波的相干叠加

光学与原子物理

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波的独立性和叠加性

几列波相遇于同一区域，只要振动不是十分强烈，各波可以保持各自的频率、振幅和振动方向等特性，按照本身原来的传播方向继续前进，彼此不受影响，这就是波的独立性。在相遇区域，总的振动是分振动的线性叠加。

两列或两列以上的波，如果波频率相等，在观测时间内波动不中断，而且在相遇处振动方向几乎沿同一直线，那么叠加后的合振动可能在某些地方加强，某些地方减弱，这种现象称为干涉。振动强度的分布称为干涉图样，或干涉花样。

干涉是波独有的行为，表明实物物体的运动与波动是完全不同的。两个运动的实物物体——比如两列火车——不可以好不干扰地彼此穿越。

波的独立性和叠加性并不是总能成立的，当波的强度非常大时，独立性和叠加性可能会失效。

相干与不相干叠加

考虑频率相同，振动方向相同，具有恒定初始相位的两列波的叠加。设这两列波从空间两定点$S_1$和$S_2$发出，波源的振动可分别表示为

$$\begin{equation*} \psi_{01}=A_1\cos\left (\omega t+\varphi_{01} \right) \end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \psi_{02}=A_2\cos\left (\omega t+\varphi_{02} \right) \end{equation*}$$

其中$\varphi_{01}$和$\varphi_{02}$分别是两波源振动的初相位。两列波同时到达空间一点$P$处，$P$点到两波源的距离分别是$r_1$和$r_2$，波速分别为$v_1$和$v_2$，如下图所示，

则$P$点处的振动为

$$\begin{equation*} \psi_1=A_1\cos\left [\omega\left (t-\frac{r_1}{v_1}\right)+\varphi_{01} \right ]=A_1\cos\left (\omega t+\varphi_{1} \right) \end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \psi_2=A_2\cos\left [\omega\left (t-\frac{r_2}{v_2}\right)+\varphi_{02} \right ]=A_2\cos\left (\omega t+\varphi_{2} \right) \end{equation*}$$

其中$\varphi_{1}=-\omega\frac{r_1}{v_1}+\varphi_{01}$，$\varphi_{2}=-\omega\frac{r_2}{v_2}+\varphi_{02}$，为两个振动的相位。$P$点处的合振动是两振动的线性叠加：

$$\begin{equation*} \psi=\psi_1+\psi_2=A\cos(\omega t + \varphi) \end{equation*}$$

合振动的振幅和相位可由三角函数求得

$$\begin{equation*} A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\Delta \varphi \end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \tan \varphi=\frac{A_1\sin\varphi_1+A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1+A_2\cos\varphi_2} \end{equation*}$$

以上结果也可以用几何法得到，并且更简便。如下图所示

振动的强度正比于振幅的平方，于是$P$点处振动强度为

$$\begin{equation*} I=A^2=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\Delta \varphi \end{equation*}$$

其中

$$\begin{equation*} \Delta \varphi = \omega\left (\frac{r_2}{v_2}-\frac{r_1}{v_1}\right )-(\varphi_{02}-\varphi_{01}) \end{equation*}$$

以上结果也可由复数法得到。合振动用复数表示为

$$\begin{equation*} \psi=(A_1e^{i\varphi_1}+A_2e^{i\varphi_2})e^{i\omega t}=Ae^{i\omega t} \end{equation*}$$

$P$点处振动强度为

$$\begin{equation*} \begin{split} I&=|A|^2=(A_1e^{-i\varphi_1}+A_2e^{-i\varphi_2})(A_1e^{i\varphi_1}+A_2e^{i\varphi_2})\\ &=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\Delta \varphi \end{split} \end{equation*}$$

可以看出，在一般情况下，合振动的强度不等于分振动强度之和，还取决于传播到该点的两个分振动的相位差$\Delta \varphi$。不同的$P$点处，强度随相位差做周期性的变化，于是两列波在重叠区域形成稳定的强度的周期性分布，这就是波的干涉现象。

实际观察到的总是在较长时间内的平均强度。在某一时间间隔$\tau$内，合振动的平均相对强度为

$$\begin{equation*} \overline{I}=\overline{A^2}=\frac{1}{\tau}\int_0^{\tau}A^2\mathrm dt=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\frac{1}{\tau}\int_0^{\tau}\cos(\varphi_2-\varphi_1)\mathrm dt \end{equation*}$$

如果在观测时间内，振动断断续续，两振动相位差不恒定，例如是无规随机变化，相位差可取任意值，几率均等地在观察时间多次历经从0到$2\pi$之间的一切可能值，则

$$\begin{equation*} \frac{1}{\tau}\int_0^{\tau}\cos(\varphi_2-\varphi_1)\mathrm dt =0 \end{equation*}$$

于是

$$\begin{equation*} \overline{I}=I_1+I_2 \end{equation*}$$

那么合振动平均强度等于分振动强度之和。表面上看来，在这种情况下，合振动强度是分振动之和，不表现出干涉现象。

如果两波的频率不同，则相位差连续变化，空间$P$点处强度连续变化，对时间取平均，同样得$\overline{I}=I_1+I_2$

如果振动方向互相垂直，合振动由矢量合成得到。设两分振动分别为

$$\begin{equation*} \vec{E}_1=\vec{A}_1\cos\left [\omega\left (t-\frac{r_1}{v_1}\right)+\varphi_{01} \right ]=\vec{A}_1\cos\left (\omega t+\varphi_{1} \right) \end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \vec{E}_2=\vec{A}_2\cos\left [\omega\left (t-\frac{r_2}{v_2}\right)+\varphi_{02} \right ]=\vec{A}_2\cos\left (\omega t+\varphi_{2} \right) \end{equation*}$$

合振动为

$$\begin{equation*} \vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2 \end{equation*}$$

用复数法可求得合振动强度

$$\begin{equation*} \begin{split} I&=|A|^2=(\vec{A}_1e^{-i\varphi_1}+\vec{A}_2e^{-i\varphi_2})\cdot(\vec{A}_1e^{i\varphi_1}+\vec{A}_2e^{i\varphi_2})\\ &=I_1+I_2+2\vec{A}_1\cdot\vec{A}_2\cos\Delta \varphi \\ &=I_1+I_2 \end{split} \end{equation*}$$

为非相干叠加。

综上，要得到相干叠加：频率相同，振动方向不垂直，观测期间两振动相位差恒定。

实现光的干涉的条件

两盏灯照射在墙上，墙的亮度是两盏灯单独照射时亮度的和，没有明暗条纹，说明两束光的叠加是非相干的，这是因为两个独立光源的初相位差是不恒定的。

光的辐射源于物质的原子或分子。在两个通常独立的光源中，甚至在同一发光体的不同部分，一般说来原子的辐射是互不相干的。在一批发出辐射的原子里，由于能量损失或由于周围原子的作用，辐射过程常常会中断。一次辐射过程延续时间很短，约$10^{-8}s$。随后另一批原子发光，但是已经具有新的初相位。因此不同原子发出的辐射之间的相位差，将在每一次新的辐射开始时发生改变，也就是说，没经过一个很短的时间间隔，相位差都会改变。光波不是无限长的连绵不断的波，而是有限长的断断续续的波列，各个波列都有不同的初始相位，完全随机的。所以两个独立的光源是不相干的。

要观察到光的干涉，可以采用某些方法将同一光源点发出的光波列分成两部分，在空间经过不同的路径再重叠起来，这样的两束光具有固定的相位差，可以满足相干条件，实现干涉。

参考资料

• 光学·近代物理
• 光学，姚启钧