第十讲 波动率模型及应用（I）

樊潇彦 复旦大学经济学院 金融数据

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下载数据：Ch10_Data.rar

# 准备工作
setwd("D:\\...\\Ch10")
install.packages("fGarch","rugarch")
## 调用
library(fGarch)
library(rugarch)
library(tidyverse)
library(readxl)
library(ggplot2)
library(tseries)
library(zoo)
library(forecast)

1. 资产波动率：估计、特征与建模

1.1 估计资产波动率

我们可以将金融资产的对数收益率分为均值和波动两部分：

$$r_t = \mu_t + \varepsilon_t$$

• 如果对数收益率服从ARMA(p,q)过程：
  

  $$\phi(L)r_t = \phi_0 + \theta(L){\varepsilon _t}$$
  则均值部分为：
  $$\mu_t = \phi_0 + \sum\limits_{s=1}^{p}{\phi_s r_{t - s}} -\sum\limits_{s=1}^{q} {\theta _s\varepsilon _{t - s}}$$

• 如果 $r_t$ 与其他 $K$ 个前定解释变量 $x_{k,t-1}$，以及外生变量 $y_t$ 之间存在线性关系（如CAPM模型、协整模型、周末效应检验等）：
  

  $$r_t = \phi_0 + \sum\limits_{k=1}^{K}{\beta_k x_{k,t - 1}} + y_t + \varepsilon_t$$
  则均值部分为：
  $$\mu_t = \phi_0 + \sum\limits_{k=1}^{K}{\beta_k x_{k,t - 1}} +\sum\limits_{s=1}^{p} {\phi_sy _{t - s}} -\sum\limits_{s=1}^{q} {\theta _s\varepsilon _{t - s}}$$

将所有用于估计均值的信息记为 $F_{t-1}$，则资产收益率的条件方差：

$$\sigma^2_t = VAR(r_t | F_{t-1}) = VAR(\varepsilon_t | F_{t-1})$$
定义资产收益率的条件标准差 $\sigma_t$ 即为资产波动率（asset volatility）的估计值。

1.2 资产波动率的特征

• 波动率平稳（stationary）：波动率的均值和方差有限；
• 波动率聚集（cluster）：一段时间价格连续大幅波动，其他时间价格相对平稳；
• 波动率非对称（asymmetric）：资产价格下跌时波动率更大，即存在杠杆效应（leverage effect）。

1.3 资产波动率的建模步骤、ARCH效应检验与模型分类

• 资产波动率的建模一般分为4个步骤：

  1. 为资产收益率建立ARMA等均值模型；
  2. 对残差进行ARCH效应检验；
  3. 如果存在ARCH效应，为残差建立波动率模型，并对均值和波动率方程进行联合估计。
  4. 检验估计结果，必要时回到步骤1进行改进。

• 两种ARCH效应检验：
  对均值方程的残差平方序列 $\varepsilon^2$ 可以进行两种ARCH效应检验：

  1. 用Ljung-Box统计量 $Q(m)$ 检验 $\varepsilon^2_t$ 的 自相关系数 $\left\{\rho_i\right\}^m_{i=1}$ 是否为零；
  2. Engle(1982)的拉格朗日乘子（LM）检验，即回归下式，检验 $\left\{\beta_i\right\}^m_{i=1}$ 是否为零：
     $$\varepsilon^2_t = \beta_0 + \sum\limits_{s=1}^{m}\beta_s\varepsilon^2_{t-s} + u_t$$

# P139：Intel月收益率
da=read.table("m-intcsp7309.txt",header=T)            # 读取Intel和S&P月涨跌幅数据
head(da)
rtn=ts(log(da$intc+1),frequency=12,start=c(1973,1))   # 对数收益率r
Box.test(rtn,lag=12,type='Ljung')                     # r自相关系数为零
Box.test(abs(rtn),lag=12,type='Ljung')                # |r|自相关系数为零
# P141：ARCH效应检验
error=rtn-mean(rtn)
Box.test(error^2,lag=12,type='Ljung')                 # Ljung-Box检验
source("archTest.R")                                  # 调用Tsay(2015)程序
archTest(error,12)                                    # Engle(1982)提出的LM检验
# P143：欧元兑美元汇率日涨跌幅的ARCH效应检验
fx=read.table("d-useu9910.txt",header=T)
head(fx)
eu=diff(log(fx$rate))
Box.test(eu,lag=20,type='Ljung')
Box.test(eu^2,lag=20,type='Ljung')
archTest(eu,20)

• 模型结构与分类：
  模型包括均值、方差和残差分布三个部分，以Engle(1982)提出的自回归条件异方差模型 ARCH(m) 模型为例：
  
  1. 均值方程为：
     $${r_t} = {\mu _t} + \varepsilon_t$$
  2. 方差方程为：
     $$\varepsilon_t = \sigma _t{z_t}\\ \sigma _t^2 = \omega + \sum\limits_{s = 1}^m {{\alpha _s}\varepsilon^2_{t-s}}$$
  3. 其中 ${z_t} \sim i.i.d.~(0,1)$，可假定其服从正态分布、学生t分布、广义误差分布（GED）等，也可假定分布有偏。

Tsay(2015)涉及的其他常用模型包括：

学者	模型
Bollerslev(1986)	广义自回归条件异方差模型：GARCH
Engle and Bollerslev (1986)	求和GARCH模型：IGARCH
Engle et al.(1987)	GARCH均值模型：GARCH-M
Nelson(1991)	指数GARCH模型：EGARCH
Glosten et al.(1993), Zakoian(1994)	门限GARCH模：TGARCH
Ding et al.(1993)	非对称幂ARCH：APARCH
Engle and Ng(1993), Duan(1995)	非对称GARCH模型：NGARCH

在 rugarch包中，上述模型可以通过设定相应的参数来实现：

1.	方差模型（variance model）
model	“sGARCH”, “fGARCH”, “eGARCH”, “gjrGARCH”, “apARCH”, “iGARCH”, “csGARCH”
garchOrder	c(m,n)
submodel	对于“fGARCH”模型，可进一步设定 “GARCH”, “TGARCH”, “AVGARCH”, “NGARCH”, “NAGARCH”, “APARCH”, “GJRGARCH”, “ALLGARCH”
external.regressors	外部解释变量，默认为 NULL
2.	均值模型（mean model）
armaOrder	c(p,q)
include.mean	T/F：均值方程中是否有 $\mu$
archm	T/F: 均值方程中是否包含波动率
archpow	1/2: archm=T 时设定包含 $\sigma_t$ 还是 $\sigma^2_t$
arfima	T/F
external.regressors	外部解释变量，默认为 NULL
3.	$z_t$ 的分布模型（distribution model）
norm	normal distibution
snorm	skew-normal distribution
std	student-t
sstd	skew-student
ged	generalized error distribution
sged	skew-generalized error distribution
nig	normal inverse gaussian distribution
ghyp	Generalized Hyperbolic
jsu	Johnson's SU distribution

2. ARCH模型

2.1 模型设定与性质

以ARCH(1)模型为例：

$$\varepsilon_t=\sigma_tz_t \\ \sigma^2_t=\omega+\alpha_1\varepsilon^2_{t-1}$$

相应的均值和方差为：

$$E(\varepsilon_t)=\sigma_tE(z_t)=0\\ Var(\varepsilon_t)=E(\varepsilon^2_t)=\frac{\omega}{1-\alpha_1}$$
方差为正 $Var(\varepsilon_t)>0 \Leftrightarrow \omega>0,0\le \alpha_1<1$，此外有限四阶矩要求 $0\le a^2_1 < 1/3$，此时 $\varepsilon_t$ 的无条件峰度（kurtosis）：
$$\frac{E(\varepsilon^4_t)}{[Var(\varepsilon^2_t)]^2}>3$$
综上，ARCH(1)模型可以解释波动聚集（$\alpha_1>0$）和厚尾现象（超额峰度为正），但无法解释杠杆效应。

2.2 实例

# P151：Intel收益率ARCH(1)模型
int_arch1=garchFit(~1+garch(1,0),data=rtn,trace=F,
                   cond.dist="norm")        # fGarch包中命令，默认为正态分布，可设定学生分布 cond.dist="std" 等
summary(int_arch1)
plot(int_arch1)                             # 回归结果作图，13个选项，0可退出
resi=residuals(int_arch1,standardize=T)     # 提取残差作图
tdx=c(1:444)/12+1973
par(mfcol=c(3,1))
plot(tdx,resi,xlab='year',ylab='stand-resi',type='l')
acf(resi,lag=20)
pacf(resi^2,lag=20) 
library(rugarch)                            # 用rugarch包中命令复制结果
intel.set=ugarchspec(variance.model = list(model="sGARCH", garchOrder=c(1,0)), 
        mean.model = list(armaOrder=c(0,0), include.mean=T))
ugarchfit(spec=intel.set, data=rtn)
# P154：欧元兑美元汇率
eu_arch11=garchFit(~1+garch(11,0),data=eu,trace=F)
summary(eu_arch11)
eu.set=ugarchspec(variance.model = list(model="sGARCH", garchOrder=c(11,0)), 
        mean.model = list(armaOrder=c(0,0), include.mean=T))
ugarchfit(spec=eu.set, data=eu)

3. GARCH模型

3.1 标准GARCH（SGARCH）

Bollerslev(1986)提出的标准GARCH(m,n)模型为：

$$\varepsilon_t=\sigma_tz_t\\ \sigma^2_t=\omega+\sum\limits_{s=1}^{m}{\alpha_s\varepsilon^2_{t-s}}+\sum\limits_{s=1}^{n}{\beta_s\sigma^2_{t-s}}$$

$\alpha_s$ 和 $\beta_s$ 分别称为ARCH参数和GARCH参数。以GARCH(1,1)模型为例，有：

• 均值 $E(\varepsilon_t)=0$；
• $\omega>0,~0\le \alpha_1 + \beta_1<1$ 时方差 $Var(\varepsilon_t)=\frac{\omega}{1-\alpha_1-\beta_1}$；
• $1-2\alpha^2_1-(\alpha_1+\beta_1)^2>0$ 时超额峰度为正。
  因此GARCH(1,1)和ARCH(1)模型有同样的解释力。

# P159: Intel收益率GARCH(1,1)模型
int_garch11=garchFit(~1+garch(1,1),data=rtn,trace=F) # （4-18）式
summary(int_garch11)
v1=volatility(int_garch11)                           # sigma_t的估计值
# 预测并作图
par(mfcol=c(1,1))
upp=0.0113+2*v1
low=0.0113-2*v1
tdx=c(1:444)/12+1973
plot(tdx,rtn,xlab='year',ylab='series',type='l',ylim=c(-0.6,0.6))
lines(tdx,upp,lty=2,col='red')
lines(tdx,low,lty=2,col='red')
abline(h=c(0.0113))
int_garch11t=garchFit(~1+garch(1,1),data=rtn,trace=F,
                      cond.dist="std")                # 假定t分布，（4-19）式 
summary(int_garch11t)
v2=volatility(int_garch11t)
int_garch11st=garchFit(~1+garch(1,1),data=rtn,trace=F,
                       cond.dist='sstd')              # 假定有偏的t分布，（4-20）式 
summary(int_garch11st)
v3=volatility(int_garch11st)
cor(cbind(v1,v2,v3))                                  # 3种模型得到sigma_t的相关系数

此外，我们也可以用rugarch包中的命令重新回归方程（4.18）-（4.20）：

int_garch.sec= ugarchspec(variance.model = list(model="sGARCH", garchOrder=c(1,1)), 
        mean.model = list(armaOrder=c(0,0),include.mean=T))
ugarchfit(spec=int_garch.sec, data=rtn)
int_garcht.sec= ugarchspec(variance.model = list(model="sGARCH", garchOrder=c(1,1)), 
        mean.model = list(armaOrder=c(0,0),include.mean=T),
        distribution.model = "std")
ugarchfit(spec=int_garcht.sec, data=rtn)
int_garchtst.sec= ugarchspec(variance.model = list(model="sGARCH", garchOrder=c(1,1)), 
        mean.model = list(armaOrder=c(0,0),include.mean=T),
        distribution.model = "sstd")
ugarchfit(spec=int_garchtst.sec, data=rtn)

3.2 求和GARCH模型（IGARCH）

以GARCH(1,1)为例，当 $\alpha_1 + \beta_1 =1$ 时，波动率的方差将趋于无穷大，波动率变成非平稳过程。因此类似于ARIMA模型，IGARCH模型就是单位根GARCH模型，IGARCH(1,1)模型为：

$$\varepsilon_t=\sigma_tz_t\\ \sigma^2_t=\omega+\alpha_1\varepsilon^2_{t-1}+(1-\alpha_1)\sigma^2_{t-1}$$

# P165（4-22）式：
int_igarch.sec= ugarchspec(variance.model = list(model="iGARCH"), 
        mean.model = list(armaOrder=c(0,0),include.mean=T))
ugarchfit(spec=int_igarch.sec, data=rtn)

3.3 GARCH均值模型（GARCH-M）

GARCH-M模型考虑波动率对收益率的直接影响，因此在下述模型中 $c$ 为风险溢价参数：

$$r_t=\mu+c\sigma^2_t+\varepsilon_t\\ \varepsilon_t=\sigma_tz_t\\ \sigma^2_t=\omega+\alpha_1\varepsilon^2_{t-1}+\beta_1\sigma^2_{t-1}$$

# P166（4-25,26）式：
int_garchm.sec= ugarchspec(
    variance.model = list(model="sGARCH", garchOrder=c(1,1)), 
    mean.model = list(armaOrder=c(0,0),include.mean=T,archm=T,archpow=2))
ugarchfit(spec=int_garchm.sec, data=rtn*100)

4. 练习

用苹果公司股票数据 AAPL.RData 计算回报率，并建立 GARCH(1,1) 模型：

library(quantmod)
loadSymbols("AAPL", from="2006-01-01")                  # 获取苹果公司数据
chartSeries(AAPL)                                       # 股价作图
ret.aapl <- dailyReturn(Cl(AAPL), type='log')           # 用对数收盘价计算日收益率    
chartSeries(ret.aapl)                                   # 收益率作图
garch11.spec = ugarchspec(variance.model = list(model="sGARCH", garchOrder=c(1,1)), 
        mean.model = list(armaOrder=c(0,0)))
aapl.garch11.fit = ugarchfit(spec=garch11.spec, data=ret.aapl)
aapl.garch11.fit
# 结果报告
coef(aapl.garch11.fit)              #estimated coefficients
vcov(aapl.garch11.fit)              #covariance matrix of parameter estimates
infocriteria(aapl.garch11.fit)      #common information criteria list
newsimpact(aapl.garch11.fit)        #calculate news impact curve
signbias(aapl.garch11.fit)          #Engle - Ng sign bias test
fitted(aapl.garch11.fit)            #obtarchin the fitted data series
residuals(aapl.garch11.fit)         #obtain the residuals
uncvariance(aapl.garch11.fit)       #unconditional (long-run) variance
uncmean(aapl.garch11.fit)           #unconditional (long-run) mean
# SGARCH news impact curve
ni.garch11 <- newsimpact(aapl.garch11.fit) 
plot(ni.garch11$zx, ni.garch11$zy, type="l", lwd=2, col="blue", main="GARCH(1,1) - News Impact", ylab=ni.garch11$yexpr, xlab=ni.garch11$xexpr)

课堂讨论：假定 $z_t$ 服从t分布和有偏的t分布，重新回归 GARCH(1,1) 模型。

参考文献

1. R.S. Tsay著：《金融数据分析导论：基于R语言》，李洪成等译，机械工业出版社，2013
2. E. Berlinger, F. Illes, M. Badics, A. Banai and G. Daroczi: Mastering R for Quantitative Finance, Packt Publishing, 2015； 东南大学出版社，2016影印版