双嵌段高分子的跨膜传输

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摘要

本文从理论上研究了双嵌段高分子跨膜传输的动力学，着重考察了两嵌段不同的驱动力的效应，得到了首次通过时间满足的普适的方程。在两个嵌段的驱动力相差很大的极限情况下，如果弱驱动力嵌段先传输，传输时间约为两嵌段传输时间之和。如果强驱动力嵌段先传输，两嵌段之间的关联时间对总的传输时间有明显影响。

Translocation dynamics of a diblock polymer is studied theoretically, focusing on the effects of different driving forces of the two blocks. A general formula for the sequence effects on the average translocation time of a polymer passing through a nanopore is derived. Limiting cases are considered to illustrate the sequence dependence, When the weakly driven block enters the first, the translocation time is the sum of that of each block. When the strongly driven block first translocates, correlation time of the two blocks makes significant contribution to the translocation time.

导论

DNA、RNA、蛋白质等生物分子通过纳米孔从膜的一边传输到膜的现象在许多生物过程中都发挥着重要作用[1，2]，比如DNA和RNA的核孔输运、基因交换(gene swapping)、蛋白质输运、生物大分子测序等。由于生物体系里这些过程的重要性，高分子输运在实验[3-6]、理论[7-11]和模拟[12-14]等方面得到了广泛的研究。（参考文献 JCP 2006, 125, 084906 第1段）

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模拟
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实验已经证实，在跨膜传输过程中，生物大分子的序列对传输动力学有着显著的影响[15-17]。序列的影响被归结为各种原因，如大分子的构象[15]、大分子与纳米孔的相互作用和驱动力[16]。有人指出，穿膜肽（penetratin）运送药物等进入细胞的动力学，会受到肽不同序列的静电驱动力显著影响。但是，目前为止，生物大分子跨膜传输的驱动力的序列依赖性对传输动力学的具体影响仍然不太清楚。（参考文献 JCP 2008, 128, 125104 第1段）

[15] Celler B.; Zhu H. Y.; Cheng S. et al. Charged residues render pro-OmpA potential dependent for initiation of membrane translocation[J]. J. Biol. Chem. 1993, 268(13):9442-9447
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理论上，传输动力学被看做一个等效的一维外场驱动的扩散过程。传输时间由首次通过时间（Mean first passage time, MFPT）表征，可由自由能势求得。目前为止，高分子传输的理论工作仅仅只是考虑均聚物高分子的情形，而在实验里的体系大多是多嵌段高分子，甚至是杂聚物，不同的嵌段受到的驱动力和与纳米孔道的相互作用也不同。Muthukumar研究了双嵌段的传输动力学，考察了嵌段与纳米孔道不同的相互作用对传输动力学的影响[19]。马艳君等也研究了双嵌段高分子的传输，但是他们主要考察的是溶液环境的影响。本文考察两嵌段不同的驱动力对传输动力学的效应。

[19] Muthukumar M. Theory of sequence effects on DNA translocation
through proteins and nanopores[J]. Electrophoresis 2002, 23, 1417–1420
[20] 马艳君, 顾海芳，王海军. 两嵌段共聚高分子链通过薄膜上纳米孔隙输运的研究[J]. 化学学报. 2009, 67(27): 2295-2300

模型

考虑一链长为$N$的双嵌段高分子通过膜上一纳米孔，从膜一边传输到另一边。双嵌段高分子由A、B两种嵌段组成，长度分别为$N_A=fN$和$N_B=(1-f)N$。膜为刚性，并且可视为无限大二维平面，膜将空间分成I和II两部分，忽略膜的厚度，膜上供高分子穿过的孔足够小，只允许高分子链从一端穿过。A、B两嵌段链节在膜两边的化学势差分别为$\mu_A$和$\mu_B$（以无规热能$k_BT$为单位）。当高分子链有$m$个链节穿过纳米孔从区域I进入到区域II，则体系自由能为

$$\frac{F(m)}{k_BT}=(1-\gamma_2)\ln m + (1-\gamma_1)\ln (N-m)-m\mu(m)$$
其中，前两项来自两个区域链的构象熵的贡献。对于高斯链，$\gamma_{1,2}=0.5$，对于自回避链，$\gamma_{1,2}=0.69$，对于棒状链，$\gamma_{1,2}=1$。两个区域化学势差为
$$\mu(m)= \begin{cases}\mu_A & m < fN\\ \mu_A & m > fN\end{cases}$$
由自由能形式可知，传输过程中的自由能势垒依赖于链的构象熵和化学势差，链需要有足够大的核才能成功穿过膜，而化学势差的改变可以显著影响自由能势垒的高度，因此两个嵌段穿越孔道的顺序会对传输动力学带来显著的影响。

假设传输过程非常缓慢，膜两端的高分子链都可以充分弛豫到平衡状态。根据成核与生长理论，链的传输动力学由以下方程描述，

$$\frac{\partial P_m(t)}{\partial t} =\frac{\partial }{\partial m}\left [\frac{k_m}{k_BT}\frac{\partial F(m)}{\partial m}P_m(t)+\frac{\partial }{\partial m} k_mP_m(t)\right ]$$
其中，$P_m(t)$为$t$时刻在区域II有$m$个链节的概率，$k_m$为第$m$个链节进入区域II的速率常数，可以反应链节与纳米孔的相互作用。$m=0$处取反射性边界条件，$m=N$处取吸收性边界条件。由此动力学方程可得，高分子链从区域I到区域II的首次通过时间（Mean First Passage Time, MFPT），为
$$\tau = \int_0^N \mathrm dm\exp\left [\frac{F(m)}{k_BT}\right ] \int_0^m \mathrm dnk_m^{-1}\exp\left [-\frac{F(n)}{k_BT}\right ]$$

为了得到解析结果，可以假设自由能中构象熵远小于化学势，并且假设两嵌段与纳米孔相互作用相同，$k_m=k$。

$$k\tau = \int_0^N \mathrm dm\exp[-m\mu(m)]\int_0^m \mathrm dn \exp[n\mu(n)]$$

由方程可得传输时间

$$k\tau = \frac{\mu_1fN-(1-e^{-\mu_1fN})}{\mu_1^2}+\frac{(1-e^{\mu_1fN})(e^{-fN\mu_2}-e^{-N\mu_2})}{\mu_1\mu_2}+\frac{(1-f)N\mu_2-[1-e^{-(1-f)N\mu_2}]}{\mu_2^2}$$

如果$\mu_1=\mu_2$，
$k\tau = \frac{N\mu - (1-e^{-N\mu})}{\mu^2}$
我们考虑下几种极限情况。
i， $\mu_1=\mu_2 \rightarrow 0$
$k\tau = N^2/2$
ii，$\mu_1=\mu_2 = \mu \rightarrow \infty$
$k\tau = N/\mu$
iii，$\mu_1 \rightarrow 0$，$\mu_2 \rightarrow \infty$
$k\tau = \frac{(fN)^2}{2}+\frac{(1-f)N}{\mu_2}$
iv，$\mu_1 \rightarrow \infty$，$\mu_2 \rightarrow 0$
$k\tau = \frac{fN}{\mu_1}+(1-f)N\frac{e^{fN\mu_1}}{\mu_1}+\frac{(1-f)^2N^2}{2}$