电磁学讲义10：磁感应强度 毕奥-萨伐尔定律

电磁学讲义 Blog

---

磁感应强度

为了描述电场的分布，我们引入电场强度矢量$\vec{E}$，同样，为了描述磁场的分布，我们也需要引入一个新的矢量，这个矢量就是磁感应强度$\vec{B}$。

两个电流元的磁相互作用力满足安培定律

$$\begin{equation*} \mathrm d\vec{F}_{12}=k\frac{I_2\mathrm d\vec{l}_2\times (I_1\mathrm d\vec{l}_1\times \hat{r_{12}})}{r_{12}^2}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I_2\mathrm d\vec{l}_2\times (I_1\mathrm d\vec{l}_1\times \hat{r_{12}})}{r_{12}^2} \end{equation*}$$

在国际单位制中，$\frac{\mu_0}{4\pi}=10^{-7}\mathrm {N/A^2}$。

元电流之间的安培力的表达式分成两项：

$$\begin{equation*} \mathrm d\vec{F}_{12}=I_2\mathrm d\vec{l}_2\times \mathrm d\vec{B} \end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \mathrm d\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I_1\mathrm d\vec{l}_1\times \hat{r_{12}}}{r_{12}^2} \end{equation*}$$

把电流元$I_2\mathrm d\vec{l}_2$看做试探电流元，则$\mathrm d\vec{B}$则为电流元$I_1\mathrm d\vec{l}_1$的磁场在电流元$I_2\mathrm d\vec{l}_2$所在位置处的磁感应强度。

整个回路1对电流元$I_2\mathrm d\vec{l}_2$的作用力为

$$\begin{equation*} \begin{split} \mathrm d\vec{F}_{2}=&\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{L_1}\frac{I_2\mathrm d\vec{l}_2\times (I_1\mathrm d\vec{l}_1\times \hat{r_{12}})}{r_{12}^2}=\frac{\mu_0}{4\pi}I_2d\vec{l}_2\times\mathrm \oint_{L_1}\frac{ I_1\mathrm d\vec{l}_1\times \hat{r_{12}}}{r_{12}^2} \\ =&I_2d\vec{l}_2\times \vec{B} \end{split} \end{equation*}$$

上式中

$$\begin{equation*} \vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{L_1}\frac{I_1\mathrm d\vec{l}_1\times \hat{r_{12}}}{r_{12}^2} \end{equation*}$$

即为闭合回路$L_1$的磁场在电流元$I_2\mathrm d\vec{l}_2$所在位置处的磁感应强度。

一个电流元在磁场中的受力

$$\begin{equation*} \mathrm d\vec{F}_{2}=I_2d\vec{l}_2\times \vec{B} \end{equation*}$$

这里的$\vec{B}$可以是电流产生的磁场，也可以是磁铁产生的磁场，或其他任何来源产生的磁场。

力的大小为

$$\begin{equation*} d{F}_{2}=I_2d{l}_2{B}\sin\theta \end{equation*}$$

其中，$\theta$为试探电流元方向与磁场方向的夹角。当两个方向平行或反平行时，$\theta =0,\pi$，$\mathrm dF_2=0$，当二者垂直时，试探电流元受力最大，$d{F}_{2}=I_2d{l}_2{B}$，这样我们就可以确定空间任意一点磁感应强度的大小：

$$\begin{equation*} B=\frac{(d{F}_{2})_{max}}{I_2d{l}_2} \end{equation*}$$

磁场的方向由矢量叉乘的右手定则确定。

磁感应强度的单位为$\mathrm{N/(A\cdot m)}$，这个单位有个专门的名称特斯拉，用$\mathrm T$表示，

$$\begin{equation*} 1\mathrm T=1 \mathrm{N/(A\cdot m)} \end{equation*}$$

另外一个广泛使用的单位是高斯，用$\mathrm {Gs}$表示，

$$\begin{equation*} 1\mathrm T=1 \mathrm {Gs} \end{equation*}$$

$$\begin{equation*} 1 \mathrm {Gs} =10^{-4}\mathrm T \end{equation*}$$

磁感应线可用来可视化磁场。

毕奥-萨伐尔定律

电流元和闭合载流回路产生在空间任意一点产生的磁场

$$\begin{equation*} \mathrm d\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm d\vec{l}\times \hat{r}}{r^2} \end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{L}\frac{I\mathrm d\vec{l}\times \hat{r}}{r^2} \end{equation*}$$

此两式正是毕奥-萨伐尔定律。

课堂练习：判断图中1-8各点的磁感应强度的方向和大小。

判断图中1-8各点的磁感应强度的方向和大小

下面求解几种电流的磁场分布。

载流直导线的磁场

考虑一段直导线在场点$P$ 处的磁感应强度。

载流直导线的磁场

根据毕奥-萨伐尔定律，任意电流元$I\mathrm d\vec{l}$产生的元磁场$\mathrm d\vec{B}$的方向一致（在点$P$ 处的磁感应强度方向垂直纸面向里），因此总磁感应强度$B$的大小为$\mathrm dB$的代数和，

$$\begin{equation*} B=\int\mathrm dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{A_1}^{A_2}\frac{I\mathrm dl\sin\theta}{r^2} \end{equation*}$$

$P$点到导线距离为$r_0$，由图可知，

$$\begin{equation*} l=-r_0\cot\theta \end{equation*}$$

$$\begin{equation*} r=\frac{r_0}{\sin\theta} \end{equation*}$$

所以

$$\begin{equation*} B=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_{A_1}^{A_2}\frac{\mathrm dl \sin\theta}{r^2}=\frac{\mu_0I}{4\pi r_0}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\sin\theta\mathrm d\theta=\frac{\mu_0I}{4\pi r_0}(\cos\theta_1-\cos\theta_2) \end{equation*}$$

若导线为无限长（$r_0 \ll l$），$\theta_1=0$，$\theta_1=\pi$，则

$$\begin{equation*} B=\frac{\mu_0I}{2\pi r_0} \end{equation*}$$

即长载流导线周围的磁感应强度的大小与场点到导线的距离成反比。

长直导线周围的磁感应线是以导线为中心的同心圆，磁感应强度的方向由右手定则确定。

无限长载流导线的磁感应线

载流圆线圈轴线上的磁场

设圆线圈中心为$O$，半径为$R$，其上任意一点$A$处电流元在轴线上一点$P$处产生的磁场为$\mathrm d\vec{B}$，线圈上与$A$点对称的点$A'$在点$P$处产生的磁场为$\mathrm d\vec{B}'$，$\mathrm d\vec{B}$和$\mathrm d\vec{B}'$合成后沿$OP$方向，因此我们只需要计算电流元沿轴线方向的分量。对于整个圆线圈来说，在轴线上的磁场的总磁感应强度的方向沿轴线方向。

$$\begin{equation*} \begin{split} B=&\int \mathrm dB\cos\alpha=\frac{\mu_0I}{4\pi }\oint \frac{\mathrm dl}{r^2}\cos\alpha =\frac{\mu_0I}{4\pi r_0^2}\sin^2\alpha\cos\alpha\oint \mathrm dl \\ =&\frac{\mu_0IR}{2 r_0^2}\sin^2\alpha\cos\alpha \end{split} \end{equation*}$$

又

$$\begin{equation*} \sin\alpha=\frac{r_0}{\sqrt{r_0^2+R^2}} \end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \cos\alpha=\frac{R}{\sqrt{r_0^2+R^2}} \end{equation*}$$

于是

$$\begin{equation*} B=\frac{\mu_0IR}{2 r_0^2}\sin^2\alpha\cos\alpha=\frac{\mu_0IR^2}{2(r_0^2+R^2)^{3/2}} \end{equation*}$$

在圆心处，$r_0=0$

$$\begin{equation*} B=\frac{\mu_0I}{2R} \end{equation*}$$

无限远处，$r_0\gg R$

$$\begin{equation*} B=\frac{\mu_0IR^2}{2r_0^{3/2}} \end{equation*}$$

亥姆霍兹线圈的磁场

载流螺线管轴线上的磁场

螺线管是很细的导线密绕而成，因此可以把螺线管近似看成导体圆筒上套着许许多多圆电流。

通电螺线管可近似看成并排圆电流

沿轴线单位长度的圆电流的个数即为螺线管单位长度的匝数$\iotan$，电流强度为$I$。设螺线管半径为$R$，总长度为$L$，取圆筒中点为原点$O$，圆筒轴线为$x$轴，。长$\mathrm dl$内的电流在场点$P$处产生的磁感应强度为

$$\begin{equation*} \mathrm dB=\frac{\mu_0nIR^2}{2[(x-l)^2+R^2]^{3/2}}\mathrm dl \end{equation*}$$

因

$$\begin{equation*} x-l=R\cot\beta \end{equation*}$$

于是有

$$\begin{equation*} \mathrm dl=\frac{R}{\sin^2\beta}\mathrm d\beta \end{equation*}$$

磁感应强度

$$\begin{equation*} \begin{split} B=&\int\mathrm dB=\int_{-L/2}^{L/2}\frac{\mu_0nIR^2}{2[(x-l)^2+R^2]^{3/2}}\mathrm dl\\ =&\frac{\mu_0nI}{2}\int_{\beta_1}^{\beta_2}\sin\beta\mathrm d\beta=\frac{\mu_0nI}{2}(\cos\beta_1-\cos\beta_2) \end{split} \end{equation*}$$

其中，

$$\begin{equation*} \begin{cases} \cos\beta_1=&\frac{x+L/2}{\sqrt{R^2+(x+L/2)^2}}\\ \cos\beta_2=&\frac{L/2-x}{\sqrt{R^2+(L/2-x)^2}} \end{cases} \end{equation*}$$

对于无限长螺线管

$$\begin{equation*} B=\mu_0nI \end{equation*}$$

对于半无限长螺线管，端点处轴线上磁感应强度

$$\begin{equation*} B=\frac{\mu_0nI}{2} \end{equation*}$$

参考资料

• 赵凯华 《电磁学》