@joyphys
2015-08-05T21:53:26.000000Z
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物理理论最低基础
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“看那边,莱尼,那边的山和山谷美吗?”
“美,乔治。等我们有钱了我们能去那里吗?可以吗?”
乔治眯起眼睛:“你说的地方具体是哪里啊,莱尼?”
莱尼用手一指:“就是那里,乔治,那个小山谷。”
多变量函数微积分是单变量函数微积分的推广。考虑一个多变量函数
多变量微分的核心概念是偏导数。我们考虑一点
其中
注意到,
同样地,我们可以定义函数对另外任何一个变量的偏导数,如对
多级导数也可定义。把
还可定义混合偏导。比如,
混合偏导一个有趣并且很重要的性质是混合偏导与求导顺序无关,即
|练习1:求以下二元函数的一阶和二阶偏导(包括混合偏导):
|-----------|
(注:原文函数有误:
考虑一个一元函数
图1. 函数F(y)的图
在曲线上一些地方,
图2. 极小值点
在每个局域极小点往
函数在某点取极小值的一个条件是函数在此点对独立变量的导数为0。这是个必要条件,但不是充分条件。满足这一条件的点为驻点:
要判断是不是极小值点还需要看看驻点的性质,也即对函数求二阶导数。如果二阶导数大于0,
如果函数在驻点的二阶导数小于0,
图3. 极大值点
如果函数在驻点的二阶导数等于0,
图4为拐点示例。
图4. 拐点
多变量函数也有极小值点、极大值点和驻点。想象一片山地,海拔高度是纬度和经度的函数,把函数记为
图5. 多变量函数
在山峰处,你不管往哪个方向走,你都会往低处走。在山谷处正相反,你不管往哪个方向走,你都会往高处走。但是这些地方都是平的。
还有些地方是平的。两山之间有些地方称为山鞍,鞍点也是平的。在鞍点你沿某个轴的任意方向,你的高度会上升,但是如果你沿垂直轴的任意方向走,你的高度又下降。
沿着
图6. 沿x轴切割函数
很明显,在极小值点
同样地,我们也可以沿
即在极小值点,或在驻点,函数对每个变量的一阶导数都为0。如果
以上方程有个简记法。当一点
方程(
假设我们已经找到满足以上条件的一点,我们如何知道这一点是对应极小值点还是极大值点,抑或鞍点?我们需要看二阶导数。但是二阶导数有很多。比如对于二维的情况,我们有以下二阶导数:
这些二阶导数写在一起,组成一个矩阵,这个矩阵叫做海森矩阵:
这里不具体解释矩阵、行列式和迹这些概念。你知道有这些东西还有以下规则就可以了:
如果海森矩阵的行列式和迹都是正的,那么对应的驻点为极小值点。
如果海森矩阵的行列式是正的,迹都是负的,那么对应的驻点为极大值点。
如果海森矩阵的行列式是正的,不管迹符号为何,对应的驻点为鞍点。
这里只写出了两变量函数的具体规则。对于更多变量的函数,规则的形式更为复杂。下面我们具体算一下两变量函数。比如,考虑函数
要知道这个点的类型,还得计算二阶导数
由于
练习2:考虑以下各点 |
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