第3讲：动力学

物理理论最低基础 Blog

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莱尼：“乔治，物体咋会运动起来？”
乔治：“因为物体受力，莱尼。”
莱尼：“物体咋会又不动了？”
乔治：“还是因为物体受力，莱尼。”

亚里士多德运动定律

亚里士多德生活在一个摩擦主导的世界。要使一个东西动起来，比如让一辆木轮车动起来，你需要推或拉，即你要对车施加力。你加的力越大，车跑得越快，停止用力，车很快就停下。亚里士多德因此得出一些错误的结论，因为不懂摩擦也是力。但是，用现代语言弄懂一下他的思想还是有价值的。如果亚里士多德懂微积分，他会提出这样的运动定律：

物体运动速度正比于其受到的合外力。

如果他还懂矢量方程，他会写出如下的公式：

$$\vec{F}=m\vec{v}$$
其中，$\vec{F}$为施加的力，对力的响应为速度矢量$\vec{v}$，此二者通过因子$m$相联系。$m$是描述物体抗拒运动的能力的特征量，如果力给定，物体的$m$越大，速度就越小。容易想象，这位古老的哲学家会把$m$定义为物体的质量。很明显重的东西比轻的东西难以运动起来，方程里该有物体的质量。

亚里士多德可能从来没滑过冰，否则他应该知道，让身体停下来与让身体动起来一样难。亚里士多德定律显然是错误的，但是它作为一个决定系统未来的运动方程的例子，还是值得研究的。从现在开始，我们称物体为粒子。

考虑一个粒子在一个给定的力的作用下沿$x$轴方向做一维运动。这里一个给定的力的意思是我们知道任意时刻的力，即$F(t)$（这里没写矢量符号，因为一维问题，矢量符号有点多余）。因为速度是位置$x$对时间的导数，因此亚里士多德定律为如下形式：

$$\frac{dx(t)}{dt}=\frac{F(t)}{m}$$

解这个方程之前，我们将之与第1讲的决定论性定律比较一下。一个明显的差别是，亚里士多德的方程不是频闪的，即$t$和$x$都不是离散的，都是连续变化的，不是跳跃变化的。但是，二者也有相似之处。如果把时间分成大小为$\Delta t$的一系列时间间隔，导数让位于$\frac{\Delta x}{\Delta t}$，即方程变为

$$x(t+\Delta t)=x+\Delta t\frac{F(t)}{m}$$
换成语言就是，在时刻$t$，不管粒子位于哪里，下个瞬时，它的位置按一定程度平移一下。如果力是恒力，它的大小和方向不变，比如沿$x$轴的正方向，每过一定时间步，粒子就向前移动$\Delta t\frac{F}{m}$。亚里士多德运动定律显然是决定论性的。只要知道$t=0$时刻粒子的位置$x(0)$（或记为$x_0$），我们就能轻松预言粒子在未来任意时刻的位置。根据第1讲的判据，亚里士多德的运动定律是合法的。

我们再回到亚里士多德定律的精确形式：

$$\frac{dx(t)}{dt}=\frac{F(t)}{m}$$

含有未知函数导数的方程称为微分方程。上述方程为一阶微分方程，因为方程里只要函数的一阶导数。像这样的一阶微分方程比较容易求解，方法就是，两边积分，

$$\int \frac{dx(t)}{dt}dt=\int \frac{F(t)}{m}dt$$

方程的左边是导数的积分，根据微积分基本定理，方程左边的积分结果就是$x(t)+C$。

方程的右边是对某个函数的积分，也是可以解出来的。如果$F$是个常数，方程的右边就是

$$\int \frac{F}{m}dt=\frac{F}{m}t+C$$
方程两边都有常数$C$有点多余，只留一个就行，这样方程的解就是
$$x(t)=\frac{F}{m}t+C$$
如何确定常数$C$？通过初始条件！比如，如果在$t=3$这个时刻粒子位于$x=1$处，把这些值带入上式，就有
$$1=\frac{F}{m}3+C$$
解出$C$，
$$C=1-\frac{F}{m}3+$$

练习1：如果给出力随时间的变化关系是：$F(t)=t^2$，并有初始条件：$x(0)=\pi$，根据亚里士多德定律求出任意时刻粒子的位置$x(t)$。

我们已经看到，亚里士多德运动方程是决定论性的，那它可逆吗？在第1讲我们解释过可逆的含义，可逆意味着，把所有箭头都反过来，得到的新的定律也是决定论性的。当时间是连续变化的时候，类比箭头反转也是很容易的，把方程里的时间$t$都给加一个负号，这就是把未来与过去掉个个儿。把$t$都换成$-t$，意味着时间差也变号，即$\Delta t$变成$-\Delta t$，如果处理的是微分，$dt$变成$-dt$。我们再回到亚里士多德运动方程：

$$F(t)=m\frac{dx(t)}{dt}$$
然后改变时间的符号，
$$F(-t)=-m\frac{dx(t)}{dt}$$
左边是力，但这是$-t$时刻的力，不是$t$时刻的力。由于$F(t)$是个已知函数，那么$F(-t)$也是已知的。

方程的右边，我们把$dt$换成了$-dt$，改变了整个式子的符号，方程右边的负号也可以写到方程的左边，即如下形式：

$$F(-t)=-m\frac{dx(t)}{dt}$$

方程的含义很明显：运动方程的逆方程与原来的运动方程的形式完全一样，只是力与时间的函数关系不同。结论很明了：亚里士多德定律如果面向未来的运动方程是决定论性的，那面向过去的运动方程也是决定论性的。亚里士多德运动方程的问题不在于是否相容于经典物理的根本规则，而是在于方程本身就是错的。

有意思的是，亚里士多德方程还是有用的——不是作为基本定律，而是作为近似。摩擦力确实是存在的，并且在很多情况下，摩擦力的作用非常显著，如亚里士多德的直觉认识那样，停止施加力，物体就停止运动。摩擦力不是基本作用力，它是物体与巨多的很小很小的物体——原子与分子——作用的结果。这些原子和分子又小又多，无法追踪记录它们的位置，我们就把这些隐含的自由度平均一下，这就有了摩擦力。石头在泥浆里运动的时候，摩擦力就很显著，利用亚里士多德运动方程描述石头的运动就是一个很好的近似。但是此时力与速度的比例系数不是速度，而是黏滞系数。我们好像跑题了。

质量、加速度和力

亚里士多德的错误在于，他认为物体运动需要受到净外力的作用。正确的想法是，施加外力是为了克服另外的力——摩擦力。一个孤立物体在自由空间的运动不需要有力来维持。事实上，它停止运动才需要力。这就是惯性定律。力做的事情是改变物体的运动状态。如果物体在初始时刻是静止的，需要受力才能运动起来，如果物体在运动，需要受力才能停止运动。如果物体在沿某个特定方向运动，它需要力才能改变运动方向。所有这些例子都涉及到物体速度的改变，即加速度。

从经验中我们知道，某些物体比别的物体惯性更大，即需要更大的力来改变它们的速度。比如汽车比乒乓球的惯性大很多。表征物体惯性的测量量是质量。

牛顿运动定律涉及三个量：加速度、质量和力。加速度见第2讲。一个聪明的观测者，如果他懂点数学的话，通过监测物体位置的变化可以确定物体的加速度。质量是个新概念，由力与加速度来确定。目前为止，我们没有定义力。我们看起来还陷入逻辑循环，力是改变一定质量的物体的运动状态的能力，而质量又定义为阻止运动状态改变的能力。要打破这个循环，我们需要细致探究一下力的定义及其测量方法。

有很多测量力的精密仪器，但是弹簧秤这个老式的仪器就能达到我们的目的。弹簧秤里有一根弹簧和一个尺子，尺子测量弹簧被拉伸了多长。如图1所示。

此处插入图1

弹簧秤里的弹簧有两个钩，要称量的物体挂在一个钩上，手拉另一个钩。

弹簧秤一个钩挂着某个物体A，手拉另一个钩，一直拉到指针指到尺子上一个分度，这定义为一个单位力，即我们对物体施加了一个单位的力。

对弹簧加大拉力，使弹簧秤的指针指到尺子上两个分度的地方，这就定义出两个单位的力。这样的定义假设弹簧指针指到1个分度和指到2个分度，弹簧的行为是一样的。我们又陷入了前面的逻辑循环。我们换个定义方法。我们用两个弹簧秤钩住同一个物体A，各用1个单位力拉这两个弹簧，这就是两个单位的力的定义。见图2。换言之，我们同时拉两个弹簧，每个弹簧的指针都指在1个分度处。如果要定义3个单位的力，就用上三个弹簧，每个弹簧的指针都指在1个分度处。以此类推。

此处插入图2

在自由空间做这个实验，我们会发现，物体沿着钩被拉的方向上加速。定量上，加速度正比于力，加两个单位的力，物体加速度是加1个单位力时加速度的2倍，加3单位的力，物体加速度是加1个单位力时加速度的3倍，如此等等。

现在，我们改变物体A的惯性。我们挂上两个物体A，如图3所示。

此处插入图3

现在我们发现，施加1个单位的力（即用一个弹簧秤钩住物体，把弹簧秤指针拉到1个分度处），物体的加速度是只挂1个物体时的一半。也就是说，惯性是原来的2倍。

这个实验还可以推广，给弹簧秤挂上3个物体，加速度是原来的1/3，如此等等。

我们可以做更多的实验，使用任意多的弹簧秤，挂上任意多的物体A。实验结果可以总结成一个公式，力等于质量乘以加速度，这就是牛顿第二定律，写为如下形式：

$$\begin{equation}\vec{F}=m\vec{a}\label{eq:newton}\end{equation}$$
这个方程还可以写为如下形式：
$$\begin{equation}\vec{F}=m\frac{d\vec{v}}{dt} \label{eq:newtona} \end{equation}$$
即力等于质量乘以速度变化率，没有力，速度就不变。

需要注意的是，这些方程都是矢量方程。力和加速度都是矢量，不仅有大小，还有方向。

单位

数学家可以说线段的长度是3。物理学家或工程师甚至普通人就会问：“3什么？3寸？3厘米？还是3光年？”

同样的，说质量是7或者12，也是没有用的信息。要使数字有意义，我们必须指明单位。

我们从长度的单位说起。

在巴黎一个地方放着一个白金棒[1]，这条白金棒放在一个恒温的密闭容器内，并隔离任何可以影响其长度的因素。这条白金棒就是我们的长度单位，定为1米。

我们写这样一个式子：

$$[x]=[长度]=米=\mathrm m$$
此时不要管这个式子的样子，这个不是我们常见的方程，这个式子读作：x具有长度的单位，并且以米为单位。米可简记为m。

同样地，$t$具有时间的单位，并以秒为单位：

$$[t]=[时间]=秒=\mathrm s$$
秒可以由某个摆钟摆一个来回所用的时间来定义。秒可简记为s。

有了长度和时间的单位，我们可以构建速度和加速度的单位。速度是距离除以时间，因此速度的单位具有长度除以时间的单位，在我们的单位制中，单位为米每秒。

$$[v]=\left [\frac{长度}{时间}\right]=\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$$

加速度是速度的变化率，所以加速度的单位是速度每单位时间，也即长度每单位时间平方：

$$[a]=\left [\frac{长度}{时间}\frac{1}{时间}\right]=\left [\frac{长度}{时间^2}\right]=\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$$

质量的单位是千克，简记为kg，科学家专门弄了一块白金金属块作为质量的定义，这块白金块也存放在法国。因此有：

$$[质量]=[m]=\mathrm{kg}$$

现在我们考虑力的单位。可以把力的单位定义为某种金属做的特制弹簧，把它拉伸0.01m所用的力，或者类似的其他定义。事实上，我们不需要力的新定义，我们已经有了，即力的单位是使1kg的物体具有1$\mathrm m/\mathrm s^2$的加速度所需要的力。更佳的定义来自牛顿定律$F=ma$，很明显，力具有质量与加速度乘积的单位

$$[F]=[力]=[ma]=\left [\frac{质量\times 长度}{时间^2}\right]=\frac{\mathrm{kg}\quad\mathrm m}{\mathrm s^2}$$
这个力的单位有个专门的名字，牛顿，简记为$N$。牛顿是英国人，可能更喜欢英制单位，即磅，1磅大约是4.4 N。

解牛顿方程的一些简单例子

最简单的情况，粒子不受力，把力为0带入运动方程($\ref{eq:newtona}$)：

$$m\frac{\vec{v}}{dt}=0$$
或者用点标记对时间的导数
$$m\dot{\vec{v}}=0$$
去掉因子$m$，方程写成分量形式:
$$\dot{v}_x=0$$
$$\dot{v}_y=0$$
$$\dot{v}_z=0$$
方程的解很简单，速度的各分量都为常数，即取初始值

$$\begin{equation} v_x(t)=v_x(0) \label{eq:vx} \end{equation}$$

其他各分量也同此。顺便说一下，这就是牛顿第一定律：

不受外力作用的物体总保持匀速直线运动状态或静止状态

方程($\ref{eq:newton}$)和($\ref{eq:newtona}$)为牛顿第二定律：

物体所受外力与物体的质量和加速度满足如下关系：

$$F=ma$$

我们知道，速度是位置的导数，可以把方程($\ref{eq:vx}$)写成如下形式：

$$\dot{x}=v_x(0)$$
这是最简单的微分方程，方程的解（包括各个分量）：
$$x(t)=x_0+v_x(0)t$$
$$y(t)=y_0+v_y(0)t$$
$$z(t)=z_0+v_z(0)t$$
或写成矢量形式：
$$\vec{r}(t)=\vec{r}_0+\vec{v}_0t$$

再说个更复杂点的例子，物体受到恒力的作用。首先考虑恒力沿$z$轴方向，则$z$方向上物体运动方程为：

$$\dot{v}_z=\frac{F_z}{m}$$

练习2：积分上述方程。

我们得到的结果为：

$$v_z(t)=v_z(0)+\frac{F_z}{m}t$$
或者
$$\dot{z}(t)=v_z(0)+\frac{F_z}{m}t$$
解这个微分方程，得

$$\begin{equation} z(t)=z_0+v_z(0)t+\frac{1}{2}\frac{F_z}{m}t^2 \label{eq:zt} \end{equation}$$

练习3：将上式微分，代入运动方程，证明该式满足运动方程

这个例子是我们所熟悉的。如果$z$表示物体距离地面的高度，$\frac{F_z}{m}$为物体受到地球引力而具有的加速度，$\frac{F_z}{m}=-g$，方程($\ref{eq:zt}$)描述一个物体自$z_0$高处以初速度$v_z(0)$下落的运动：

$$\begin{equation} z(t)=z_0+v_z(0)t-\frac{1}{2}gt^2 \label{eq:fall} \end{equation}$$

我们再说一个谐振子的例子。把系统视为沿$x$轴运动的粒子，粒子受到一个指向原点的力，力为如下形式：

$$F_x=-kx$$

负号表示不管在任何$x$地方，力总是把推向$x=0$处。因此，当$x>0$时，力是负的，反之，当$x$为负的时候，力是正的。运动方程为如下形式

$$\ddot{x}=-\frac{k}{m}x$$
令$\omega^2=k/m$，方程也即为：
$$\begin{equation} \ddot{x}=-\omega^2 x \label{eq:os} \end{equation}$$

练习4：证明方程($\ref{eq:os}$)的解为$x(t)=A\cos \omega t + B \sin \omega t$，由初始时刻$t=0$的位置和速度来确定常数$A$和$B$。

谐振子是个非常重要的系统，从摆钟的运动到光波的振荡的电磁场。谐振子值得深入研究。