弯曲

材料力学

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1、对称弯曲的概念和梁的计算简图

1.1 对称弯曲的概念

定义：等直杆在包含其杆轴线的纵向平面内，承受垂直于杆轴线的横向外力或者外力偶的作用下，杆的轴线在变形后成为曲线，这种变形称为弯曲

材料力学中，将以弯曲为主要变形的杆件，均通称为梁

由各横截面对称轴和梁的轴线组成的平面，称为纵向对称面

对称弯曲
由于梁的几何形状、物理性能和外力作用均对称于梁的纵对称面，因此，梁变形后的轴线必定是一条在该纵对称面内的平面曲线，这种弯曲称为对称弯曲

平面弯曲
对称弯曲时，梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合，因此也称为平面弯曲

平面弯曲的特征

• 具有纵向对称面
• 外力都作用在此面内
• 弯曲变形后轴线变成纵向对称面内的一条平面曲线

1.2 梁支座的三种基本形式

梁的支座按其对梁在荷载作用平面的约束情况，可简化为三种基本形式:

1、固定端

这种支座使梁的端截面既不能移动，也不能转动。因此对梁的端截面有三个约束支反力：
（1）水平支反力$F_{Rx}$；
（2）铅垂支反力$F_{Ry}$；
（3）支反力偶（矩为$M_R$）

2、固定铰支座

这种支座限制梁在支座处沿水平方向和铅垂方向移动，但并不限制梁绕饺中心转动。因此固定饺对梁在支座处只有2个约束支反力：
（1）水平支反力$F_{Rx}$；
（2）铅垂支反力$F_{Ry}$；

3、可动铰支座

这种支座只限制梁在支座处沿垂直于支承面方向移动，因此，对梁在支座处仅有1个约束支反力：
（1）垂直于支承面的支反力$F_R$

静定梁：如果梁具有1个固定端，或具有1个固定铰支座和1个可动铰支座，则其支座3个支反力可由平面力系的3个独立的平衡方程求解。

跨：梁在两支座间的部分，其长度称为梁的跨长。常见的静定梁大多是单跨的。

超静定梁：有时为了工程上的需要，对一个梁设置较多的支座，使梁的支座反力数目多于独立的平衡方程数目，仅用静力平衡方程无法确定所有的支反力。

作用在梁上的载荷形式

2、梁的剪力和弯矩

剪力：梁横截面上、作用线平行于截面的内力分量，记为Fs
弯矩：梁横截面上、作用线垂直于截面的内力偶矩，记为M

$$F_s = F_A\\ M = F_Ax$$
符号规定：使微段梁有顺时针转动（即左端向上右端向下相对错动）趋势的剪力为正，反之为负；使微段梁产生向下凸变形的弯矩为正，反之为负。

对称弯曲的剪力及弯矩与横截面大小及形状无关

3、剪力图和弯矩图

剪力方程：表示沿梁轴线各横截面上剪力随截面位置x 变化的函数，表示为Fs=Fs(x)
弯矩方程：表示沿梁轴线各横截面上弯矩随截面位置x 变化的函数，表示为M=M(x)

以截面上的剪力或弯矩为纵坐标，以截面沿梁轴线的位置为横坐标，根据剪力方程或弯矩方程绘制出表示Fs(x)或M(x)的图线，表示沿梁轴线各横截面上剪力或弯矩的变化情况，分别称为梁的剪力图或弯矩图。

规定：将正值的剪力画在x轴的上侧；将正值的弯矩画在梁的受拉侧，即x轴的下侧。

剪力图和弯矩图的工程学意义：

• 从剪力图或弯矩图上可以确定梁的剪力和弯矩的最大值及其所在截面位置（即确定危险截面）
• 在计算梁的位移时，也需利用弯矩方程或弯矩图。

剪力图和弯矩图有如下规律：
① 在集中力或集中力偶作用处，梁的弯矩方程应分段列出。
② 在梁上集中力作用处，剪力图有突变，其左右两侧横截面上剪力的代数差，即等于集中力值。而在弯矩图上的相应处则形成一个尖角。与此相仿，梁上受集中力偶作用处，弯矩图有突变，其左右两侧横截面上弯矩的代数差，即等于集中力偶值。
③ 全梁的最大剪力和最大弯矩可能发生在全梁或各段梁的边界截面，或极值点的截面处。

弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系

剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小，弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小

若x1,x2两截面间无集中力作用,则x2截面上的FS1等于x1截面上的FS1加上两截面之间分布荷载图的面积.

若x1,x2两截面间无集中力偶作用,则x2截面上的M2等于x1截面上的M1加上两截面之间剪力图的面积

利用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作剪力图和弯矩图，可不必写出剪力方程和弯矩方程，从而使作图过程简化，这种方法也称为简易法

按叠加原理做弯矩图

叠加原理：当所求参数（内力、应力或位移等）与梁上荷载为线性关系时，则由几项荷载共同作用时所引起的某一参数，就等于每项荷载单独作用下所引起的该参数的叠加

4、横截面上的正应力-梁的正应力强度条件

横力弯曲：梁各横截面同时有剪力和弯矩，且弯矩为截面位置x的函数（即随截面位置而变化）

纯弯曲：梁各横截面上的剪力为零，弯矩为常量，其值等于外力偶矩Me。综合考虑几何、物理和静力学三方面，可推导出梁在横截面上正应力的计算公式

物理意义：表明横截面上任一点处的纵向线应变ε与该点在截面上之位置y以及中性层曲率成正比。

中性层：梁弯曲变形时，其纵向线段无长度改变（不伸长也不缩短）的面
中性轴：中性层与横截面的交线，即横截面上正应力为零的各点的连线。弯曲变形时，各横截面间绕其中性轴作相对转动
中性轴位置：梁发生对称弯曲、且处于弹性范围时，中性轴通过横截面形心，并垂直于荷载作用平面

当材料处于线弹性范围内且拉伸和压缩弹性模量相同时，由单轴应力状态下的胡克定律可得物理关系：

$$σ = Eε\\ ε = \frac{y}{ρ}\\ ——> σ = E\frac{y}{ρ}$$
该式表明横截面上任一点处正应力与该点到中性轴的距离成正比，而在距中性轴为y的等高线上各点处的正应力均相等。

纯弯曲—静力学

根据梁上只有外力偶Me的受力条件，由截面法可知，FN和My均等于零，而Mz就是横截面上的弯矩M。其中σdA为横截面上的法向内力元素，S指静矩，I指惯性矩。

式中，M为横截面上的弯矩，Iz为横截面对中性轴的惯性矩，y为所求应力点的纵坐标
将弯矩M和坐标y按规定的正负号代入，所得到的正应力σ若为正值，即为拉应力，若为负值则为压应力
具体计算中根据梁变形的情况来判断，以中性层为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力，而凹入边的应力则为压应力

在横截面上离中性轴最远的各点处，正应力值最大；反之最小。当中性轴Z为截面的对称轴时，横截面上最大正应力:

$$σ_{max} = \frac{My_{max}}{I_Z}\\ 又 弯曲截面系数W_Z = \frac{I_Z}{y_{max}}\\ 故有：σ_{max} = \frac{M}{W_Z}$$

适用于均匀连续、各向同性材料，在线弹性范围内（σmax≤ σp）对称弯曲的小变形情况下。
Wz为弯曲截面系数，其值与横截面的形状和尺寸有关，单位为m3。

梁的正应力强度条件
梁的横截面上的最大工作正应力不得超过材料的许用弯曲正应力，即

$$σ_{max} = \frac{|M|_{max}y_{max}}{I_z} = \frac{|M|_{max}}{W_z} ≤ [σ]$$
强校核：
$$σ_{max} = \frac{|M|_{max}y_{max}}{I_z} ≤ [σ]$$
截面设计：
由$W_z$计算截面尺寸
$$W_z ≥ \frac{M_{max}}{[σ]}$$
许可荷载计算：
由$M_{max}$计算许可荷载值
$$M_{max} ≤ [σ]W_z$$

关于许用弯曲正应力的确定，一般就以材料的许用拉应力作为其许用弯曲正应力。事实上，由于弯曲和轴向拉伸时杆横截面上正应力的变化规律不同，材料在弯曲与轴向拉伸时的强度并不相同，因而在某些设计规范中所规定的许用弯曲正应力就比其许用拉应力略高。

5、梁的合理设计

梁的正应力强度条件

$$σ_{max} = \frac{|M|_{max}}{W_z} ≤ [σ]$$

• 降低Mmax：合理安排支座
  

• 降低Mmax：合理布置荷载
  

• 增大Wz：合理设计截面
  

当弯矩确定时，横截面上的最大正应力与弯曲截面系数成反比。因此，应尽可能增大横截面的弯曲截面系数W与其面积之比值。在一般截面中，W与其高度的平方成正比，因此应尽可能使横截面面积分布在距中性轴较远的地方，以增大W/A值。

• 增大Wz：合理放置截面
  

• 增大Wz：还需考虑材料力学性能及加工

选择梁横截面合理形状的原则：在设计截面时，应综合考虑横截面上的应力情况、材料力学性能、梁使用条件及制造工艺（即：合理安排支座、合理布置荷载、合理设计截面、合理选材等）