第5讲：能量

物理理论最低基础 Blog

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“老先生，你在火车头下找什么？”
莱尼超爱大个头蒸汽机车，经常和乔治去火车场看火车。
今天，他们发现一位老先生好像在找什么东西。
老先生问乔治：“拉火车的马在哪里？”
“火车跑不需要马，我来告诉你火车怎么跑的，你看这里，”乔治说着，指着火车头上一个地方，“那里是火箱，煤炭在其中燃烧，放出化学能，紧挨着火箱是锅炉，热将锅炉里的水加热，产生蒸汽。蒸汽压推动火箱里的活塞，即对活塞做功。活塞又推动这些杆，这些杆带动火车轮子转起来。”老先生与乔治握了握手，带着理解的微笑离开了。
莱尼一直站在边上听乔治讲解火车。莱尼带着崇拜，对乔治说：“乔治，你讲得真好，我都懂了，火箱，锅炉，活塞。只是有一个点我还没懂。”
“莱尼，还有什么不懂？”
“马在哪里？”

力和势能

大家都学过，能量有多种形式，如动能、势能、热能、化学能、核能、……，并且知道，能量的总量是守恒的。但是经典物理研究质点运动时候只有两种能量形式：动能和势能。导出能量守恒的最佳方法是直接跳到正式的数学公式，再后退一步，看看我们会得到什么。

最基础的原理我们可称之为势能原理，所有的力都可由势能函数$V(\{x\})$导出，如前面的章节一样，$\{x\}$代表体系$N$个质点的$3N$个坐标的集合，即构型空间。为了更清晰地展示势能原理，我们这里考虑最简单的情形，沿$x$轴运动的单个质点，所受外力为$F(x)$。根据势能原理，质点所受的力与势能$V(x)$的导数有关：

$$\begin{equation} F(x)=-\frac{dV(x)}{dx} \label{eq:1} \end{equation}$$
在一维情形下，势能原理其实就是势能的定义。对方程($\ref{eq:1}$)两边积分，就可得到势能：
$$\begin{equation} V(x)=-\int F(x)dx \label{eq:2} \end{equation}$$

我们可以这样理解方程($\ref{eq:1}$)：力总是试图将质点推往势能更低的地方（注意方程中的负号）。另外，$V(\{x\})$越陡，力越大。总结为一句广告语：力推你下山（Force pushes you down the hill）。

势能本身是不守恒的。随着质点的运动，$V(\{x\})$要发生变化。守恒的量是势能与动能的总和。粗略地讲，随着质点滚下山（即质点向势能低处运动），质点速度越来越大。如果质点向山上滚，质点速度愈来愈小。有某种东西是守恒的。

动能$T$用速度$v$和质量$m$来定义，具体定义为：

$$T =\frac{1}{2}mv^2$$
质点的总能量$E$为动能与势能的和：
$$E =\frac{1}{2}mv^2 + V(x)$$

随着质点沿$x$轴运动，两种形式的能量都发生变化，但是变化的方式是保持二者之和不变。下面我们来证明这一点。如果总能量$E$对时间的导数为零，则就证明总能量不随时间变化。

我们先计算动能的时间变化率。动能里，质量不变，速度的平方$v^2$会变化，$v^2$对时间的导数为：

$$\begin{equation}\frac{dv^2}{dt}=2v\frac{dv}{dt}=2v\dot{v} \label{eq:3} \end{equation}$$

练习1：证明方程($\ref{eq:3}$)

于是，动能对时间的导数为

$$\dot{T}=mv\dot{v}=mva$$
在上式中，速度对时间的导数代换为加速度。

下一步，我们计算势能的时间变化率。这里要注意到的关键点是，势能$V(x)$会随时间变化是因为$x$会随时间变化。势能对时间求导，得：

$$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dx}\frac{dx}{dt}$$
将$\frac{dx}{dt}$代换为速度$v$，有：
$$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dx}v$$
（注意不要把$V$和$v$弄混。）

现在就可以计算总能量的时间变化率了：

$$\dot{E}=\dot{T}+\dot{V}=mva+\frac{dV}{dx}v$$
两项都有$v$，提取公因式，有：
$$\dot{E}=v\left (mva+\frac{dV}{dx}\right )$$
注意看括号里边，势能与力有关系。由方程($\ref{eq:1}$)，上式变为：
$$\dot{E}=v\left (mva-F(x)\right )$$
由牛顿第二定律，$F=ma$，上式小括号中的项正好抵消，则$\dot{E}=0$，我们也就证明了能量守恒。

我们讨论多维情况之前，我们还需要讨论一点，动量为什么不守恒？在前面的章节里，我们证明过，对于孤立系统，牛顿第三定律意味着动量守恒。答案是，我们漏掉了系统里的一些事情，即对做一维运动的质点施加力的物体。比如，如果要研究的问题是引力场中下落的质点，引力是地球施加的。当质点下降时，它的动量是变化的，但是这一变化为地球运动微小变化所弥补。即把下落的物体和地球看成一个系统，动量还是守恒的。

高维运动

力的分量是势能的导数，但这不是力的定义。不从势能的导数来想象力学定律可能更自然些，但是自然并不运用这样的非保守力。

让我们思考问题比以前更抽象一点。构型空间（也即位置空间）的坐标称为$x_i$。这里的下标$i$不是标记质点的，也不是标记空间方向的，而是涵盖这一切。对于$N$个质点组成的系统，$i$有$3N$个值。我们先不管这怎么来的，只考虑$i$标记的一个抽象坐标系。

现在写下运动方程：

$$\begin{equation} m_i\ddot{x}_i=F_i(\{x\}) \label{eq:4} \end{equation}$$
每个坐标都对应一个质量$m_i$和一个力的分量$F_i$。力的每个分量都依赖于所有位置$\{x\}$。

在上一节的一维情况，力是势能的负导数，见方程($\ref{eq:1}$)。这是势能的定义，但不是力要满足的特殊条件。对于高维情况，事情更复杂。一般情况下，不是所有的力$F_i(\{x\})$都是某个函数的$V(\{x\})$的导数。如果我们认为力的分量都可以描述为一个势能函数的（偏）导数，这会是一个全新的原理。

这个原理还真不是随便猜想的。这是物理学里最重要的原理之一的数学表达式：
对于任何系统，存在一个函数$V(\{x\})$，与力满足如下关系：

$$\begin{equation} F_i(\{x\})=-\frac{\partial V(\{x\})}{\partial x_i} \label{eq:5} \end{equation}$$

方程($\ref{eq:5}$)表示什么自然定律？你可能已经猜到，能量守恒。我们稍候予以说明，现在我们说明一下方程($\ref{eq:5}$)表达的的物理图像。

想象一下，函数$V(\{x\})$表示地形图，表示各点的高度。首先，方程($\ref{eq:5}$)中的负号表示力指向山下的方向，并且表示，越陡的地方力越大。比如，在等高线图上，沿着等高线没有力。力矢量与等高线垂直。

现在，我们开始导出能量守恒。把方程($\ref{eq:5}$)带入运动方程方程($\ref{eq:4}$)，有：

$$\begin{equation} m_i\ddot{x}_i=-\frac{\partial V(\{x\})}{\partial x_i} \label{eq:6} \end{equation}$$
方程($\ref{eq:6}$)两边都乘以相应的速度$\dot{x}_i$，并对所有分量求和：
$$\begin{equation} \sum_i m_i\dot{x}_i\ddot{x}_i=-\sum_i \dot{x}_i\frac{\partial V(\{x\})}{\partial x_i} \label{eq:7} \end{equation}$$

我们下一步的处理技巧与一维情况是一样的。总的动能为各坐标对应的动能之和：

$$T=\frac{1}{2}\sum_i m_i\dot{x}$$

现在我们看看方程($\ref{eq:7}$)的两边分别是什么。先看左边：

$$\sum_i m_i\dot{x}_i\ddot{x}_i=\frac{dT}{dt}$$
再看右边：
$$-\sum_i \dot{x}_i\frac{\partial V(\{x\})}{\partial x_i}=-\frac{dV}{dt}$$
因此方程($\ref{eq:7}$)可写为：
$$\begin{equation}\frac{dT}{dt}+\frac{dV}{dt}=0 \label{eq:8} \end{equation}$$
与一维情况一模一样，方程($\ref{eq:8}$)表达的意思是，总能量对时间的导数为0，即能量守恒。

为了形象化地理解方程($\ref{eq:8}$)的含义，我们想象一个球在一片山地无摩擦滚动。球向低处滚动时，速度增大，球向高处滚动时，速度减小。方程($\ref{eq:8}$)告诉我们，球滚动过程中，动能和势能的总和保持不变。

你可能纳闷，自然界的力为什么总是单个函数的梯度（导数）？下一章，我们将从最小作用量原理，重新把经典力学总结为新的理论体系，这一新的理论体系的起点就是存在这样的势能函数。你又会问，为什么有个最低作用量原理？答案可追溯到量子力学和量子场论里力的起源，这些内容我们还谈不到。为什么用到量子场论？我们必须在某处放弃回答这样的问题，就接受好了。当然，我们也可以一直追寻下去。

练习2：考虑做二维运动的质点，两个坐标分别为$x$和$y$，质点的质量为$m$。势能函数为$V=\frac{1}{2}k(x^2+y^2)$。请写出运动方程。证明存在圆形轨道，并且各圆形轨道的周期都相同。证明能量守恒。

练习3：重新考虑练习2，但势能函数为$V=\frac{k}{2(x^2+y^2)}$，问还是否可能有圆形轨道？如果存在，这些圆形轨道的周期相同吗？总能量守恒吗？

在讨论最小作用量原理之前，我想列举一些物理中经常讨论的能量，并评述一下它们如何适用于能量守恒的物理图像。常见的能量有：

• 机械能
• 热能
• 化学能
• 原子能或核能
• 静电能
• 磁能
• 辐射能

一些能量形式（不是全部）之间的区别有点过时了。机械能常常指宏观物体的动能和势能，如行星和塔吊吊起的重物。机械能也常指引力势能。

热能藏身于气体或分子集合体里，也包括动能和势能，与机械能的差别是，热能涉及很多很多质点混沌运动，我们甚至无法细致刻画这些运动。化学能也很特别，储存于化学键中，是构成分子的的粒子的动能和势能之和。化学能更难以理解，因为需要用到量子力学，归根结底，化学能也是粒子的动能和势能。原子能或核能，可与化学能类似理解。

静电能是一种势能，与带电粒子之间的排斥力和吸引力有关。事实上，除了引力势能，静电能是日常经典世界最主要的势能。静电能是原子与分子里带电粒子之间的势能。

磁能有点复杂，是磁极之间作用力对应的势能。复杂之处在于磁体和带电粒子之间的作用力。带电粒子所受到的磁力与速度有关。我们后面还会讨论这个问题。

电磁辐射里也蕴藏着能量，这种能量形式多样，如太阳发的热、无线电波里的能量、激光，等。广义来讲，辐射能也是动能和势能之和，但不是质点或粒子的能量，而是场的能量。本书不讨论电磁能。