笔记

H

diff(sin(n*x)*sin(x)^n, x);//一阶导数
Simplify(%);//化简
对表达式求x的n阶导数，用$列表：
diff(sin(x),x$n) $ n=1..8;
实验例4  设是三次多项式的不同实根，试证明：
                     .
实验步骤：
这个题目用单引号运算符“ ' ”对映射形式的函数求导数更方便.
首先，根据代数学关于多项式与根的关系的理论，定义三次多项式：
P:=x-->A*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3);
2.  复合函数求导
实验例5.  对函数求导，验证复合函数求导法则.
理论分析：该函数可以看作的复合.
实验过程：
步骤1   直接由函数表达式对x求导：
delete x;
diff(1/2*ln(1-E^(-2*x^2))+E^(-x^2)*arcsin(E^(-x^2))/sqrt(1-E^(-2*x^2)), x);
步骤2   由被复合的两个函数表达式分别对u和x求导，然后相乘，验证复合函数求导法则：
delete u,x,y;
y:=1/2*ln(1-u^2)+u*arcsin(u)/sqrt(1-u^2);
dy_du:=diff(y, u);//这里是复合求导了，首先是y对u求导
u:=E^(-x^2);//先写出u是什么
dy_du;//然后打印一下表达式
du_dx:=diff(u, x);//u对x求导，上面都是直接写表达式，看这里用了另一种形式，其实就是先写出映射，再写对什么求导，上面也是一样的
dy_du*du_dx;//两个导数相乘
步骤3   视作两个函数的复合，
采用映射形式，分别求导，然后相乘，验证复合函数求导法则：
delete u,x,f,g;
f:=u-->1/2*ln(1-u^2)+u*arcsin(u)/sqrt(1-u^2);//注意前面怎么写的u-->
dy_du:=f'(u);//这里就是f(u)了，同理可以把f换掉
g:=x-->E^(-x^2);
du_dx:=g'(x);//写g并且求导数
f'(g(x))*g'(x);//相乘
Simplify(%);//化简
实验例6  已知g为可导函数，a为实数，试求下列复合函数的导数：
 (1)；(2)；(3)；(4)
还可以不要这么麻烦,这样可以求出通式，姑且就叫通式吧
直接对表达式求导：
diff(g(x+g(a)), x);//只举第一个做例子
说明：MuPAD用符号表示diff(g(x),x)，即.
3.  反函数求导
实验例7  求函数的反函数在处的导数. 
实验过程：
步骤1   求解非线性方程的符号解，解不出来：
solve(2*x-cos(x)/2=-1/2, x);
步骤2   求解非线性方程的数值解：
numeric::fsolve(2*x-cos(x)/2=-1/2, x);
步骤3  用反函数求导公式计算所求：
diff(2*x-cos(x)/2, x);
subs(%, x=0);
1/Simplify(%);
步骤4   绘函数图像验证上述解答的正确性：
首先，绘制函数的图像：
plot(2*x-cos(x)/2, x=-5..5);
然后，由于反函数y=f-1(x)的图像与原函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称，
可以用plot::Reflect2d绘制反函数的图像：
Gf:=plot::Function2d(2*x-cos(x)/2, x=-3..3, Color=RGB::Blue):
P:=plot::Point2d([0,-1/2], Color=RGB::Blue):
Gi:=plot::Reflect2d([0, 0], [1, 1],
                    plot::modify(Gf, Color=RGB::Red)):
Q:=plot::Point2d([-1/2,0], Color=RGB::Red)://（请查阅Help文档，认识plot::Reflect2d和plot::modify的语法与功能）f
L:=plot::Function2d(x, x=-4..4, Color=RGB::Black, LineStyle=Dashed):
plot(Gf, P, Gi, Q, L, #C, ViewingBox=[-4..4,-4..4],
     Height=120, Width=120);
说明：蓝色曲线是原函数的图像，红色曲线是其反函数的图像.
蓝点P(0,-1/2)对应红点Q(-1/2,0). 从图像可以验证计算的正确性.
（请查阅Help文档，认识plot::Reflect2d和plot::modify的语法与功能）