狄拉克δ函数的导数

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原文见 Physics Pages

狄拉克δ函数的图像像个钉子，如下图所示，谈论他的导数好像比较奇怪。

δ函数

我们从狄拉克δ函数的积分性质开始它的导数。狄拉克δ函数具有如下性质：

$$\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x)\mathrm dx=f(0) \label{eq1} \end{equation}$$

狄拉克δ函数的$n$阶导数为$\delta^{(n)}(x)$，做如下分部积分

$$\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta^{(n)}(x)\mathrm dx=f(x)\delta^{(n-1)}(x)\big\lvert_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)\delta^{(n-1)}(x)\mathrm dx \label{eq2} \end{equation}$$

第一项是0，因为狄拉克δ函数在$x\neq 0$的地方是常数0，因此导数也为0。于是我们有

$$\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta^{(n)}(x)\mathrm dx=-\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)\delta^{(n-1)}(x)\mathrm dx \label{eq3} \end{equation}$$

上式对任意函数$f(x)$都成立，因此两边被积函数相等，

$$\begin{equation} f(x)\delta^{(n)}(x)\mathrm dx=- f'(x)\delta^{(n-1)}(x)\mathrm dx \label{eq4} \end{equation}$$

对于一阶导数有

$$\begin{equation} f(x)\delta'(x)\mathrm dx=- f'(x)\delta(x)\mathrm dx \label{eq5} \end{equation}$$

如果$f(x)=x$，有

$$\begin{equation} x\delta'(x)\mathrm dx=- \delta(x)\mathrm dx \label{eq6} \end{equation}$$

将$\eqref{eq4}$迭代下去，得

$$\begin{equation} f(x)\delta^{(n)}(x)\mathrm dx=(-1)^n \delta(x)\prod_{k=1}^nf^{(k)}(x) \label{eq7} \end{equation}$$

例1 令$f(x)=4x^2-1$，有

$$\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} (4x^2-1)\delta'(x-3)\mathrm dx=-\int_{-\infty}^{\infty} 8x\delta(x-3)\mathrm dx=-24 \label{eq8} \end{equation}$$

例2 令$f(x)=x^n$，由$\eqref{eq7}$式有

$$\begin{equation} x^n\delta^{(n)}(x)\mathrm dx=(-1)^n n!\delta(x) \label{eq9} \end{equation}$$