绪论及轴向拉伸与压缩

材料力学

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1、绪论

1.1 构件安全性指标

• 强度：构件抵抗破坏的能力；
• 刚度：构件抵抗变形的能力；
• 稳定性：构件维持其原有平衡状态的能力。

1.2 材料力学的任务

主要任务

材料力学研究的最重要任务，就是研究材料在受载过程中变形和断裂的规律。

目的：在保证构件满足安全性要求的前提下,以最经济的代价合理设计构件尺寸、形状，选择适宜的材料，提供必要的理论基础、计算方法与实验技术

其它任务

建立试验分析及数值分析的方法
发展新原理、新方法，适应科学技术的发展

1.3 材料力学与生产实践的关系

① 材料力学是随生产的发展而建立的关于强度、刚度和稳定性计算的经验及理论
② 生产实践推动材料力学的发展
③ 材料力学、科学理论指导生产实践
④ 生产实践反过来检验材料力学的理论

1.4 可变形固体的性质及其基本假设

• 连续性假设

  （1）物体在整个体积内充满了物资而毫无空隙，结构是密实的；
  （2）变形后固体仍保持其连续性，在弹性变形范围内无空隙、密实连续(几何相容条件)

• 均匀性假设

  认为物体的力学性能是均匀的，即内部各体积单元的力学性能均相同，均能代表整个物体的力学性能。

• 各向同性假设

  认为材料沿各个方向的力学性能是相同的

两个限制条件（大多数情况下在该条件下进行研究）

• 小变形
• 线弹性范围内——卸除荷载后完全恢复原状，材料服从Hookle定律

$\color{red}{总结：材料力学中把实际材料均视为均匀连续、各向同性材料\\且在线弹性范围内和小变形条件下进行研究。 }$

意义：

以均匀、连续、各向同性的可变形固体作为构件材料的力学模型，是理想化的力学模型，误差是绝对的，但使理论研究成为可能，而且基于该模型进行计算所得结果的精度，在多数情况下属工程计算的允许范围

1.5 材料力学的主要研究对象

• 轴向拉伸或轴向压缩 : 主要变形为长度的改变
• 剪切 : 一对相距很近、大小相同、指向相反的横向外力（F）
• 扭转 : 一对转向相反、作用面垂直于直杆轴线的外力偶（力矩Me）
• 平面弯曲 : 一对转向相反、作用面在杆件的纵向平面（包含杆轴线在内的平面）内的外力偶

2、轴向拉伸与压缩

轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩

2.1 外力、内力与应力

外力：指由其他物体施加的力或由物体本身的质量引起的力

外力的正负号取决于所建立的坐标系，与坐标轴同向为正、反向为负

外力分类

• 按外力作用的方式

  • 体积力:是连续分布于物体内部各点的力，如物体的自重和惯性力
  • 面积力
    
    • 分布力：如油缸内壁的压力，水坝受到的水压力等均为分布力
    • 集中力：若外力作用面积远小于物体表面的尺寸，可作为作用于一点的集中力。如火车轮对钢轨的压力等

• 按时间

  • 静载： 缓慢加载（a≈0）
  • 动载： 快速加载（a≠0），或冲击加载

内力：指在外力作用下物体内各个部分之间的作用力----可理解为材料颗粒之间因相对位置改变而产生的相互作用力

内力指由外力作用所引起的、物体内部相邻部分之间分布内力系的合成（即：附加内力）

求内力的方法 —— 截面法

内力的正负号根据规定，不同变形的内力有不同的规定

应力：指受力杆件某一横截面上一点处的内力集度（内力分布的密集程度）
平均应力:某范围内单位面积上内力的平均集度

$$p = \frac {\Delta F}{\Delta A}$$
一点的应力：当面积趋于零时，平均应力的大小和方向都将趋于一定极限，得到
$$p = \lim\limits_{\Delta A \to 0} = \frac{\Delta F}{\Delta A} = \frac{dF}{dA}$$

应力总量P 可以分解成:

• 正应力: 垂直于截面的应力 σ = p*cosα
• 剪应力: 平行于截面的应力 τ = p*sinα

应力的基本特征：

① 必须明确截面及点的位置；相应地，讨论应力时要（A） 既要指明截面；（B）也要指明点

② 是矢量，既有数值大小(包括有关的单位)，又有方向
正应力：拉为正（离开截面为正），压为负（指向截面为负）
切应力：顺时针为正；逆时针为负

③ 单位：Pa(帕)和MPa(兆帕) ；1 Mpa =106 Pa

④ 截面上各点应力与微分面积dA的乘积的合成为该截面上的内力（ 即：Fs.dA求积分 ）

应力集中: 杆件截面骤然变化（或几何外形局部不规则）而引起的应力局部骤然增大的现象

由塑性材料制成的杆件，在静荷载下可不考虑应力集中的影响。 而在静载荷作用下，应力集中对脆性材料的影响严重。
在动载下，塑性和脆性材料均需考虑应力集中。

2.2 截面法·轴力及轴力图

截面法
研究杆件的内力时，必须用一平面将构件假想地截开成为两段，使内力暴露出来，然后研究其中一段的平衡，求得内力的大小和方向。

截面法是求构件内力的基本方法，一般可分为三个步骤为：截开、代替和平衡（常称：“截”、“弃”、“代”、“平”）。

• 在求内力的横截面m-m 处,假想地将杆截为两部分
• 将两部分中的任一部分留下，并把弃去部分对留下部分的作用代之以作用在截开面上的内力（力或力偶）
• 对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算在截开面上的未知内力。

轴力： 杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心的作用力。轴力正负号规定：拉为正、压为负

轴力图
以平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，以垂直与杆轴线的坐标轴表示轴力的大小，将杆件横截面轴力的变化用图线表示出来。这种图线称为轴力图。

特点：

• 反映出轴力与截面位置变化的关系，较直观；
• 确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据；
• 习惯上将正值的轴力画在上侧，负值的轴力画在下侧。

例题：已知 F1= 10 kN；F2 = 20 kN；F3 = 35 kN；F4 = 25kN；试画出图示杆件的轴力图。

四要素： 填充表示截面、正负表示方向、数值大小、对应段位置

2.3 拉（压）杆内的应力

平面假设： 假设原为平面的横截面在杆变形后仍为平面 —— 推出：横截面上各点处的正应力都相等

$$σ = \frac {F_N}{A} \\F_N：为轴力；A：杆的横截面面积$$

正应力σ和轴力FN 同号。即拉应力为正，压应力为负
公式的应用条件：1)直杆、2)杆的截面无突变、3)截面离载荷作用点有一定的距离。

圣维南（Saint-Venant）原理：外力作用于杆端的方式不同,只在距杆端距离不大于横向尺寸的范围内影响较大，以外区域影响较小,可忽略不计

最大轴力所在的横截面称为危险截面
危险截面上的正应力称为最大工作应力

计算与横截面成α角任一斜截面上的应力

$$总应力：P_α = \frac{F_α}{A_α} = \frac{F}{A_α} = \frac{Fcosα}{A} = σcosα\\[2ex] 正应力：σ_α = P_αcosα = σcos^2α\\[2ex] 切应力：τ_α = p_αsinα = \frac{σ}{2}sin2α\\[2ex]$$
$$\color{red}{由公式可知： 当α = 0° 时，σ_{0°} = σ_{max} = σ\\ 当α = 45° 时，τ_{45°} = τ_{max} = \frac{σ}{2}\\ }$$

斜截面上正应力和切应力的正负规定：
正应力：拉应力为正，压应力为负；
切应力：绕研究对象顺时针转动为正，反之为负。

通过某一点的所有不同方位截面上应力的全部情况，称为该点处的应力状态
如果一点处的应力状态由其横截面上的正应力即可完全确定，这样的应力状态称为单轴应力状态

2.4 胡克定律

线应变: 每单位长度的伸长(或缩短)，称为线应变，并用记号ε表示。
符号：拉伸（＋），压缩（－）
适用范围：均匀变形。

纵向变形（轴向伸长或缩短）

$$纵向线应变 ε = \frac{\Delta l}{l}\\ $$
横向应变
$$横向应变 ε' = \frac{\Delta d}{d}\\ $$
符号：$\color{red}{压缩（＋），拉伸（－）} 与纵向变形相反

胡克定律
实验表明，在比例极限(弹性形变范围
)内，杆的轴向变形Δl与外力F及杆长l成正比，与横截面积A成反比。

$$\Delta l = \frac{Fl}{EA}\\ $$
E ——称为弹性模量，是表示材料弹性性质的一个常数。单位：MPa、GPa。

弹性模量E代表材料抵抗弹性变形的能力
弹性模量E的数值由材料本身的性能确定，故因材料而异
弹性模量E的数值不能计算得到，必须通过实验测定

EA —— 杆件的抗拉伸（压缩）刚度。对于长度相等且受力相同的拉杆，其拉伸刚度越大则拉杆的变形越小。

胡克定律的变形

$$\frac {\Delta l}{l} = \frac{1}{E} \frac{F_N}{A} \\ 即：ε = \frac{σ}{E} 或 σ = Eε(应力-应变方程)$$
泊松比（或横向变形因数）
对于横向线应变ε'，实验发现，当拉(压)秆内的应力不超过材料的比例极限时，它与纵向线应变ε的绝对值之比为一常数，此比值称为横向变形系数—或泊松比。通常用v表示，即
$$v = |\frac{ε'}{ε} |\\ 考虑到两应变的正负号恒相反。故有：\\ ε' = -vε = -v \frac{σ}{E}$$
一点处的横向线应变ε’与该点处的纵向正应力σ也成正比，但正负号相反。

2.5 拉（压）杆的应变能

应变能: 伴随着弹性变形的增减而改变的能量。
力F对此位移所作的功可以从F与△L的关系图线下的面积来计算:

$$V_ε = W = \frac{1}{2}F·\Delta L = \frac{F_N^2L}{2EA}$$
应变能密度: 单位体积内所积蓄的应变能
$$v_ε = \frac{V_ε}{V} = \frac{\frac{1}{2}F \Delta L}{Al} = \frac{1}{2}σε = \frac{σ^2}{2E} = \frac{Eε^2}{2}$$
应变能密度的单位为 $J／m^3$

2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性能

力学性能：材料在外力作用下在变形、破坏方面的特性。都要通过实(试)验来测定

关键试验条件：

• 1、温度(常温20℃)（? 材料模量受温度影响极大） 
• 2、“静”载（缓慢地加载）(? 保证弹性变形范围检测）
• 3、标准试件（? 保证几何形状和受力符合轴向拉伸）
  

  上述条件下所测得的力学性能为常温、静荷载下材料拉伸（压缩）力学性能

两类试验仪器

• 万能试验机：是用来使试样发生变形(伸长或缩短)和测定试样的抗力(即内力)的。
• 变形仪：是用来量测试样变形的．将微小的变形放大，能在所需的精度范围内量测试样的变形。

低碳钢试件的拉伸图及其力学性能

应力-应变曲线或σ-ε曲线

四个阶段

• 1、弹性阶段ob

  $\sigma_P$ —— 材料的比例极限：a点是符合胡克定律的最高限应力；
  $\sigma_e$ —— 材料的弹性极限：b点是卸载后不发生塑性变形的极限应力。
  实际区别不大，统称弹性极限

• 2、屈服阶段bc

  屈服高限：最高点应力（加载速度等很多因素对其影响大）
  屈服低限：最低点应力（较稳定）
  $\sigma_s$ —— 屈服极限：屈服低限。

  此时出现的变形，是不可恢复的塑性变形。在试样表面将可看到大约与轴线成45°方向的条纹，是由材料沿试样的最大切应力面发生滑移而出现的，称为滑移线。

• 3、强化阶段ce

  $\sigma_b$ —— 强度极限：取试样名义应力的最大值。常称为材料的拉伸强度
  在强化阶段中试样的变形主要是塑性变形，所以要比在弹性阶段内试样的变形大得多。横向尺寸明显变小

• 4、局部变形阶段ef

对于低碳钢而言，极限应力$\sigma_s$及$\sigma_b$是衡量材料强度的重要指标

若在强化阶段中停止加载，并逐渐卸除荷载，则可看到，在这一过程中荷载与试样的伸长之间遵循直线关系，该直线与弹性阶段内的直线Oα近乎平行。卸载时荷载与伸长量之间遵照直线关系的规律称为材料的卸载规律。

强化阶段中，试样变形包括弹性变形△le和塑性变形△lp两部分，在卸载过程中，弹性变形逐渐消失，只留下塑性变形。

若对试样预先施加轴向拉力，使之达到强化阶段，然后卸载，则当再加荷载时，试样在线弹性范围内所能承受的最大荷载将增大，而试样所能经受的塑性变形降低。这一现象称为材料的冷作硬化。

若试样拉伸至强化阶段后卸载，经过一段时间后再受拉，则其线弹性范围的最大荷载还有所提高，这种现象称为冷作时效。

影响冷作时效的两个因素：
1、卸载后至加载的时间间隔
2、式样所处温度

试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由 l 变为 l1，横截面积原为 A ，断口处的最小横截面积为 A1

$$伸长率 δ = \frac{l_1 - l}{l} ×100%\\ 断面收缩率 ψ = \frac{A- A_1}{A} ×100%$$
δ ≧5% 的材料，称作塑性材料；
δ ＜5% 的材料，称作脆性材料。

名义屈服极限 : 无明显屈服阶段的，规定以塑性应变$ε_p$ = 0.2% 所对应的应力作为名义屈服极限(即屈服强度)，记作$σ_{p0.2}$

低碳钢压缩

低碳钢压缩时的弹性模量E、屈服极限σs都与拉伸时大致相同
屈服阶段后，试件越压越扁，横截面面积不断增大，试件不可能被压断，因此得不到压缩时的强度极限

塑性材料和脆性材料对比

塑性材料	脆性材料
断裂时的变形较大	断裂前的变形较小
塑性指标(伸长率和断面收缩率)较高，抗拉断的能力较好	塑性指标较低
强度指标是屈服极限	强度指标是强度极限
拉伸和压缩时的屈服极限值相同	拉伸强度远低于压缩强度

但是，材料是塑性的还是脆性的,随材料所处的温度、应变率、应力状态等条件的变化而不同。

2.7 强度条件 · 安全系数 · 许用应力

极限应力:材料力学中，将材料的两个强度指标$σ_s$（屈服点应力，针对塑性材料）和$σ_b$（拉伸强度，针对脆性材料）统称为极限应力，并用σ_u表示。

为确保拉(压)杆不至于因强度不足而破坏，杆件的最大工作应力$σ_{max}$ 应小于材料的极限应力$σ_u$

拉压杆的强度条件
许可应力：规定最大工作应力σmax为极限应力σu的若干分之一，并称之为材料在拉伸(压缩)时的许用应力，以[σ]表示

$$[σ] = \frac{σ_u}{n}\\ n是一个大于1的因数，称为\color{red}{安全因数(或安全系数)}。$$
根据强度条件可进行强度计算：

• ① 强度校核 (判断构件是否破坏)
  

  $$σ_{max} = \frac {F_{N,max}}{A} ≤ [σ]$$

  对于塑性材料,因显著塑性变形时影响正常工作，故取屈服应力$σ_s$ （屈服极限）为极限应力$σ_u$,即: $σ_u= σ_s$ 或 $σ_{p0.2}$
  对于脆性材料,由于它直到破坏为止都不会产生明显的塑性变形，只有在断裂才伤失正常工作能力，应取拉伸(压缩)强度$σ_{bt}（σ_{bc}）$ （强度极限）为极限应力$σ_u$

• ② 设计截面 (构件截面多大时，才不会破坏)
  

  $$A ≥ \frac{F_{N,max}}{[σ]}$$

• 求许可载荷 (构件最大承载能力)
  $$F_{N,max} ≤ A[σ]$$