第8讲：哈密顿力学和时间平移不变性

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酒吧的伙计边喝饮料边读报，这是莱尼和乔治进来了。“酒保，你在读什么呢？”
伙计抬头看了下莱尼，说：“报上引用爱因斯坦的话：‘精神错乱就是一遍又一遍地重复作同一件事，而期待会有不同的结果。 ’你如何理解这句话？”
莱尼想了想，说：“就像我来这里，每次都点辛辣的食物，结果得了胃病？”
酒保笑了：“就是这意思。你都开始懂爱因斯坦了。”

时间平移对称性

你可能想知道能量守恒与对称性是不是有关系。确实有关系，但是又与我们在第7讲中讲的又不太一样。第7讲中所有对称性的例子都与坐标$q_i$平移有关。比如，平移对称性是将所有质点的笛卡尔坐标都同时平移相同的量，系统不发生任何变化。与能量守恒相关的对称性不是坐标平移，而是时间平移。

想象一个封闭系统的实验，不受任何外界影响。实验在$t_0$时刻开始，从一定初始条件开始演化，过一定时间后，看看得到的结果。然后晚些时候，重复实验，保持初始条件不变，持续时间不变，唯一不同的是起始时刻，推迟到$t_0+\Delta t$。你会猜想到实验结果应该会完全一样，时间平移量$\Delta t$不会带来任何变化。对于具有这样性质的系统，我们称其具有时间平移不变性。

不是所有系统都具有时间平移不变性。比如，我们生活在一个一直在膨胀的宇宙里。宇宙的膨胀效应在通常的实验条件下通常是可以忽略的，但是如果实验足够精确的话，晚一会儿做的实验和前面做的实验，结果会有细微差别。

下面我们说一个更接近现实的例子。考虑一个在磁场中运动的带电粒子。如果磁场是恒磁场，粒子运动是时间平移不变的。但是如果产生磁场的电流慢慢增大，粒子如果在同样的初始条件但在不同的时刻开始运动，我们就会得到不同的结果。粒子的运动就不是时间平移不变的。

时间平移对称性的是否存在如何体现在拉格朗日力学里？答案很简单，看拉格朗日量是否显含时间，说得清楚一点，看拉格朗日量的值随时间而变是否仅仅是通过坐标和速度的变化。如果是，则拉格朗日量隐含时间，如果否，则拉格朗日量显含时间。显含时间意思是拉格朗日量的函数形式里直接就有时间。比如谐振子的拉格朗日量：

$$L=\frac{1}{2}\left (m\dot{x}^2+kx^2\right )$$
如果$m$和$k$不随时间改变，上述拉格朗日量就是时间平移不变的。

如果弹簧常数$k$因为某种原因随时间变化，比如在一个有变化磁场的环境里，变化的磁场对弹簧里的原子有作用，这种作用会改变弹簧常数。在这样的情况，拉格朗日量为

$$L=\frac{1}{2}\left [m\dot{x}^2+k(t)x^2\right ]$$
这个拉格朗日量就是显含时间的。一般的拉格朗日量可写为
$$\begin{equation} L=L(q_i,\dot{q}_i,t) \label{eq1} \end{equation}$$

拉格朗日量的时间依赖性是源于体系的控制参数随时间的变化。

由此，我们可以给出时间平移对称性的数学判据：拉格朗日量不显含时间，则系统是时间平移不变的。

能量守恒

现在我们考虑拉格朗日量（方程$\eqref{eq1}$）的值如何随着系统演化而变化。拉格朗日量$L$的时间依赖性有三个来源。第一和第二个来源是坐标$q$和速度$\dot{q}$的时间依赖性。如果时间时间依赖性的来源仅此而已，则有

$$\frac{dL}{dt}=\sum_i\left (\frac{\partial L}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\ddot{q}_i \right )$$

如果拉格朗日量表达式里就显含时间，拉格朗日量对时间的微分就多出一项：

$$\begin{equation} \frac{dL}{dt}=\sum_i\left (\frac{\partial L}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\ddot{q}_i \right )+\frac{\partial L}{\partial t} \label{eq2} \end{equation}$$

我们逐一看看方程$\eqref{eq2}$中各项。由欧拉-拉格朗日方程，方程$\eqref{eq2}$求和号中第一项可写为：

$$\frac{\partial L}{\partial q_i}\dot{q}_i=\dot{p}_i\dot{q}_i$$
第二项变为
$$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\ddot{q}_i = p_i\ddot{q}_i$$
以上各项再带入方程$\eqref{eq2}$，得：
$$\frac{dL}{dt}=\sum_i \left (\dot{p}_i\dot{q}_i+p_i\ddot{q}_i \right ) + \frac{\partial L}{\partial t}$$

上式中的求和项可以简化，得如下恒等式：

$$\sum_i \left (\dot{p}_i\dot{q}_i+p_i\ddot{q}_i \right ) = \frac{d}{dt}\sum_i p_i \dot{q}_i$$
于是，得
$$\begin{equation} \frac{dL}{dt}=\frac{d}{dt}\sum_i p_i \dot{q}_i+\frac{\partial L}{\partial t} \label{eq3} \end{equation}$$

由上式可注意到，即使拉格朗日量$L$不显含时间，拉格朗日量也有时间依赖性，即通过第一项 $\frac{d}{dt}\sum_i p_i \dot{q}_i$ 随时间变化。也就是说，拉格朗日量不守恒。

观察方程$\eqref{eq3}$，可以看到一些有意思的东西。我们定义一个新的量$H$：

$$\begin{equation} \sum_i p_i \dot{q}_i-L=H \label{eq4} \end{equation}$$

则方程$\eqref{eq3}$可变为如下简单的形式：

$$\begin{equation} \frac{d H}{dt}=-\frac{\partial L}{\partial t} \label{eq5} \end{equation}$$

得到方程$\eqref{eq5}$的步骤有点复杂，但是这个结果很简单。只有当拉格朗日量显含时间的时候，$H$才随时间变化。更有趣的事情，如果系统是时间平移不变的，则量$H$守恒。

量$H$叫做哈密顿量，你可能已经猜到，它很重要，因为它是系统的能量，当然还有其他的原因。更重要的是，哈密顿量是力学一个新的形式理论——哈密顿力学的核心。眼下，我们还是从一个简单的例子，理解一下哈密顿量的意义。考虑势场中运动的一个质点，其拉格朗日量为：

$$\begin{equation} L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x) \label{eq6} \end{equation}$$

正则动量就是通常的动量：

$$\begin{equation} p=m\dot{x} \label{eq7} \end{equation}$$

将方程$\eqref{eq6}$和$\eqref{eq7}$带入方程$\eqref{eq4}$，得哈密顿量：

$$\begin{equation*} \begin{split} H& = (m\dot{x})\dot{x}-\frac{1}{2}m\dot{x}^2+V(x)\\ & = m\dot{x}^2-\frac{1}{2}m\dot{x}^2+V(x)\\ & = \frac{1}{2}m\dot{x}^2+V(x) \end{split} \end{equation*}$$

可见，$H$正是能量，动能加上势能。

对于一般情况，拉格朗日量是动能减去势能，哈密顿量为：

$$\begin{equation*} \begin{split} H& = p\dot{q}-T+V\\ & = T+V \end{split} \end{equation*}$$

有些系统的拉格朗日量会比较复杂，不能很明显的写为$T-V$。对于这样的情况，可能无法清楚地分出动能和势能。但不管怎样，构建哈密顿量的规则不变。系统的能量的一般定义是：
能量等于哈密顿量。
并且，如果拉格朗日量不显含时间，能量$H$守恒。

如果拉格朗日量显含时间，根据方程$\eqref{eq5}$，哈密顿量不守恒。能量不守恒，会怎么样呢？我们通过一个例子来说明一下。一个带电粒子，带有单位电量的电荷，在一个平板电容器之间运动，其实就是在一个匀强电场 $\epsilon$ 中运动。（这里我们用 $\epsilon$ 表示电场，而不是用通常的符号$E$，是为了避免与能量的符号混淆。）现在你不需要管电场是什么，你只需要知道的是，电容器产生一个势能 $\epsilon x$。拉格朗日量为：

$$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\epsilon x$$
只要电场是恒定的，能量就是守恒的。但是，如果电容器正在充电，那么 $\epsilon$ 就是逐渐增大的，此时拉格朗日量就是显含时间的：
$$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\epsilon(t) x$$
这种情况下，带电粒子的能量就不守恒了，能量的变化率为：
$$\frac{dH}{dt}=\frac{d\epsilon}{dt}x$$
增加的能量来自哪里呢？答案是来自给电容器充电的电池。这里不讲细节，只讲重点，如果系统只包括电容器中间的那个带电粒子，系统的能量不守恒，因为这只是包括电容器和电池在内的一个更大的系统的一部分，电容器和电池也是有能量的。

我们考虑下这整个实验，包括电池、电容器和带电粒子。最开始，电容器不带电，粒子静止在电容器极板间某处。某个时刻，接通电路，电流流向电容器，带电粒子感受到一个随时间变化的电场。实验最后的结果，电容器带上电荷，带电粒子运动起来。

再过一个小时后我们再做整个实验会怎么样呢？当然完全一样。换言之，整个系统是时间平移不变的，所以把电池、电容器和带电粒子看做一个系统，能量是守恒的。

但是，在很多问题里，把系统分成各个部分来研究会非常方便。在这样的情况下，如果系统里除你的研究对象之外的部分随时间变化，那么你的研究对象的能量就不守恒。

相空间和哈密顿方程

哈密顿量不仅仅是能量，还具有更深层的意义：哈密顿量是经典力学的全新的理论形式的基础，在量子力学里，它会更重要。

在拉格朗日力学里，我们关注的是系统的构型空间轨迹，轨迹用坐标$q(t)$描述。运动方程是二阶微分方程，所以只知道初始坐标是不够的，还需要知道初始速度。

哈密顿力学关注的是相空间。在哈密顿力学里，坐标$q_i$和速度$p_i$地位完全一样，$q_i$和速度$p_i$构成的空间即是相空间。系统的运动由相空间中的轨迹描述，数学上讲，由函数集合$q_i(t)$和$p_i(t)$来描述。所以，相空间的维数是构型空间维数的2倍。

维数增加一倍有什么好处？答案是，运动方程变成一阶微分方程，通俗点说，只要知道相空间中的初始点，就可以确定系统的未来。

构建哈密顿力学的第一步是消除所有的$\dot{q}$，代之以$p$。对于通常的笛卡尔坐标系里的质点，动量和速度说的基本是一件事情，只差了个因子质量。我们以沿直线运动的质点为例来说明如何构建哈密顿力学。我们有这样两个方程：

$$\begin{equation} \begin{split} & p = m\dot{x}\\ & H = \frac{1}{2}m\dot{x}^2+V(x) \end{split} \label{eq8} \end{equation}$$

速度用$p/m$替换，哈密顿量就变成$p$和$x$的函数：

$$H=\frac{p^2}{2m}+V(x)$$
$H$对$x$的偏导数为$\frac{dV}{dx}$，正是负的力，因此运动方程（$F=ma$）为如下形式

$$\begin{equation} \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial x} \label{eq9} \end{equation}$$

前面已经提到，在哈密顿力学里，坐标和动量地位完全一样，由此，你可能会猜到还有一个与方程$\eqref{eq9}$类似的方程，只是把$p$和$x$换一下位置。几乎如此，只是差那么一点点。正确的方程是：

$$\begin{equation} \dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p} \label{eq10} \end{equation}$$

你可以由方程$\eqref{eq8}$验证一下。

现在我们就得到了运动方程，简洁对称，只是不是一个方程，而是两个一阶微分方程

$$\begin{equation} \begin{split} & \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial x}\\ & \dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p} \end{split} \label{eq11} \end{equation}$$

以上就是直线运动的质点的哈密顿方程。我们现在推导一般系统的哈密顿方程。先从哈密顿量开始：

$$H=H(q_i,p_i)$$
类比方程$\eqref{eq11}$，就有

$$\begin{equation} \begin{split} & \dot{p}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}\\ & \dot{q}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i} \end{split} \label{eq12} \end{equation}$$

在相空间的每一个维度上，都对应一个一阶微分方程。

我们说一下该方程组与第一章的关系。本书第一章描述了决定论性定律如何确定未来。方程$\eqref{eq12}$就可以确定系统的未来：如果你知道系统的哈密顿量，以及任意时刻的所有坐标和动量，哈密顿方程就能告诉你下个瞬时的所有坐标和动量。如此进行下去，你就能确定相空间的轨迹。

谐振子的哈密顿力学

谐振子是物理里面最重要的简单系统。某自由度偏离平衡位置之后，然后在平衡位置附近振动，各种各样的体系都有这样的振动，所有这样的振动都可以用谐振子描述。我们考虑一个自由度$q$，势能$V(q)$有一个极小值点，不失一般性，我们假设极小值点在$q=0$处。极小值点附近的势能可用二次函数来近似：

$$\begin{equation} V(q)=V(0)+cq^2 \label{eq13} \end{equation}$$

其中$V(0)$和$c$都为常数。没有$q$的一次项，是因为导数$\frac{dV}{dq}$在极小值点必须等于0。我们也可以略去$V(0)$这一项，因为势能加上一个常数项对系统没有任何影响。

方程$\eqref{eq13}$并不具有一般性，$V$可以含有$q$的高阶项，如$q^3$、$q^4$等。只要系统偏移$q=0$处的程度非常小，这些高阶项都可以忽略。这可适用于各种系统：弦、摆、声波、电磁波，等等。

谐振子的拉格朗日量可写成如下特殊形式：

$$\begin{equation} L=\frac{1}{2\omega}\dot{q}^2+\frac{\omega}{2}q^2 \label{eq14} \end{equation}$$

这个拉格朗日量只含一个常数 $\omega$ 。

练习1：从拉格朗日量$\frac{m\dot{x}^2}{2}-\frac{kx^2}{2}$出发，证明做变量替换$q=(km)^{1/4}x$，可得如方程$\eqref{eq14}$形式的拉格朗日量。写出$k$、$m$和$\omega$之间的关系。

练习2：方程$\eqref{eq14}$所对应的哈密顿量。

方程$\eqref{eq14}$所对应的哈密顿量具有非常简单的形式：

$$\begin{equation} H=\frac{\omega}{2}(p^2+q^2) \label{eq15} \end{equation}$$

要得到这么简单的哈密顿量，我们需要把$x$变成$q$，这就是练习1所做的事情。

哈密顿力学的一大特征是$q$和$p$是对称的，而二者在谐振子的哈密顿量里几乎完全对称，仅有的不对称来自方程$\eqref{eq12}$中的负号。将方程$\eqref{eq15}$带入方程$\eqref{eq12}$，得

$$\begin{equation} \begin{split} & \dot{p}=-\omega q\\ & \dot{q}=\omega p \end{split} \label{eq16} \end{equation}$$

我们把哈密顿力学得到的这两个方程与拉格朗日力学得到的欧拉-拉格朗日方程做下比较。由方程$\eqref{eq14}$可得欧拉-拉格朗日方程：

$$\begin{equation} \ddot{q}=-\omega^2q \label{eq17} \end{equation}$$

首先，欧拉-拉格朗日方程只有一个，而哈密顿方程有两个。第二，欧拉-拉格朗日方程是二阶的，而哈密顿方程是一阶的。两个一阶的哈密顿方程与一个二阶欧拉-拉格朗日方程是等价的。方程$\eqref{eq16}$中的的第二个方程对时间在求一次导数，得：

$$\ddot{q}= \omega \dot{p}$$
再由方程$\eqref{eq16}$中的第一个方程，把上式中的 $\dot{p}$ 换成$-\omega q$，我们就得到方程$\eqref{eq17}$，欧拉-拉格朗日方程。

两种理论形式，哪个更好？看你的感觉了。但是先别忙着下结论，等学完相对论和量子力学，拉格朗日量和哈密顿量的意义才会变得完全清晰。

我们再回到方程$\eqref{eq16}$。我们习惯于在构型空间思考问题。谐振子系统沿着某个轴往复运动。谐振子系统是我们慢慢习惯相空间思考问题的一个很好的起点。谐振子的相空间是二维的。容易看出，谐振子的相空间轨迹是以原点为圆心的同心圆。道理很简单，回到哈密顿量表达式，方程$\eqref{eq15}$，哈密顿量，也就是能量，是守恒的，$q^2+p^2$是与时间无关的常数。即到相空间原点的距离是不变的，相点沿着半径固定的圆移动，并且角速度恒定为$\omega$。更有意思的是，所有轨道对应的角速度都相等，与谐振子的能量无关。把相点的圆周运动投影到横坐标$q$轴上，如图1所示，不出所料，相点沿$q$轴做往复运动，这正是振动的特点。但是，相空间二维的圆周运动才是振动的全面描述。把轨迹投影到纵坐标$p$轴，可以看出，动量也在振动。

图1. 谐振子的相空间轨迹

一般情况下，系统的相空间轨迹会比谐振子的相空间轨迹更复杂，对称程度也更低。但是相空间的点位于等能线上这一结论是普适的。我们后面会讨论相空间轨迹更一般的性质。

导出哈密顿方程

下面我们给出哈密顿方程的一般性推导。拉格朗日量是坐标和速度的函数：

$$L=L(\{q\},\{\dot{q}\})$$
哈密顿量为
$$H=\sum_i(p_i\dot{q}_i)-L$$
哈密顿量变分：
$$\begin{equation*} \begin{split} \delta H & = \sum_i(p_i\delta \dot{q}_i+\dot{q}_i\delta p_i ) - \delta L\\ &=\sum_i\left (p_i\delta \dot{q}_i+\dot{q}_i\delta p_i - \frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i -\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta \dot{q}_i \right ) \end{split} \end{equation*}$$

因为$p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$，上式中第一项和最后一项正好抵消，于是上式变为：

$$\delta H=\sum_i\left (\dot{q}_i\delta p_i - \frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i \right )$$

根据变分规则，

$$\delta H\left (\{q\},\{p\}\right )=\sum_i\left ( \frac{\partial H}{\partial p_i}\delta p_i+ \frac{\partial H}{\partial q_i}\delta q_i \right )$$

上面两式对比，可得：

$$\begin{equation} \begin{split} & \frac{\partial H}{\partial p_i}= \dot{q}_i\\ & \frac{\partial H}{\partial q_i}= -\frac{\partial L}{\partial q_i} \end{split} \label{eq18} \end{equation}$$

还差最后一步，欧拉-拉格朗日方程写成如下形式：

$$\frac{\partial L}{\partial q_i }=\dot{p}_i$$
带入方程$\eqref{eq18}$，就得到一般形式的哈密顿方程：

$$\begin{equation} \begin{split} & \frac{\partial H}{\partial p_i}= \dot{q}_i\\ & \frac{\partial H}{\partial q_i}= -\dot{p}_i \end{split} \label{eq19} \end{equation}$$