第五讲 线性代数基础与应用

樊潇彦 复旦大学经济学院 经济数学

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2. 程序附录

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2.1 矩阵运算的基本命令

A = matrix(1:9,nrow=3)  # 建立矩阵
apply(A,1,sum)          # 行加总
apply(A,2,sum)          # 列加总
a=A[,1]; t(a)%*%a       # 欧氏范数
I=diag(3)               # 3维单位阵
A_T = t(A)              # 转置
B=A+I                   # 加法
solve(B)                # 求逆
A%*%B                   # 矩阵乘法

2.2 求解线性方程组：剑桥食谱

A=matrix(c(36,51,13,
           52,34,74,
           0,7,1.1),nrow=3,byrow=T)
b=c(33,45,3)
solve(A,b)

2.3 投入-产出表

M=matrix(c(15,20,30,
           30,10,45,
           20,60,0),nrow=3,byrow=T)  # 中间投入矩阵
d=c(35,115,70)                       # 最终需求
x=c(100,200,150)                     # 总产出
A=M/matrix(rep(x,each=3),nrow=3)     # 直接消耗系数矩阵
solve(diag(3)-A)%*%d                 # 检验最终产出公式
solve(diag(3)-A)%*%c(100,200,300)    # P185 最终需求变化对总产出的影响

2.4 特征值和特征向量

M=matrix(c(3,1,2,4),nrow=2)
lambda=eigen(M)$value
ev=eigen(M)$vectors
ev[,1]*lambda[1]
ev[,2]*lambda[2]

2.5 稳态人口分布

# 自已写一个可以计算矩阵的幂的函数
mat_power = function(A, n){
  Apower=A
  for (i in 2:n) Apower= Apower %*% A
  return(Apower)
}
P=matrix(c(0.95,0.05,0.03,0.97),nrow=2,byrow=T)  # 人口迁移的转移矩阵
P_star=mat_power(P,300)                          # 计算稳态转移矩阵
round(eigen(t(P))$values,2)                      # 求特征值
ev=eigen(t(P))$vectors                           # 求左特征向量
x=ev[,1]/sum(ev[,1])                             # 将特征值为1的特征向量正规化
# 比较三种稳态人口比例
x                              
x%*%P
P_star[1,]            

2.6 宏观经济模型

c=0.9; beta=0.5
K=matrix(c(c,c,beta*(c-1),beta*c),nrow=2,byrow=T)
eigen(K)
C0=100; I0=1000
v=c(C0,I0+beta*C0)
solve(diag(2)-K)%*%v