，物体所受约束力不做功，只有重力做功，做功为
∫r⃗ 2r⃗ 1F⃗ ⋅dl⃗ =∫z2z1−mgdz=mg(z1−z2)
这说明重力做功与具体路径无关，只与初末位置有关，这样的力我们称为保守力。除了重力，还有很多力是保守力，比如胡克弹簧施加的力，万有引力等等。也有很多力不是保守力，比如摩擦力、洛伦兹力（二者都是依赖于速度的力）。
下面我们举一个不是保守力的例子
F⃗ =yi^
路径1为从原点沿x轴到(1,0)点，然后沿平行y轴方向到(1,1)点。
路径2为从原点沿y轴到(0,1)点，然后沿平行x轴方向到(1,1)点。
对于保守力，做功与路径无关，只与初末位置有关，物体在某保守力F⃗ 作用下从r⃗ 1运动到r⃗ 2，保守力做功
A12=∫r⃗ 2r⃗ 1F⃗ ⋅dl⃗ =W(r⃗ 1)−W(r⃗ 2)=−ΔW=ΔT=T2−T1
函数W(r⃗ )称为保守力的势能。物体运动过程中，动能T与势能W之和保持不变。
保守力与它对应的势能之间有什么关系？
假设我们已经知道势能的函数形式W(x,y,z)，现在让物体沿x轴做个很小的移动Δx，保守力做功
FxΔx=−ΔW
于是力为
Fx=−ΔWΔx
显然这个式子是不严格的，只有在Δx→0时才成立，这正是W对x的微商−dW/dx，但是要注意，我们只考虑了x的变化，y和z是不变的，所以这里的微商应为偏导。于是，我们得到保守力的x分量是势能U对x的负的偏导，即
Fx=−∂W∂x
同样，力的其他分量与势能的关系为
Fy=−∂W∂y
Fz=−∂W∂z
所以保守力与势能的关系为
F⃗ =−i^∂W∂x−j^∂W∂y−k^∂W∂z=−(i^∂∂x−j^∂∂y−k^∂∂z)W=−∇W
其中∇ 为一个运算符号，作用到一个标量函数上，得到函数的梯度。
这样的力做的功真的与路径无关吗？不妨计算一下。
A12===∫r⃗ 2r⃗ 1F⃗ ⋅dl⃗ =∫r⃗ 2r⃗ 1(Fxdx+Fydy+Fzdz)−∫r⃗ 2r⃗ 1(∂W∂xdx+∂W∂ydy+∂W∂zdz)−∫r⃗ 2r⃗ 1dW=W(r⃗ 1)−W(r⃗ 2)
确实与路径无关，只与初末位置有关。
练习1 求势能函数W(x,y,z)=x3y2+sinz对应的保守力。
保守力有什么特点呢？根据偏导的性质，有
∂Fx∂y=∂Fy∂x∂Fx∂z=∂Fz∂x∂Fy∂z=∂Fz∂y
如何判断一个力是不是保守力？一个方法是看看这个力是不是某个标量函数的负的梯度，另外一个方法是对这个力的各分量求偏导。当然也可以由保守力定义来判断，将力沿连接初末位置的任意路径积分，看积分结果是不是只依赖于初末位置，或者沿任意闭合路径积分，看积分结果是不是0。
比如重力F⃗ =−mgk^，弹簧 F⃗ =−kxi^，三种判断方法都很方便，练习1中的力用偏导法或积分法很方便。
静电力是保守力
先讨论一个点电荷q产生的电场，另一点电荷q0在此电场中受力为
F⃗ =14πε0qq0r2r^
在极坐标系中，容易看出，此力是如下函数的负的梯度
W(r)=14πε0qq0r+C
在极坐标系中，力的另外两个分量Fθ=0，Fϕ=0，所以，用偏导法也容易看出两个点电荷之间的相互作用力为保守力。
积分法。如图，积分路径L为连接P和Q点的任意路径，点电荷q对点电荷q0做功为
APQ==∫L(Q)L(P)F⃗ ⋅dl⃗ =∫L(Q)L(P)Fcosθdl=∫rQrPF(r)drqq04πε0(1rP−1rQ)
所以，点电荷电场做功与路径无关。
对于任意带电体系，可以将其分割为许多点电荷，总电场是各个点电荷产生的电场的线性叠加。既然各点电荷的电场做功与路径无关，那么总电场做功也与路径无关，即静电力沿闭合路径做功为0：
∮Lq0E⃗ ⋅dl⃗ =0
也即
∮LE⃗ ⋅dl⃗ =0
所以，静电场的环量恒等于0，这个结论叫做静电场的环路定理。
电势
做功与路径无关的力场称为保守力场，或势场。根据前述讨论，静电场是一种保守力场，静电力一定是势能函数的负的梯度：
q0E⃗ =−∇W
即
E⃗ =−1q0∇W=−∇U
标量函数U称为电势。
点电荷的电势为
U(r)=14πε0qr+C
在静电场中，点电荷q0从空间P点运动到Q点，静电力做功等于电势能的减少
WPQ=APQ=q0∫QPE⃗ ⋅dl⃗
这个积分无需指明路径，因为结果与具体路径无关。
定义电势差
UPQ=WPQq0=∫QPE⃗ ⋅dl⃗
电势差为移动单位正电荷时电场力所做的功。
电势为0的点需要人为选定，选定之后，P点的电势就是电势差UP,′0′
U(P)=UP,′0′=∫′0′PE⃗ ⋅dl⃗
空间两点之间的电势差为：
UPQ==∫′0′PE⃗ ⋅dl⃗ +∫Q′0′E⃗ ⋅dl⃗ =∫′0′PE⃗ ⋅dl⃗ −∫′0′QE⃗ ⋅dl⃗ U(P)−U(Q)
对于电荷分布在有限区域的体系，一般选无限远处为电势为0的点，P点的电势为
U(P)=UP∞=∫∞PE⃗ ⋅dl⃗
在国际单位制中，电势或电势差的单位为J/C，这个单位有个专门的名称，叫做伏特，简称伏，符号V。
1V=1J/C
根据电势也可以给出一个新的电场强度的单位V/m，1V/m=1N/C
电势的计算
对于点电荷，以无限远处为0电势参考点，则距离点电荷r处的电势为：
U(r)=14πε0qr
对于点电荷系，
U(r)=14πε0∑iqiri
对于连续带电体，
U(r)=∫dU=14πε0∫dqr
如果已知电荷体系的电场分布，也可根据电势与电场的积分关系求电势：
U(P)=∫′0′PE⃗ ⋅dl⃗
如果求得电势分布，也可以根据电势与电场的微分关系求电场分布：
E⃗ =−∇U
例1 求均匀带电圆环轴线上电势分布。
求均匀带电圆环轴线上电势分布
设圆环带电量为q，半径为R，圆环轴线上距离圆环中心x处电势为
U(x)=14πε0∫dqR2+x2−−−−−−−√=14πε0qR2+x2−−−−−−−√
例2 求带电圆盘轴线上电势分布。
将圆盘分割成一系列圆环，以这些圆环为元电荷，则轴线上距离圆盘x处电势为：
U(x)=14πε0∫R0σ2πrdrr2+x2−−−−−−√=σ2ε0(R2+x2−−−−−−−√−x)
例3 求均匀带电球壳的电势分布。
设球壳的电量为Q，半径为R，我们知道距离球壳中心r处的电场为
E(r)=⎧⎩⎨14πε0Qr2,0,r>Rr<R
球壳外电势
U(r)=∫∞rE⃗ ⋅dl⃗ =Q4πε0∫∞0drr2=Q4πε0r
球壳内电势
U(r)=∫∞rE⃗ ⋅dl⃗ =∫RrEdr+∫∞REdr=Q4πε0∫∞Rdrr2=Q4πε0R
综上，带电球壳的电势分布为
U(r)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪14πε0Qr,Q4πε0R,r>Rr<R
即在在球壳外，电势分布与点电荷电势分布相同，在球壳内电势为常量，其值为球壳表面处电势。
均匀带电球壳的电势分布
例3 求电偶极子的电场。
设电偶极子电矩为p=ql，场点P距离正负电荷和电偶极子中心的距离分别为r+、r−和r。如图所示。
电偶极子电势
场点P与电偶极子中心的连线与电偶极矩p⃗ 的夹角为θ，根据几何关系，有
r+=r−=r2−lrcosθ+l24−−−−−−−−−−−−−−√≈r1−lrcosθ−−−−−−−−−√≈r−l2cosθr2+lrcosθ+l24−−−−−−−−−−−−−−√≈r1+lrcosθ−−−−−−−−−√≈r+l2cosθ
场点P处电势U为正负电荷的电势U+和U−的代数和，即
U=q4πε0(1r+−1r−)≈14πε0qlcosθr2=14πε0p⃗ ⋅r^r2
对电势求梯度，即可得场强分布。
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪Er=−∂U∂rEθ=−1r∂U∂θEϕ=−1rsinθ∂U∂ϕ
等势面
把静电场中电势相等的点连起来组成的面称为等势面，比如点电荷的等势面为以点电荷为中心的同心球面。
等势面具有如下性质：
(1) 等势面与电场线处处垂直。
电场与等势面垂直
如图，一试探电荷q0沿等势面做一任意元位移dl⃗ ，则电场力做功为 E⃗ ⋅dl⃗ =Edlcosθ=0，于是cosθ=0，即电场与等势面垂直。
(2) 等势面密集的地方场强大，等势面稀疏的地方场强小。
画等势面的时候规定，任意相邻等势面的差值为一恒量。
相邻等势面差值为ΔU，垂直距离Δn，电场强度E=∣∣ΔUΔn∣∣，可见等势面的疏密可以反映场强的大小。
作业
- 习题 1-26
- 求均匀带电球体的电势分布。
参考资料
- 《费曼物理学讲义》第13、14章
- 耶鲁大学Shankar 《基础物理II》视频
- 赵凯华《电磁学》
