@w460461339
2018-10-13T11:48:31.000000Z
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MachineLearning
这篇说的超赞
http://blog.codinglabs.org/articles/pca-tutorial.html
下面这篇一般般,甚至应该是只讲了从N维降到1维的情况,不过对于理解也有一定帮助。
http://blog.csdn.net/lu597203933/article/details/41544547
当其中一个作为基的向量长度是1时,向量的乘积等于另一个向量在这个向量上的投影;
当其中一个作为基的向量长度不是1时,向量的乘积等于另个一个向量在这向量上投影的放缩。
2)基。可以理解为一组线性无关的向量。注意,基的个数决定了它能代表几维空间的向量,而不是基的长度。比如x1=[0,0,1]T和x2=[0,1,0]T这两个基,虽然基本身是3维的向量,但只能两者只能用来组成2维空间的向量。
3)向量的基描述,对于向量(3,2),我们其实描述的是它在这组基(1,0),(0,1)上的投影。那么对于任意一组基,想要确定一个向量,计算该向量在每个基上的投影即可。比如对于同样是二维空间的基,,那么(3,2)在这组基上的坐标为:
4)根据1)和3)关于向量的描述和内积的定义,我们不难发现,上述新坐标的计算可以用:基*原坐标,来得到。那么把它写成矩阵形式,有:。其中左边矩阵每一行表示一个基的元素,右边矩阵每一列表示一个原坐标。那么,当右边矩阵的行数变小了,就实现了对原数据的降维变换。
5)降维的一般描述:一般的,如果我们有M个N维向量(N个特征),想将其变换为由R个N维向量表示的新空间中(可以理解为在3维空间中,把3维空间的点降维映射到一个面上),那么首先将R个基按行组成矩阵A,然后将向量按列组成矩阵B,那么两矩阵的乘积AB就是变换结果,其中AB的第m列为A中第m列变换后的结果。这里注意,当R小于n时,就实现了降维。
当然,不是随便降维就可以的,我们希望,降维后,原数据的损失尽量的小,或者说,使得降维后的数据,仍能够尽可能的区分样本。
1)考虑从n维降到1维的情况。比如下图,是从2维降到1维情况,那么若选择x轴或者y轴作为基,那么会让一些数据点在降维之后重合,使得其信息丢失,无法用来区分。那如果能够找到一条直线,使得数据点之间尽量分散,区分度高,那么这个降维就算很成功。
2)1)中说的区分度高,分散,我们可以用方差来表示。即,我们希望,在降维之后,数据在该维度上的方差尽可能的高。
3)考虑从3维降到2维的情况,那么2维中的其中一维我们已经找到,即方差最大的方向。那剩下一维呢?观察下图,对于图a,两坐标轴之间夹角不等于90°,那么当A沿着坐标轴x1增大时,A的x2坐标也会增大。这表示x1和x2之间有一定关联性,表示的信息有重复。而对于图b,则不会出现这样的情况。
4)因此,为了尽可能多的表示信息,并且彼此之间不重复,在3维降到2维时,在保持方差大(指在每一维度上)的情况下,令第二维与第一维正交,才可以保留最多的信息。
5)因此,我们得出了两条可以作为计算依据的约束:
1.令样本在降维后每一维上的映射的方差尽可能大。
2.令降维后每一维之间正交。(对应于维数两两之间协方差为0)
1)我们希望将两个约束放在一个矩阵里,从而方便计算。我们有协方差矩阵。
假设我们只有a和b两个字段,那么我们将它们按行组成矩阵X:,其中每一列表示一个样本,每一行表示一个特征,且每个特征做过去均值处理;
然后我们用X乘以X的转置,并乘上系数1/m:我们发现,对角线上是方差,其他地方是协方差。
2)根据1)我们得到,设我们有m个n维数据记录,将其按列排成n乘m的矩阵X,设,则C是一个对称矩阵,其对角线分别个各个字段的方差,而第i行j列和j行i列元素相同,表示i和j两个字段的协方差。
3)那么,根据协方差矩阵,我们发现我们的优化条件变成了,等价于将协方差矩阵对角化:即除对角线外的其它元素化为0,并且在对角线上将元素按大小从大到小排列,这样我们就达到了优化目的。
4)我们来比较一下,原始的样本矩阵,和降维后的样本矩阵,他们的协方差矩阵之间的关系。设原始数据矩阵X对应的协方差矩阵为C,而P是一组基按行组成的矩阵,设Y=PX,则Y为X对P做基变换后的数据。设Y的协方差矩阵为D,我们推导一下D与C的关系:
5)现在事情很明白了!我们要找的P不是别的,而是能让原始协方差矩阵对角化的P。换句话说,优化目标变成了寻找一个矩阵P,满足是一个对角矩阵,并且对角元素按从大到小依次排列,那么P的前K行就是要寻找的基,用P的前K行组成的矩阵乘以X就使得X从N维降到了K维并满足上述优化条件。
由上文知道,协方差矩阵C是一个是对称矩阵,在线性代数上,实对称矩阵有一系列非常好的性质:
1)实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必然正交。
2)设特征向量λ重数为r,则必然存在r个线性无关的特征向量对应于λ,因此可以将这r个特征向量单位正交化。
由上面两条可知,一个n行n列的实对称矩阵一定可以找到n个单位正交特征向量,设这n个特征向量为e1,e2,⋯,en,我们将其按列组成矩阵:
则对协方差矩阵C有如下结论:
那么这里特征值就是降维后的方差,我们从大到小选择k个特征值λ,这k个特征值对应的特征向量,就是我们要的基。
到这里,我们发现我们已经找到了需要的矩阵P:
P=ET(E矩阵的转置)
P是协方差矩阵的特征向量单位化后按行排列出的矩阵,其中每一行都是C的一个特征向量。如果设P按照ΛΛ中特征值的从大到小,将特征向量从上到下排列,则用P的前K行组成的矩阵乘以原始数据矩阵X,就得到了我们需要的降维后的数据矩阵Y。
这里我的代码只是从2维映射到了1维。
from numpy import *
def loadDataSet(fileName,delim='\t'):
fr=open(fileName)
stringArr=[line.strip().split(delim) for line in fr.readlines()]
datArr=[list(map(float,line)) for line in stringArr]
return mat(datArr)
def pca(dataMat,topNfeat=9999999):
# 求每列平均值
meanVals=mean(dataMat,axis=0)
# 每一列去除平均值
meanRemoved=dataMat-meanVals
# 计算协方差矩阵
covMat=cov(meanRemoved,rowvar=0)
# 计算协方差矩阵的特征值和特征向量
eigVals,eigVects=linalg.eig(mat(covMat))
# 特征值排序,从小到大
eigValInd=argsort(eigVals)
#
eigValInd=eigValInd[:-(topNfeat+1):-1]
redEigVects=eigVects[:,eigValInd]
lowDDataMat=meanRemoved*redEigVects
reconMat=(lowDDataMat*redEigVects.T)+meanVals
return lowDDataMat,reconMat
def plotResult(dataMat,reconMat):
import matplotlib.pyplot as plt
fig=plt.figure()
ax=fig.add_subplot(111)
ax.scatter(dataMat[:,0].flatten().A[0],dataMat[:,1].flatten().A[0],marker='^',s=90)
ax.scatter(reconMat[:,0].flatten().A[0],reconMat[:,1].flatten().A[0],marker='o',s=90,c='red')
plt.show()