电磁学讲义11：安培环路定理

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前面我们用积分法计算了电流的磁场，即先算出电流元的磁场，然后把各电流元的磁场加起来，即得整个电流的磁场。计算方法如用积分法计算电荷体系的电场。在静电学部分，我们知道，对于具有一定对称性的带电体系，我们可以通过高斯定理，很方便地算出电场。对于具有一定对称性的电流分布，能否有类似的简便方法？

有，这就是安培环路定理。

对于电场，高斯定理将电场分布和电荷分布联系起来。磁场有没有这样的高斯定理呢？磁场有高斯定理，但是磁场的高斯定理却给不出磁场与电流分布的联系。磁场的环路定理能够给出磁场与电流分布的联系。

高斯定理是关于通量的，环路定理是关于环量的。磁感应强度的环量与电流分布有关。我们从最简单的长直导线电流开始考察。

长直导线电流的安培环路定理

长直导线通以电流$I$，距离导线$r$处磁感应强度为：

$$\begin{equation*} B=\frac{\mu_0I}{2\pi r} \end{equation*}$$

磁感线为以导线为中心的同心圆。$\vec{B}$沿着以导线为中心以$r$为半径的圆做线积分，积分方向与电流方向满足右手定则，如图1所示。$\vec{B}$沿此路径的环量为

$$\begin{equation*} \oint \vec{B}\cdot \mathrm d\vec{l}=\oint B\mathrm dl = B \oint \mathrm dl = \mu_0I \end{equation*}$$

图1 $\vec{B}$沿圆周积分，积分方向与电流方向满足右手定则

如果积分方向与电流方向满足左手定则，如图2所示，则（$\vec{B}$的环量）积分结果为

$$\begin{equation*} \oint \vec{B}\cdot \mathrm d\vec{l}=-\oint B\mathrm dl = -B \oint \mathrm dl = -\mu_0I \end{equation*}$$

图2 $\vec{B}$沿圆周积分，积分方向与电流方向满足左手定则

如果积分路径不包围电流，如图3所示，$ab$为半径为$r_1$上的一段圆弧，$cd$为半径为$r_2$上的一段圆弧，在圆弧$ab$上各点处，$B=B_1=\frac{\mu_0I}{2\pi r_1}$，在圆弧$cd$上各点处，$B=B_2=\frac{\mu_0I}{2\pi r_2}$，在直线$bc$和$da$上各点，磁场方向与直线垂直。

图3 $\vec{B}$沿不包围电流的闭合路径的线积分

$\vec{B}$ 沿图3中闭合路径线积分（$\vec{B}$的环量）

$$\begin{equation*} \begin{split} \oint \vec{B}\cdot \mathrm d\vec{l}=&\int_a^b B_1\mathrm dl + 0\int_b^c\mathrm dl-\int_c^d B_2\mathrm dl+ 0\int_b^c\mathrm dl \\ =&\frac{\mu_0I}{2\pi r_1}r_1\theta-\frac{\mu_0I}{2\pi r_2}r_2\theta=0 \end{split} \end{equation*}$$

现在我们看一下更一般的路径。如果路径包围电流，如图4所示，$\vec{B}$ 沿图4中闭合路径的环量为，

$$\begin{equation*} \oint \vec{B}\cdot \mathrm d\vec{l}=\oint B\cos\phi \mathrm dl = \oint B r\mathrm d\theta = \oint \frac{\mu_0I}{2\pi r}r\mathrm d\theta =\mu_0I \end{equation*}$$

图4 $\vec{B}$沿包围电流的一般闭合路径的线积分

如果闭合路径不包围电流，如图5所示，$\vec{B}$的环量为0，

$$\begin{equation*} \oint \vec{B}\cdot \mathrm d\vec{l}=0 \end{equation*}$$

图5 $\vec{B}$沿不包围电流的一般闭合路径的线积分

安培环路定理

我们以上只讨论了平面内的闭合路径，可以证明以上结论也适用于非平面内闭合路径。还可以证明更一般的情况，对于任意稳恒电流（不必是直导线中的电流），上述$\vec{B}$ 的环量与电流的关系依然成立。根据叠加原理，当有若干个稳恒电流存在时，合磁场$\vec{B}$沿任意闭合路径的环量为

$$\begin{equation*} \oint \vec{B}\cdot \mathrm d\vec{l}=\mu_0 \sum_{内}I_i \end{equation*}$$

式中$\sum_{内}I_i$ 表示环路所包围的电流的代数和，这就是安培环路定理。

这里被“环路所包围的电流”指与环路所铰链在一起的电流。

电流的符号的规定，如果积分路径方向与电流方向满足右手定则，则电流为正，否则为负。

图6 电流回路与安培环路的铰链

如图6所示，安培环路$L$所包围的电流的代数和为$I_1-I_2$，$I_3$与安培环路没有铰链，$I_4$不在环路内。

图7 安培环路与2匝电流铰链

如图7所示，安培环路$L$与2匝电流铰链，因此所包围的电流为$2I$。

安培环路定理里的$\vec{B}$是所有电流产生的磁感应强度的矢量和，其中包括不被环路所包围的电流所产生的磁场的贡献，只不过它们对环量无贡献。

应用

安培环路定理可以用于计算具有一定对称性的电流分布的磁场分布。

例1 无限长直导线电流的磁场分布。

体系具有柱对称性，以导线为中心做与导线垂直的圆，则圆上各点磁感应强度$\vec{B}$大小相等，方向沿圆切线方向，于是根据安培环路定理，$\vec{B}$沿此圆周的环量为

$$\begin{equation*} \oint \vec{B}\cdot\mathrm d\vec{l}=B\cdot 2\pi r = \mu_0 I \end{equation*}$$

于是得

$$\begin{equation*} B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \end{equation*}$$

例2 无限长圆柱电流的磁场分布。设圆柱半径为$R$，总电流为$I$。

体系具有柱对称性，以导线为中心做与导线垂直的圆，圆半径为$r$，则圆上各点磁感应强度$\vec{B}$大小相等，方向沿圆切线方向。在导体之外，$r\gt R$ 根据安培环路定理有

$$\begin{equation*} \oint \vec{B}\cdot\mathrm d\vec{l}=B\cdot 2\pi r = \mu_0 I \end{equation*}$$

于是得

$$\begin{equation*} B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \end{equation*}$$

图8 圆柱电流的安培环路

在导体之内，

$r\lt R$ 根据安培环路定理有

$$\begin{equation*} \oint \vec{B}\cdot\mathrm d\vec{l}=B\cdot 2\pi r = \mu_0 \frac{Ir^2}{R^2} \end{equation*}$$

于是得

$$\begin{equation*} B = \frac{\mu_0 Ir}{2\pi R} \end{equation*}$$

综合以上结果，磁场分布为：

$$\begin{equation*} B = \begin{cases} \frac{\mu_0 Ir}{2\pi R}, & r \lt R \\ \frac{\mu_0 I}{2\pi r}, & r \gt R \end{cases} \end{equation*}$$

图9 圆柱电流的磁场分布

例3 通电螺线管的磁场分布。设单位长度匝数为$n$，电流为$I$。
如果螺线管非常长（长度远大于截面大小），螺线管外部几乎没有磁场分布，管内磁场近似为匀强磁场，$\vec{B}$方向与轴线平行。做矩形闭合路径$abcd$，边$ab$和$cd$与轴线平行，边$bc$和$da$与轴线垂直。

图10 长螺线管安培回路

$\vec{B}$沿此路径的环量为

$$\begin{equation*} \begin{split} \oint \vec{B}\cdot\mathrm d\vec{l}=&\int_a^b B\mathrm dl +\int_b^c B\mathrm dl +\int_c^d B\mathrm dl +\int_d^a B\mathrm dl \\ =& B\Delta l+0+0+0=\mu_0 In\Delta l \end{split} \end{equation*}$$

于是

$$\begin{equation*} B = \mu_0 nI \end{equation*}$$

对于长直密绕螺线管，管内为匀强磁场。

例4 密绕螺绕环的磁场分布。设匝数为$N$，电流为$I$。
根据对称性，磁感线是与环共轴的圆。根据安培环路定理，有

$$\begin{equation*} \oint \vec{B}\cdot\mathrm d\vec{l}=B\cdot 2\pi r = \mu_0 NI \end{equation*}$$

于是，

$$\begin{equation*} B = \frac{\mu_0 NI}{2\pi r} \end{equation*}$$

图11 螺绕环安培环路

如果螺绕环半径很小，则上式中$r$与环的平均半径相差不大，于是$\frac{ N}{2\pi r}\approx n$，环内

$$\begin{equation*} B = \mu_0 nI \end{equation*}$$

螺绕环内磁场可视为大小均匀的磁场。

由安培环路定理易知，螺绕环外磁场为0。

作业

习题 2-16，2-17

参考资料

• Young and Freedman University Physics, 13th Ed
• 张三慧《电磁学》