扭转

材料力学

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1、概述

扭转变形特征：
① 外力的合力为一力偶
② 力偶的作用面与直杆的轴线垂直。

2、薄壁圆筒的扭转

扭转角（ψ）：圆筒两端横截面之间绕轴线相对转动而发生的角位移。
切应变（γ）：圆筒表面上每个格子的直角都改变了相同角度，该直角的改变量称为切应变。

单位长度的扭转角ψ与杆的长度无关。但与材料性质，扭矩、截面几何性质有关。
切应变γ与横截面上沿圆周切线方向的切应力τ相对应。
由于相邻两圆周线间每个格子的直角改变量相等，且根据材料连续性假设，可推知沿圆周各点处的切应力不仅方向与圆周相切，而且数值必相等。

切应力沿壁厚方向的变化规律：由于壁厚ξ远小于圆筒平均半径$r_0（ξ ≤ r_0/10）$，可近似认为沿壁厚方向（即径向）各点处的切应力数值无变化。

2.1 内力扭矩T与切应力τ的关系

$$\int τ dA*r = T \\ dA：薄壁圆筒横截面上各点处的微面积。\\ r：薄壁圆筒横截面上各点处的半径。$$
对于薄壁圆筒，横截面上各点处的半径相差极小，故r可用其平均半径r0表示（r=r0）,而薄壁圆筒上各点处的切应力为等值的常量。故有：
$$τ = \frac{T}{2A_0δ}\\ A_0= πr_0^2，平均半径所作圆的面积。$$

2.2 γ 与 ψ 的关系

根据做图所示的几何关系，且扭转变形量很小（即γ 与 ψ 很小），所以，γ 与 ψ 的关系为：

$$γ × L = ψ × r\\ 或 γ = \frac{ψr}{L}\\ r：为薄壁圆筒的外半径$$
剪切胡克定律 : 当切应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，切应力与切应变成正比关系。

引入比例常数G，得到：

$$τ = Gγ$$
G是材料的一个弹性常数，称为切变模量，因γ 无量纲，故G的量纲与τ相同。

剪切胡克定律方程式只有在切应力不超过材料的某一极限值时才是适用的。该极限值称为材料的剪切比例极限$τ_p$。

3、传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图

3.1 传动轴的外力偶矩与传递功率、转速的关系

$$M_e = 9.55×10^3 \frac{P_{kW}}{n_{r/min}}N·m$$
其中：
P — 功率，千瓦（kW）
n — 转速，转/分（rpm）

对于外力偶的转向，主动轮上的外力偶的转向与轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶的转向则与轴的转动方向相反。

3.2 扭矩及扭矩图

扭矩 ：是构件受扭时横截面上的内力偶矩，记作“T”。

扭矩的符号规定：
右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向离开截面时，规定扭矩为正，反之为负。

扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化情况的图线。
扭矩图绘制方法：与轴力图的绘制方法相仿。

4、等直圆杆在扭转时的应力 · 强度分析

4.1 等直圆杆横截面内切应力

$$γ_ρ = ρ \frac{dψ}{dx}$$

上式表示横截面上任一点处切应变随点的位置（即：与圆心的距离ρ）的变化规律。
$\frac{dψ}{dx}$为相对扭转角沿杆长度方向变化率，对于给定的横截面是一个常量。

同样，在等直圆杆距圆心为ρ处：

$$τ_p = G·γ_ρ = ρG \frac{dψ}{dx}$$
由该公式，推论：

• 相同半径ρ的圆周上各点处不仅切应变均相同，且切应力也均相同，都与半径成正比。
• 因$γ_ρ$为垂直于半经平面内的切应变，切应力$τ_p$的方向也应垂直于半径。
• 等直圆杆横截面内切应力沿任一半径的变化趋势如下图所示。
  

4.2 静力学关系

$$扭矩T = GI_p \frac{dψ}{dx}\\ τ_p = \frac{Tρ}{I_p}\\ 横截面的极惯性矩 I_p = \int _Aρ^2dA \\ $$
公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，且为小变形时的等圆截面直杆。
② 式中：
T — 横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
ρ — 该点到圆心的距离。
$I_p$— 极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
$$I_p = \int _Aρ^2dA$$
单位：$mm^4，m^4$。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是极惯性矩$I_p$值不同。
对于实心圆截面：
$$I_p = \frac{πD^4}{32} ≈ 0.1D^4$$
对于空心圆截面：
$$I_p = \frac{πD^4}{32}(1-α^4) ≈ 0.1D^4(1-α^4)$$
d ：空心圆截面内径
D ：空心圆截面外径
α : 空心圆截面内、外直径之比
④ 应力分布

工程上常采用空心截面构件：提高强度，节约材料；重量轻，结构轻便，应用广泛。
⑤ 确定最大切应力：
$$当ρ=r= \frac{D}{2},τ_p = τ_{max}\\ 所以，τ_{max} = \frac{T}{W_p}\\ W_p = I_p/\frac{D}{2}$$
其中，$W_p$ —— 扭转截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：$mm^3$或$m^3$。
对于实心圆截面：
$$W_p = I_p/r = \frac{πD^3}{16} ≈ 0.2D^3$$
对于空心圆截面：
$$W_p = I_p/r = \frac{πD^3(1-α^4)}{16} ≈ 0.2D^3(1-α^4)$$
$\color{red}{即：对于空心圆截面，Wp不仅与外直径有关，且与内、外直径之比有关！}$

4.3 切应力互等定理

在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。

不论材料是否处于弹性范围，切应力互等定理总是成立的;

单元体在其相对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的这种状态，称为纯剪切应力状态。不论单元体上有无正应力存在，切应力互等定理都是成立的。

4.4 等直圆杆扭转时斜截面上的应力

转角α的规定：轴正向转至斜截面外向法线n：逆时针为正；顺时针为负

$$σ_α = -τsin2α\\ τ_α = τcos2α$$

圆轴扭转时，在横截面（α = 0°）和纵截面（ α = 90°）上的切应力为最大值；在α = ± 45°的斜截面上作用有最大拉应力和最大压应力。

圆轴扭转时的强度计算
强度条件：$τ_{max} ≤ [τ](许用切应力)$
对于等截面圆轴：

$$\frac{T_{max}}{W_p} ≤ [τ]$$
强度计算三要素
① 校核强度：
$$τ_{max} = \frac{T_{max}}{W_p} ≤ [τ]$$
② 设计截面尺寸：
$$W_p ≥ \frac{T_{max}}{[τ]}\\ 实心：W_p = \frac{πD^3}{16}\\ 空心：W_p = \frac{πD^3}{16}（1-α^4）$$
③ 计算许可载荷：
$$T_{max} ≤ W_p[τ]$$

5、等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件

长为 l的一段杆两截面间相对扭转角ψ:

$$ψ = \frac{Tl}{GI_p}(前提：T不变)$$
可见：相对扭转角ψ与$GI_p$成反比。
定义： $GI_p$为等直圆杆的截面扭转刚度，反映了截面抵抗扭转变形的能力。

注意：由于杆在扭转时各截面上的扭距可能并不相同，且杆的长度也各不相同，因此，在工程中对于扭转杆的刚度通常还是用相对扭转角沿杆长度的变化率dψ/dx来度量。以θ来表示这个量，称为单位长度扭转角。

单位长度扭转角θ ：

$$θ = \frac{dψ}{dx} = \frac{T}{GI_p} （rad/m）\\ 或θ = \frac{T}{GI_p}·\frac{180}{π} （°/m）$$
注意：此式仅适用于线弹性范围的等直圆杆

刚度条件

$$θ_{max} = \frac{T}{GI_p} ≤ [θ]（rad/m）\\ 或θ = \frac{T}{GI_p}·\frac{180}{π} ≤ [θ] （°/m）$$

[θ]称为许用单位长度扭转角

由此式可得刚度计算的三方面：
① 校核强度：

$$θ_{max} ≤ [θ]$$
② 设计截面尺寸：
$$I_p ≥ \frac{T_{max}}{G[θ]}\\ 实心：I_p = \frac{πD^4}{32} ≥ \frac{T}{G[θ]}\\ 空心：I_p = \frac{πD^4}{32}（1-α^4）≥ \frac{T}{G[θ]}$$
③ 计算许可载荷：
$$|T_{max}| ≤ GI_p[θ]$$

6、等直圆杆在扭转时的应变能

当材料在线弹性范围内时，单元体上外力所做的功为：

$$dW = \frac{1}{2}τγ(dxdydz)$$
由于单元体内所积蓄的应变能$dV_ε$数值上等于dW，故单位体积内的应变能密度$v_ε$为：
$$v_ε = \frac{1}{2}τγ$$
由剪切胡克定律$τ = Gγ$，上式可改写为：
$$v_ε = \frac{τ_2}{2G}或者v_ε = \frac{G}{2}γ^2$$

求得纯剪切应力状态下的应变能密度v后，扭转时杆中积蓄的应变能$V_ε$可由积分计算：

$$V_ε = \frac{T^2l}{2GI_p} = \frac{GI_p}{2l}ψ^2$$