@joyphys 2015-10-08T00:35:56.000000Z 字数 4471 阅读 5131

电磁学讲义5：高斯定理

电磁学讲义 Blog

电场线和电通量

法拉第想出一种形象化的方法描述电场——电场线，电场线上每一点的切线方向表示该点电场的方向，电场线的疏密表示电场的大小。下面为几种带电体系的电场线。

图为点电荷的电场线

图为一对等量异号电荷的电场线

图为一对等量同号电荷的电场线

一对不等量异号电荷的电场线

带电平行板之间的电场线

定量上表示某点场强的大小，可以在这一点做一个与电场线垂直的小面元 $\mathrm dS_{\perp}$ ，如图1所示，通过此小面元的电场线数目为 $\mathrm dN$ ，则电场的大小为：

E = C d N d S ⊥ = d Φ E d S ⊥

$\begin{equation*} E=C\frac{\mathrm dN}{\mathrm dS_{\perp}}=\frac{\mathrm d\Phi_E}{\mathrm dS_{\perp}} \end{equation*}$

张三慧
图1 在电场中某一点取面元

由上式得，

d Φ E = E d S ⊥

$\begin{equation*} \mathrm d\Phi_E=E\mathrm dS_{\perp} \end{equation*}$

这个量我们称为电通量，表示通过与电场方向垂直的一个面元的电场线的数目。

对于一个一般的面元，也可以定义电通量，如图2所示，面元 $\mathrm dS$ 与电场方向不垂直。由图2明显看出，通过面元 $\mathrm dS$ 的电场线数目与通过面元 $\mathrm dS_{\perp}$ 的数目是一样的，即

d Φ E = E d S ⊥ = E d S cos θ

$\begin{equation*} \mathrm d\Phi_E=E\mathrm dS_{\perp}=E\mathrm dS\cos\theta \end{equation*}$

张三慧电磁学
图2 通过面元 $\mathrm dS$ 的电通量

你也可以把电场分解成两部分，垂直于面元的电场 $\vec{E}_{\perp}$ 和平行于面元的电场 $\vec{E}_{\parallel}$ ，后者通过面元的电通量为0，所以电场 $\vec{E}$ 通过面元的电通量即电场 $\vec{E}_{\perp}$ 通过面元的电通量，即

d Φ E = d Φ E ⊥ = E cos θ d S = E ⃗ \cdot n^d S = E ⃗ \cdot d S ⃗

$\begin{equation*} \mathrm d\Phi_E=\mathrm d\Phi_{E_{\perp}}=E\cos\theta\mathrm dS=\vec{E}\cdot\hat{n}\mathrm dS=\vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S} \end{equation*}$

其中， $\hat{n}$ 为面元的法向单位向量，面元用矢量面元表示， $d\vec{S}=\hat{n}\mathrm dS$ 。上式就是电通量的定义式

d Φ E = E ⃗ \cdot d S ⃗

$\begin{equation*} \mathrm d\Phi_E=\vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S} \end{equation*}$

由上式可见，电通量可正可负可为零，符号由电场 $\vec{E}$ 的方向与面元法向的夹角 $\theta$ 决定，如图3所示。

图3 电场 $\vec{E}$ 的方向与面元法向 $\hat{n}$ 的夹角 $\theta$

要求出电场通过一个一般曲面 $S$ 的电通量，需要把曲面分割成许许多多的小面元，求出每个小面元的电通量，然后积分，即：

Φ E = \int d Φ E = \int S E ⃗ \cdot d S ⃗

$\begin{equation*} \Phi_E=\int\mathrm d\Phi_E=\int_S\vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S} \end{equation*}$

图4 电场通过一个一般曲面 $S$ 的电通量

电场通过一个闭合曲面 $S$ 的电通量为：

Φ E = \int d Φ E = \oint S E ⃗ \cdot d S ⃗

$\begin{equation*} \Phi_E=\int\mathrm d\Phi_E=\oint_S\vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S} \end{equation*}$

对于不闭合的曲面，法向矢量的正方向可以任意选取，但是闭合曲面把空间分成内外两个部分，法向矢量正方向的两种取向不等价。我们约定闭合曲面的法向矢量的正方向是指向曲面外部的方向。如图5所示，在面元 $\mathrm d\vec{S}_1$ 处， $\mathrm d\Phi_E>0$ ，电场线从闭合曲面穿出到外部空间。在面元 $\mathrm d\vec{S}_2$ 处， $\mathrm d\Phi_E<0$ ，电场线从外部穿入闭合曲面内部空间。那么 $\Phi_E$ 就是净穿出闭合曲面的电场线的数目。

图5 电场通过一个闭合曲面 $S$ 的电通量

练习1 匀强电场 $\vec{E}$ 里一个半径为 $r$ 小圆盘，圆盘法向 $\hat{n}$ 与电场方向夹角为 $30^{\circ}$ ，求通过圆盘的电通量。如果 $\hat{n}\perp \vec{E}$ ，电通量为多少，如果 $\hat{n}\parallel \vec{E}$ ，电通量为多少。

University Physics
练习1 的图

练习2 非匀强电场 $\vec{E}=3x\hat{i}+4\hat{j}$ ，电场线穿过一个立方体，如图所示，求电场线穿过此立方体表面的电通量。

哈里德物理
练习2 的图

练习3 以点电荷 $q$ 为中心做以半径为 $r$ 的球面，求点电荷 $q$ 的电场穿过球面的电通量。

练习3 的图

高斯定理

高斯定理与库仑定律等价，高斯定理是描述电荷与电场关系的另外一种方法。高斯定理以其提出者德国数学家高斯的名字命名（1835年提出，1867年发表，发表的时候高斯已经去世12年了）。

点电荷 $q$ 的电场穿过以其为中心的球面的电通量为

Φ E = = = \oint S E ⃗ \cdot d S ⃗ = \oint S q 4 π ε 0 r 2 r^\cdot d S ⃗ = \oint S q 4 π ε 0 r 2 d S \int \int q 4 π ε 0 r 2 r 2 sin θ d θ d ϕ = q 4 π ε 0 \int π 0 sin θ d θ \int 2 π 0 d ϕ q ε 0

$\begin{equation*} \begin{split} \Phi_E=& \oint_S \vec{E}\cdot\mathrm d\vec{S}=\oint_S\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\hat{r}\cdot\mathrm d\vec{S}=\oint_S\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\mathrm dS \\ =&\int\int\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}r^2\sin\theta\mathrm d \theta \mathrm d\phi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^{\pi}\sin\theta\mathrm d \theta \int_0^{2\pi} \mathrm d\phi \\ =&\frac{q}{\varepsilon_0} \end{split} \end{equation*}$

这个结果与球面半径无关，只与球心的电荷量有关。这意味着，对以点电荷 $q$ 为球心的任意球面来说，通过它们的电通量都相等，为 $q/\varepsilon_0$ ，用电场线的图像来说，通过各球面的电场线的条数都相等，也就是说，从点电荷 $q$ 发出的电场线连续地延伸到无限远处，中间电场线不中断，也不突然增加电场线。

现在设想点电荷在任意闭合曲面 $S'$ 内， $S'$ 面与球面 $S$ 包围同一个点电荷 $q$ ，如图6所示，由于电场线的连续性，则通过 $S'$ 面与球面 $S$ 的电场线的数目是一样的。因此通过任意形状的包围点电荷 $q$ 的闭合曲面的电通量都相等，为 $q/\varepsilon_0$ 。

张三慧
图6 通过包围 $q$ 的任意闭合曲面的电通量

如果闭合曲面 $S'$ 没有包围点电荷 $q$ ，如图7所示，由电场线的连续性可知，电场线从一侧进入 $S'$ ，一定会从另一侧穿出 $S'$ ，即净穿过 $S'$ 的电通量为零。

张三慧
图7 通过不包围 $q$ 的任意闭合曲面的电通量

以上讨论的是单个点电荷的电场，现在考虑一个点电荷系，组成电荷为 $q_1,q_2,q_3,\dots,q_n$ ，在空间产生的电场为：

E ⃗ = E ⃗ 1 + E ⃗ 2 + \dots + E ⃗ n = \sum i = 1 n E ⃗ i

$\begin{equation*} \vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2+\dots+\vec{E}_n=\sum_{i=1}^n\vec{E}_i \end{equation*}$

其中 $\vec{E}_i$ 为点电荷 $q_i$ 产生的电场。这个点电荷系的电场 $\vec{E}$ 通过某任意封闭曲面的电通量为：

Φ E = \oint S E ⃗ \cdot d S ⃗ = \oint S (\sum i = 1 n E ⃗ i) \cdot d S ⃗ = \sum i = 1 n \oint S E ⃗ i \cdot d S ⃗ = \sum i = 1 n Φ E i

$\begin{equation*} \Phi_E=\oint_S\vec{E}\cdot\mathrm d \vec{S} =\oint_S \left (\sum_{i=1}^n\vec{E}_i \right )\cdot\mathrm d \vec{S}=\sum_{i=1}^n\oint_S\vec{E}_i\cdot\mathrm d \vec{S} =\sum_{i=1}^n\Phi_{Ei} \end{equation*}$

如果电荷 $q_i$ 被封闭在曲面 $S$ 内部，则 $\Phi_{Ei}=q_i/\varepsilon_0$ ，如果电荷 $q_i$ 在曲面 $S$ 外部，则 $\Phi_{Ei}=0$ ，所以上式的结果为：

Φ E = \oint S E ⃗ \cdot d S ⃗ = 1 ε 0 \sum i \in S q i = q 内 ε 0

$\begin{equation*} \Phi_E =\oint_S\vec{E}\cdot\mathrm d \vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_{i\in S}q_i=\frac{q_{内}}{\varepsilon_0} \end{equation*}$

此即为高斯定理：真空中的任何静电场中,穿过任一闭合曲面的电通量,等于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以 $1/\varepsilon_0$ 。闭合曲面可能是也可能不是实际物理对象，只是为了应用高斯定理，因此也称为高斯面。

对于高斯定理要注意两点：(1) 闭合曲面处的电场 $\vec{E}$ 是所有电荷产生的，包括曲面外的电荷。(2)仅闭合曲面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献。

练习4 如图为电偶极子的电场线，分别求出通过A、B、C、D 四个闭合曲面的电通量。

利用立体角概念可以对高斯定理做严格证明，详见赵凯华《电磁学》。

高斯定理是电场力平方反比定律和线性叠加原理的直接结果。也可以由高斯定理作为基本规律导出库仑定律。这说明高斯定理和库仑定律是不同形式的表示电荷和电场关系的同一规律。库仑定律可以使我们从电荷分布求出电场分布，高斯定理可以使我们从电场分布求出电荷分布。

对于具有一定对称性的电荷体系，也可以由高斯定理求出电场分布，并且不库仑定律更为简便。

参考资料：

张三慧《电磁学》PDF 28
Chapter 4 of Electricity, Magnetism, and Light PDF148
University Physics 13th Ed

电磁学讲义5：高斯定理

电场线和电通量

高斯定理

内容目录