线代的一、总结-2

线代

---

先上题：

$$E\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

答案：

$E=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix}类比一下，假如继续化简，消元矩阵会是这个矩阵吗？\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

不是（猜错了呢）,其实是

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix}$$
如图，E右乘的那个矩阵叫帕斯卡矩阵。
取$\ \ \ \ \ \ \ 1\\ \ \ \ \ \ 1\ \ \ 1\\ \ \ \ 1\ \ \ 2\ \ \ 1\\ \ 1\ \ \ 3\ \ \ 3\ \ \ 1\\ $(真难打，这个就是帕斯卡三角了)

线性性和封闭性

这两个性质就是一个性质，封闭性就是加法封闭和数乘封闭，这两个性质就是线性操作推导出来的
子空间就相当于一个子集，这个子集又自己具有封闭性

什么是列空间

不就是A的所有列的线性组合的向量组成的空间（是吗？）
A可以写成这种形式
$Col(A)=\{A\vec{x}|\vec{x}\in R^n\}$
所以列空间和我A矩阵有什么关系？A只是搭个桥而已，列空间是所有的b向量组成的空间（和A没有关系）
证明列空间是R^n的子空间：
$A(\vec{x_1}+\vec{x_2})=A\vec{x_1}+A\vec{x_2}$
$Ac\vec{x_1}=cA\vec{x_1}$
如果：
$A=[\vec{a_1}......\vec{a_n}],\vec{a}\in R^m$
有R^n->R^m
这个映射是单射还是满射呢？（相当于从值域到定义域）
显然当n 映射的概念不仅仅限于函数，也可以是别的什么东西

Ax=b

求特解的时候，自由变量全都取0
为什么是0？仅仅是方便吗？
可以这样理解，自由变量所在的那几列，其实是没有用的，反正没有用，取0好了

完全解

$\vec{x}=\vec{x_{special}}+c_1\vec{x_1}+c_2\vec{x_2}$
这个时候就要回忆一下小黄书是怎么做的（那个其实叫做解方程，并不是线性代数的解法）
$c_1\vec{x_1}+c_2\vec{x_2}$这是0空间的自由组合
完全解，可以理解为偏移

四大基本子空间的关系

穷人没有图

独立性就是不相关性

当r=n时，一定有解

关于秩一

秩一矩阵其实是写成列乘行的
我们都知道，点积是行乘列的

维度

基有几个线性无关向量

N（A）

A是一个四行三列矩阵
他的零空间的基里面嵌了一个单位矩阵[R^3空间标准积]
但是显然零空间的基不可能是单位向量
因为他是R^4空间的（基有两个向量）

秩

主元数

Ax=0

求特解，为什么是1，0，0,1，因为方便（其他数也不是不可以，但是几乎没人这么干）