计算物理第七次作业Problem3.14

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摘要

这次作业是继续课本上对Lyapunov指数的研究，但是对两个不同的变量有个轻微的减小，观察Lyapunov指数相对于初始值的变化。

背景介绍

此次作业是对混沌系统的进一步研究，即混沌系统对初始值的极端敏感性。

正文

在书上，系统的初始值为

$$q=0.5,l=g=9.8,dt=0.04,\varOmega_D=2/3,dt=0.04,\theta(0)=0.2,\omega(0)=0$$
因此初始程序为：

import pylab as pl
import math 
class pendulum:
    def __init__(self, time_step=0.04, theta=0.2,g=9.8,l=9.8,q =0.5,fd=1.2,wd=0.66666):
        self.ta=theta
        self.theta=[theta]
        self.pi= math.pi
        self.w = [0]
        self.q = q
        self.fd = fd
        self.wd = wd
        self.wo = g/l
        self.t = [0]
        self.dt = time_step  
    def run(self):
        _time = 0 
        while(self.t[-1]<=60):
            self.w.append(self.w[-1]-(self.wo*math.sin(self.theta[-1])+self.q*self.w[-1]-self.fd*math.sin(self.wd*self.t[-1]))*self.dt)
            tmp=self.w[-1]-(self.wo*math.sin(self.theta[-1])+self.q*self.w[-1]-self.fd*math.sin(self.wd*self.t[-1]))*self.dt
            self.theta.append(self.theta[-1] + tmp * self.dt)
            self.t.append(_time)    
            _time += self.dt
            if (self.theta[-1] <= -math.pi):
                self.theta[-1] = self.theta[-1] + self.pi + math.pi
            if (self.theta[-1] >= math.pi):
                self.theta[-1] = self.theta[-1] - self.pi - math.pi
    def show_results(self):
        pl.plot(self.t,self. theta)
        pl.xlabel(" time($s$)")
        pl.ylabel("angle($radians$)")
        pl.title("angle versus time")
        pl.show()
a=pendulum()
a.run()
a.show_results()

运行可得到初试结果为：

1、使q微量减小

此时可以对$q$进行微量减小，如改变为$q_2=0.499或者q_2=0.4999$，则程序为

import pylab as pl
import math
class pendulum:
    def __init__(self, time_step=0.04, theta1=0.2,theta2=0.2,g=9.8,l=9.8,q1 =0.5,q2=0.499,fd=1.2,wd=0.66666):
        self.theta1=[theta1]
        self.theta2=[theta2]
        self.pi= math.pi
        self.w1 = [0]
        self.w2 = [0]
        self.dtheta=[math.fabs(theta1-theta2)]
        self.q1 = q1
        self.q2 = q2
        self.fd = fd
        self.wd = wd
        self.wo = g/l
        self.t = [0]
        self.dt = time_step
    def run(self):
        _time = 0 
        while(self.t[-1]<=200):
            self.w1.append(self.w1[-1]-(self.wo*math.sin(self.theta1[-1])+self.q1*self.w1[-1]-self.fd*math.sin(self.wd*self.t[-1]))*self.dt)
            tmp1=self.w1[-1]-(self.wo*math.sin(self.theta1[-1])+self.q1*self.w1[-1]-self.fd*math.sin(self.wd*self.t[-1]))*self.dt
            self.theta1.append(self.theta1[-1] + tmp1 * self.dt)
            self.w2.append(self.w2[-1]-(self.wo*math.sin(self.theta2[-1])+self.q2*self.w2[-1]-self.fd*math.sin(self.wd*self.t[-1]))*self.dt)
            tmp2=self.w2[-1]-(self.wo*math.sin(self.theta2[-1])+self.q2*self.w2[-1]-self.fd*math.sin(self.wd*self.t[-1]))*self.dt
            self.theta2.append(self.theta2[-1] + tmp2 * self.dt)
            self.dtheta.append(math.log(math.fabs(self.theta1[-1]-self.theta2[-1])))
            self.t.append(_time)    
            _time += self.dt            
            if (self.theta1[-1] <= -math.pi):
                self.theta1[-1] = self.theta1[-1] + self.pi + math.pi
            if (self.theta1[-1] >= math.pi):
                self.theta1[-1] = self.theta1[-1] - self.pi - math.pi
            if (self.theta2[-1] <= -math.pi):
                self.theta2[-1] = self.theta2[-1] + self.pi + math.pi
            if (self.theta2[-1] >= math.pi):
                self.theta2[-1] = self.theta2[-1] - self.pi - math.pi
    def show_results(self):
        pl.plot(self.t,self.dtheta,"r")
        pl.xlabel(" time($s$)")
        pl.ylabel("log(d_angle)($radians$)")
        pl.title("log(d_angle) versus time")
        pl.show()
a=pendulum()
a.run()
a.show_results()

运行结果为：

同理对于$q_2=0.4999$，运行结果为：

2、使$\theta$进行微量减小

主程序依旧像上面一样，可以改变使得$\theta_2=0.199,\theta_2=0.1999$,带入后运行结果分别为：

结论

由此可以看出，对于混沌系统，即使变量有着很轻微的变化，Lyapunov指数也会有很明显的变化，混沌系统对于初始值有着很高的敏感性。

致谢

感谢张梓桐同学对于程序不足之处的修改。