HDU-1869: 六度分离（floyd）

最短路

Description

1967年，美国著名的社会学家斯坦利·米尔格兰姆提出了一个名为“小世界现象(small world phenomenon)”的著名假说，大意是说，任何2个素不相识的人中间最多只隔着6个人，即只用6个人就可以将他们联系在一起，因此他的理论也被称为“六度分离”理论(six degrees of separation)。虽然米尔格兰姆的理论屡屡应验，一直也有很多社会学家对其兴趣浓厚，但是在30多年的时间里，它从来就没有得到过严谨的证明，只是一种带有传奇色彩的假说而已。

Lele对这个理论相当有兴趣，于是，他在HDU里对N个人展开了调查。他已经得到了他们之间的相识关系，现在就请你帮他验证一下“六度分离”是否成立吧。

Input

本题目包含多组测试，请处理到文件结束。
对于每组测试，第一行包含两个整数N,M(0 接下来有M行，每行两个整数$A,B(0<=A,B<N)$表示HDU里编号为A和编号B的人互相认识。
除了这M组关系，其他任意两人之间均不相识。

Output

对于每组测试，如果数据符合“六度分离”理论就在一行里输出"Yes"，否则输出"No"。

Sample Input

8 7
0 1
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
8 8
0 1
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7 0

Sample Output

Yes
Yes

floyd：可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，时间复杂度为$O(N^3)$，空间复杂度为$O(N^2)$。

• 思想原理：Floyd算法是一个经典的动态规划算法。
  从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。
• 算法描述：
  
  • 从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。 　　
  • 对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

代码如下：

void floyd()
{
    int i,j,k;
    for(i=0;i<n;i++)
        for(j=0;j<n;j++)
        for(k=0;k<n;k++)
        a[j][k]=min(a[j][k],a[j][i]+a[i][k]);
}

• 完整代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define INF 1e9
using namespace std;
int n,m,a[111][111];
void floyd()
{
    int i,j,k;
    for(i=0;i<n;i++)
        for(j=0;j<n;j++)
        for(k=0;k<n;k++)
        a[j][k]=min(a[j][k],a[j][i]+a[i][k]);
}
int main()
{
    int x,y,flag,i,j;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        flag=1;
        for(i=0;i<n;i++)
            for(j=0;j<n;j++)
            a[i][j]=INF;
        while(m--)
        {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            a[x][y]=1;
            a[y][x]=1;
        }
        floyd();
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            for(j=0;j<n;j++)
            {
                if(a[i][j]>7)  //相隔6个人，注意是大于7
                {
                    flag=0;
                    break;
                }
            }
            if(flag==0)
                break;
        }
        if(flag==1)
            printf("Yes\n");
        else
            printf("No\n");
    }
    return 0;
}