@joyphys
2015-08-17T09:47:16.000000Z
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物理理论最低基础
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“老先生,你在火车头下找什么?”
莱尼超爱大个头蒸汽机车,经常和乔治去火车场看火车。
今天,他们发现一位老先生好像在找什么东西。
老先生问乔治:“拉火车的马在哪里?”
“火车跑不需要马,我来告诉你火车怎么跑的,你看这里,”乔治说着,指着火车头上一个地方,“那里是火箱,煤炭在其中燃烧,放出化学能,紧挨着火箱是锅炉,热将锅炉里的水加热,产生蒸汽。蒸汽压推动火箱里的活塞,即对活塞做功。活塞又推动这些杆,这些杆带动火车轮子转起来。”老先生与乔治握了握手,带着理解的微笑离开了。
莱尼一直站在边上听乔治讲解火车。莱尼带着崇拜,对乔治说:“乔治,你讲得真好,我都懂了,火箱,锅炉,活塞。只是有一个点我还没懂。”
“莱尼,还有什么不懂?”
“马在哪里?”
大家都学过,能量有多种形式,如动能、势能、热能、化学能、核能、……,并且知道,能量的总量是守恒的。但是经典物理研究质点运动时候只有两种能量形式:动能和势能。导出能量守恒的最佳方法是直接跳到正式的数学公式,再后退一步,看看我们会得到什么。
最基础的原理我们可称之为势能原理,所有的力都可由势能函数
我们可以这样理解方程(
势能本身是不守恒的。随着质点的运动,
动能
随着质点沿
我们先计算动能的时间变化率。动能里,质量不变,速度的平方
练习1:证明方程( |
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于是,动能对时间的导数为
下一步,我们计算势能的时间变化率。这里要注意到的关键点是,势能
现在就可以计算总能量的时间变化率了:
我们讨论多维情况之前,我们还需要讨论一点,动量为什么不守恒?在前面的章节里,我们证明过,对于孤立系统,牛顿第三定律意味着动量守恒。答案是,我们漏掉了系统里的一些事情,即对做一维运动的质点施加力的物体。比如,如果要研究的问题是引力场中下落的质点,引力是地球施加的。当质点下降时,它的动量是变化的,但是这一变化为地球运动微小变化所弥补。即把下落的物体和地球看成一个系统,动量还是守恒的。
力的分量是势能的导数,但这不是力的定义。不从势能的导数来想象力学定律可能更自然些,但是自然并不运用这样的非保守力。
让我们思考问题比以前更抽象一点。构型空间(也即位置空间)的坐标称为
现在写下运动方程:
在上一节的一维情况,力是势能的负导数,见方程(
这个原理还真不是随便猜想的。这是物理学里最重要的原理之一的数学表达式:
对于任何系统,存在一个函数
方程(
想象一下,函数
现在,我们开始导出能量守恒。把方程(
我们下一步的处理技巧与一维情况是一样的。总的动能为各坐标对应的动能之和:
现在我们看看方程(
为了形象化地理解方程(
你可能纳闷,自然界的力为什么总是单个函数的梯度(导数)?下一章,我们将从最小作用量原理,重新把经典力学总结为新的理论体系,这一新的理论体系的起点就是存在这样的势能函数。你又会问,为什么有个最低作用量原理?答案可追溯到量子力学和量子场论里力的起源,这些内容我们还谈不到。为什么用到量子场论?我们必须在某处放弃回答这样的问题,就接受好了。当然,我们也可以一直追寻下去。
练习2:考虑做二维运动的质点,两个坐标分别为 |
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练习3:重新考虑练习2,但势能函数为 |
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在讨论最小作用量原理之前,我想列举一些物理中经常讨论的能量,并评述一下它们如何适用于能量守恒的物理图像。常见的能量有:
一些能量形式(不是全部)之间的区别有点过时了。机械能常常指宏观物体的动能和势能,如行星和塔吊吊起的重物。机械能也常指引力势能。
热能藏身于气体或分子集合体里,也包括动能和势能,与机械能的差别是,热能涉及很多很多质点混沌运动,我们甚至无法细致刻画这些运动。化学能也很特别,储存于化学键中,是构成分子的的粒子的动能和势能之和。化学能更难以理解,因为需要用到量子力学,归根结底,化学能也是粒子的动能和势能。原子能或核能,可与化学能类似理解。
静电能是一种势能,与带电粒子之间的排斥力和吸引力有关。事实上,除了引力势能,静电能是日常经典世界最主要的势能。静电能是原子与分子里带电粒子之间的势能。
磁能有点复杂,是磁极之间作用力对应的势能。复杂之处在于磁体和带电粒子之间的作用力。带电粒子所受到的磁力与速度有关。我们后面还会讨论这个问题。
电磁辐射里也蕴藏着能量,这种能量形式多样,如太阳发的热、无线电波里的能量、激光,等。广义来讲,辐射能也是动能和势能之和,但不是质点或粒子的能量,而是场的能量。本书不讨论电磁能。