费马原理

光学与原子物理

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光线

光是电磁波，所有光学现象都能有电磁波的概念来理解。但是很多现象，如光的直线传播、反射、折射等，利用光线的概念，用几何的方法来研究，更为方便，此即为几何光学。

在几何光学领域研究光的传播需要用到光线的概念。什么是光线？光线不是用光阑从光束中分出来的一个狭窄部分。如图，一个圆形光阑放在电光源P之前。

当光阑直径相当大时（比如1cm），则在屏幕SS‘上可以看到界限分明的圆形光斑。减小光阑的尺寸，刚开始，光斑的尺寸也随之减小，但是当光阑尺寸非常小（比如<0.1mm），屏幕上的图样就不再是界限分明的，这就是衍射现象，这是光波长$\lambda$为有限值的直接结果，并且，衍射效应将随着波长的减小而减小。如果$\lambda\rightarrow 0$，即使光阑尺寸极其小，屏幕上也有界限分明的影子。因此当波长趋于0时，可以获得无限细的一束光，叫做光线。即光线是波长趋于0的极限下能量的传播路径。光波长的数量级在$10^{-5}$cm量级，这与透镜、反射镜等通常的光学仪器的尺寸比起来非常小，从而在许多应用张可以忽略波长的有限大小，如果只考虑光的传播方向问题，可以不考虑位相，可以应用光线这一概念。借助于光线这一概念，应用某些基本实验定律，就可以进行一切必要的计算而不必涉及光的本性的问题。以几何定律和某些基本实验定律为基础的光学称为几何光学。

基本实验定律

• 光在均匀介质中沿直线传播
• 反射定律
  $$i=i’$$
  和折射定律
  $$n_1 \sin i=n_2 \sin r$$
• 光独立传播和光路可逆

费马原理

科学的荣耀在于对极端丰富的现象给予简要的的概括。几何光学里有非常丰富的现象，可以用费马原理概括：

光沿用时最短的路径，从一点行进到另一点。

这一表述有漏洞，正确的表述为

光沿用时为平稳值的路径，从一点行进到另一点。

这是什么意思？
光在真空中传播距离$s$所需要的时间为

$$t=s/c$$
如果是在折射率为$n$的介质中传播距离$s$所需要的时间为
$$t=s/v=ns/c$$
如果光经过$m$种不同的介质，在第$i$种介质中走过的路程为$s_i$，则所经历的时间为
$$t=\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}+\ldots +\frac{s_m}{v_m}=\sum_{i=1}^m\frac{s_i}{v_i}=\frac{1}{c}\sum_{i=1}^mn_is_i$$
若折射率连续变化，求和变成积分
$$t=\frac{1}{c}\int n\mathrm d s$$

折射率与路程的乘积定义为光程

$$L=\sum_{i=1}^mn_is_i$$
若折射率连续变化，求和变成积分
$$L=\int n\mathrm d s$$

光走过的路径，应满足光程的变分为0：

$$\delta L=\delta \int n\mathrm d s = 0$$

我们现在还没有办法详细解释“变分”的含义，粗浅一点理解，类似函数的微分。
变分之于泛函，就相当于微分之于函数。而泛函则是函数的函数（以函数为自变量的特殊的函数），因为光线的路径本身是函数，而光程又是路径这个函数的函数，因此光程是泛函。所谓一阶变分为零，其实就和一阶导数为零意思相近。

从费马原理推导几何光学基本实验定律

推导均匀介质中光沿直线传播定律

均匀介质即介质的折射率在任何一点都是常数。两点间的所有可能连线中，线段最短——光程取极小值。

推导反射定律

见书

推导折射定律

见书

透镜等光程性

留在以后讲
物点Q与像点Q‘之间的光程总是平稳的，即不管光线经何
路径，凡是由Q通过同样的光学系统到达Q’的光线，都是
等光程的。

椭球面反射

对椭球面，光程为稳定值
对PMQ面，光程为极大值
对SMP面，光程为极小值
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