@chawuciren
2018-12-09 16:01
字数 1796
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H
diff(sin(n*x)*sin(x)^n, x);//一阶导数
Simplify(%);//化简
对表达式求x的n阶导数,用$列表:
diff(sin(x),x$n) $ n=1..8;
实验例4 设是三次多项式的不同实根,试证明:
.
实验步骤:
这个题目用单引号运算符“ ' ”对映射形式的函数求导数更方便.
首先,根据代数学关于多项式与根的关系的理论,定义三次多项式:
P:=x-->A*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3);
2. 复合函数求导
实验例5. 对函数求导,验证复合函数求导法则.
理论分析:该函数可以看作的复合.
实验过程:
步骤1 直接由函数表达式对x求导:
delete x;
diff(1/2*ln(1-E^(-2*x^2))+E^(-x^2)*arcsin(E^(-x^2))/sqrt(1-E^(-2*x^2)), x);
步骤2 由被复合的两个函数表达式分别对u和x求导,然后相乘,验证复合函数求导法则:
delete u,x,y;
y:=1/2*ln(1-u^2)+u*arcsin(u)/sqrt(1-u^2);
dy_du:=diff(y, u);//这里是复合求导了,首先是y对u求导
u:=E^(-x^2);//先写出u是什么
dy_du;//然后打印一下表达式
du_dx:=diff(u, x);//u对x求导,上面都是直接写表达式,看这里用了另一种形式,其实就是先写出映射,再写对什么求导,上面也是一样的
dy_du*du_dx;//两个导数相乘
步骤3 视作两个函数的复合,
采用映射形式,分别求导,然后相乘,验证复合函数求导法则:
delete u,x,f,g;
f:=u-->1/2*ln(1-u^2)+u*arcsin(u)/sqrt(1-u^2);//注意前面怎么写的u-->
dy_du:=f'(u);//这里就是f(u)了,同理可以把f换掉
g:=x-->E^(-x^2);
du_dx:=g'(x);//写g并且求导数
f'(g(x))*g'(x);//相乘
Simplify(%);//化简
实验例6 已知g为可导函数,a为实数,试求下列复合函数的导数:
(1);(2);(3);(4)
还可以不要这么麻烦,这样可以求出通式,姑且就叫通式吧
直接对表达式求导:
diff(g(x+g(a)), x);//只举第一个做例子
说明:MuPAD用符号表示diff(g(x),x),即.
3. 反函数求导
实验例7 求函数的反函数在处的导数.
实验过程:
步骤1 求解非线性方程的符号解,解不出来:
solve(2*x-cos(x)/2=-1/2, x);
步骤2 求解非线性方程的数值解:
numeric::fsolve(2*x-cos(x)/2=-1/2, x);
步骤3 用反函数求导公式计算所求:
diff(2*x-cos(x)/2, x);
subs(%, x=0);
1/Simplify(%);
步骤4 绘函数图像验证上述解答的正确性:
首先,绘制函数的图像:
plot(2*x-cos(x)/2, x=-5..5);
然后,由于反函数y=f-1(x)的图像与原函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称,
可以用plot::Reflect2d绘制反函数的图像:
Gf:=plot::Function2d(2*x-cos(x)/2, x=-3..3, Color=RGB::Blue):
P:=plot::Point2d([0,-1/2], Color=RGB::Blue):
Gi:=plot::Reflect2d([0, 0], [1, 1],
plot::modify(Gf, Color=RGB::Red)):
Q:=plot::Point2d([-1/2,0], Color=RGB::Red)://(请查阅Help文档,认识plot::Reflect2d和plot::modify的语法与功能)f
L:=plot::Function2d(x, x=-4..4, Color=RGB::Black, LineStyle=Dashed):
plot(Gf, P, Gi, Q, L, #C, ViewingBox=[-4..4,-4..4],
Height=120, Width=120);
说明:蓝色曲线是原函数的图像,红色曲线是其反函数的图像.
蓝点P(0,-1/2)对应红点Q(-1/2,0). 从图像可以验证计算的正确性.
(请查阅Help文档,认识plot::Reflect2d和plot::modify的语法与功能)