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@guoxs 2016-01-22T15:36:41.000000Z 字数 5058 阅读 3573

数据结构之最小生成树

数据结构与算法

5.1 普里姆（Prim）算法

使用邻接矩阵存储网：
普里姆（Prim）算法

邻接矩阵中用65535代表∞

普里姆（Prim）算法代码如下，其中INFINITY为权值极大值，不妨是65535，MAXVEX为顶点个数最大值，此处大于等于9即可。

  1. /* Prim算法生成最小生成树 */
  2.   void MiniSpanTree_Prim(MGraph G)
  3.   {
  4.       int min, i, j, k;
  5.       /* 保存相关顶点下标 */
  6.       int adjvex[MAXVEX];                        
  7.       /* 保存相关顶点间边的权值 */
  8.       int lowcost[MAXVEX];                       
  9.       /* 初始化第一个权值为0，即v0加入生成树 */
  10.       /* lowcost的值为0，在这里就是此下标的顶点已经加入生成树 */
  11.       lowcost[0] = 0;                            
  12.       /* 初始化第一个顶点下标为0 */
  13.       adjvex[0] = 0;                             
  14.       /* 循环除下标为0外的全部顶点 */
  15.       for (i = 1; i < G.numVertexes; i++)        
  16.       {
  17.          /* 将v0顶点与之有边的权值存入数组 */
  18.          lowcost[i] = G.arc[0][i];              
  19.          /* 初始化都为v0的下标 */
  20.          adjvex[i] = 0;                         
  21.      }
  22.      for (i = 1; i < G.numVertexes; i++)
  23.      {
  24.          /* 初始化最小权值为∞， */
  25.          /* 通常设置为不可能的大数字如32767、65535等 */
  26.          min = INFINITY;                        
  27.          j = 1; k = 0;
  28.          /* 循环全部顶点 */
  29.          while (j < G.numVertexes)              
  30.          {
  31.              /* 如果权值不为0且权值小于min */
  32.              if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min)
  33.              {                                  
  34.                  /* 则让当前权值成为最小值 */
  35.                  min = lowcost[j];              
  36.                  /* 将当前最小值的下标存入k */
  37.                  k = j;                         
  38.              }
  39.              j++;
  40.          }
  41.          /* 打印当前顶点边中权值最小边 */
  42.          printf("(%d,%d)", adjvex[k], k);       
  43.          /* 将当前顶点的权值设置为0，表示此顶点已经完成任务 */
  44.          lowcost[k] = 0;                        
  45.          /* 循环所有顶点 */
  46.          for (j = 1; j < G.numVertexes; j++)    
  47.          {
  48.              /* 若下标为k顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入生成树权值 */
  49.              if (lowcost[j] != 0 && G.arc[k][j] < lowcost[j])
  50.              {                                  
  51.                  /* 将较小权值存入lowcost */
  52.                  lowcost[j] = G.arc[k][j];      
  53.                  /* 将下标为k的顶点存入adjvex */
  54.                  adjvex[j] = k;                 
  55.              }
  56.          }
  57.      }
  58.  }

程序过程详解：

1．程序开始运行，由第4～5行，创建了两个一维数组lowcost和adjvex，    长度都为顶点个数9。它们的作用之后会说明。

2．第6～7行分别给这两个数组的第一个下标位赋值为0，adjvex[0]=0其实意思就是从顶点v0开始（事实上，最小生成树从哪个顶点开始计算都无所谓，这里假定从v0开始），lowcost[0]=0就表示v0已经被纳入到最小生成树中，之后凡是lowcost数组中的值被设置为0就是表示此下标的顶点被纳入最小生成树。

3．第8～12行表示读取上图的右图邻接矩阵的第一行数据。将数值赋值给lowcost数组，所以此时lowcost数组值为{0,10,65535,65535,65535,11,65535,65535,65535}，而adjvex则全部为0。此时，已经完成了整个初始化的工作，准备开始生成。

4．第13～36行，整个循环过程就是构造最小生成树的过程。

5．第15～16行，将min设置为了一个极大值65535，它的目的是为了之后找到一定范围内的最小权值。j是用来做顶点下标循环的变量，k是用来存储最小权值的顶点下标。

6．第17～25行，循环中不断修改min为当前lowcost数组中最小值，并用k保留此最小值的顶点下标。经过循环后，min=10，k=1。注意19行if判断的lowcost[j]!=0表示已经是生成树的顶点不参与最小权值的查找。

7．第26行，因k=1，adjvex[1]=0，所以打印结果为(0,1)，表示v0至v1边为最小生成树的第一条边。如下图所示。

普里姆（Prim）算法 

   8．第27行，此时因k=1，将lowcost[k]=0就是说顶点v1纳入到最小生成树中。此时lowcost数组值为{0,0,65535,65535,65535,11,65535,65535,65535}。

9．第28～35行，j循环由1至8，因k=1，查找邻接矩阵的第v1行的各个权值，与low-cost的对应值比较，若更小则修改low-cost值，并将k值存入adjvex数组中。因第v1行有18、16、12均比65535小，所以最终lowcost数组的值为：{0,0,18,65535,65535,11,16,65535,12}。adjvex数组的值为：{0,0,1,0,0,0,1,0,1}。这里第30行if判断的lowcost[j]!=0也说明v0和v1已经是生成树的顶点不参与最小权值的比对了。

10．再次循环，由第15行到第26行，此时min=11，k=5，adjvex[5]=0。因此打印结构为(0,5)。表示v0至v5边为最小生成树的第二条边，如下图所示。

普里姆（Prim）算法 

   11．接下来执行到36行，lowcost数组的值为：{0,0,18,65535,26,0,16,65535,12}。ad-jvex数组的值为：{0,0,1,0,5,0,1,0,1}。

   12．之后，通过不断的转换，构造的过程如下图中图1～图6所示。

普里姆（Prim）算法

假设N=(V,{E})是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。算法从U={u0}(u0∈V)，TE={}开始。重复执行下述操作：在所有u∈U,v∈V-U的边(u,v)∈E中找一条代价最小的边(u0,v0)并入集合TE，同时v0并入U，直至U=V为止。此时TE中必有n-1条边，则T=(V,{TE})为N的最小生成树。

由算法代码中的循环嵌套可得知此算法的时间复杂度为。

5.2 克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

普里姆（Prim）算法是以某顶点为起点，逐步找各顶点上最小权值的边来构建最小生成树的，同样的，也可以以边为目标去构建，因为权值是在边上，直接去找最小权值的边来构建生成树是很自然的想法，只不过构建时要考虑是否会形成环路。此时要用到了图的存储结构中的边集数组结构。以下是edge边集数组结构的定义代码：

  1. /* 对边集数组Edge结构的定义 */
  2. typedef struct
  3. {
  4.     int begin;
  5.     int end;
  6.     int weight;
  7. } Edge;

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法
克鲁斯卡尔（Kruskal）算法代码如下:

  1. /* Kruskal算法生成最小生成树 */
  2. /* 生成最小生成树 */
  3. void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)     
  4. {
  5.     int i, n, m;
  6.     /* 定义边集数组 */
  7.     Edge edges[MAXEDGE];                
  8.     /* 定义一数组用来判断边与边是否形成环路 */
  9.     int parent[MAXVEX];                 
  10.     /* 此处省略将邻接矩阵G转化为边集数组edges
  11.        并按权由小到大排序的代码 */
  12.     for (i = 0; i < G.numVertexes; i++)
  13.         /* 初始化数组值为0 */
  14.         parent[i] = 0;                  
  15.     /* 循环每一条边 */
  16.     for (i = 0; i < G.numEdges; i++)    
  17.     {
  18.        n = Find(parent, edges[i].begin);
  19.        m = Find(parent, edges[i].end);
  20.        /* 假如n与m不等，说明此边没有与现有生成树形成环路 */
  21.        if (n != m)                     
  22.        {
  23.            /* 将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中 */
  24.            /* 表示此顶点已经在生成树集合中 */
  25.            parent[n] = m;              
  26.            printf("(%d, %d) %d ", edges[i].begin, 
  27.                   edges[i].end, edges[i].weight);
  28.        }
  29.     }
  30. }
  31. /* 查找连线顶点的尾部下标 */
  32. int Find(int *parent, int f)            
  33. {
  34.     while (parent[f] > 0)
  35.         f = parent[f];
  36.     return f;
  37. }

程序详解：

1．程序开始运行，第5行之后，省略掉颇占篇幅但却很容易实现的将邻接矩阵转换为边集数组，并按权值从小到大排序的代码，也就是说，在第5行开始，已经有了结构为edge，数据内容是上图的右图的一维数组edges。

2．第5～7行，声明一个数组parent，并将它的值都初始化为0。

3．第8～17行，开始对边集数组做循环遍历，开始时，i=0。

4．第10行，调用了第19～25行的函数Find，传入的参数是数组parent和当前权值最小边(v4,v7)的 begin:4。因为parent中全都是0所以传出值使得n=4。

5．第11行，同样作法，传入(v4,v7)的 end:7。传出值使得m=7。

6．第12～16行，很显然n与m不相等，因此parent[4]=7。此时parent数组值为{0,0,0,0,7,0,0,0,0}，并且打印得到“(4,7)7”。此时已经将边(v4,v7)纳入到最小生成树中，如下图所示。

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

8．再次执行10～16行，此时i=2，edge[2]得到边(v0,v1)，n=0，m=1，parent[0]=1，打印结果为“(0,1)10”，此时parent数组值为{1,0,8,0,7,0,0,0,0}，此时边(v4,v7)、(v2,v8)和(v0,v1)已经纳入到最小生成树，如下图：

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法 

9．当i=3、4、5、6时，分别将边(v0,v5)、(v1,v8)、(v3,v7)、(v1,v6)纳入到最小生成树中，如图下图所示。此时parent数组值为{1,5,8,7,7,8,0,0,6}，怎么去解读这个数组现在这些数字的意义呢？

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法 

从上图的右下方的图i=6的粗线连线可以得到，其实是有两个连通的边集合A与B中纳入到最小生成树中的，如下图所示。当parent[0]=1，表示v0和v1已经在生成树的边集合A中。此时将parent[0]=1的1改为下标，由par-ent[1]=5，表示v1和v5在边集合A中，par-ent[5]=8表示v5与v8在边集合A中，par-ent[8]=6表示v8与v6在边集合A中，par-ent[6]=0表示集合A暂时到头，此时边集合A有v0、v1、v5、v8、v6。我们查看parent中没有查看的值，parent[2]=8表示v2与v8在一个集合中，因此v2也在边集合A中。再由parent[3]=7、par-ent[4]=7和parent[7]=0可知v3、v4、v7在另一个边集合B中。

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法 

 10．当i=7时，第10行，调用Find函数，会传入参数edges[7].begin=5。此时第21行，parent[5]=8>0，所以f=8，再循环得par-ent[8]=6。因parent[6]=0所以Find返回后第10行得到n=6。而此时第11行，传入参数edges[7].end=6得到m=6。此时n=m，不再打印，继续下一循环。这就是说，因为边(v5,v6)使得边集合A形成了环路。因此不能将它纳入到最小生成树中，如上图所示。

 11．当i=8时，与上面相同，由于边(v1,v2)使得边集合A形成了环路。因此不能将它纳入到最小生成树中，如上图所示。

 12．当i=9时，边(v6,v7)，第10行得到n=6，第11行得到m=7，因此parent[6]=7，打印“(6,7)19”。此时parent数组值为{1,5,8,7,7,8,7,0,6}，如下图所示。

 13．此后边的循环均造成环路，最终最小生成树即为下图所示。

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法的实现定义：

假设N=(V,{E})是连通网，则令最小生成树的初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T={V,{}}，图中每个顶点自成一个连通分量。在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。依次类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。

此算法的Find函数由边数e决定，时间复杂度为，而外面有一个for循环e次。所以克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为。

克鲁斯卡尔算法主要是针对边来展开，边数少时效率会非常高，所以对于稀疏图有很大的优势；而普里姆算法对于稠密图，即边数非常多的情况会更好一些。

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