20向量空间

T

S = { all v \in R^4, with v = (v1, v2, v3, v4) and v1 + v2 + v3 + v4 = 0}。

1、证明S构成一个向量空间；Prove S is indeed a vector space.

2、求S的维度；Find the dimension of S;

3、求S的一组基；Find a basis of S.
1.证明：v和w是各分量相加为0的向量，即属于S
6×（v1+v2+v3+v4）=0;(v1+v2+v3+v4)+(w1+w2+w3+W4)=0
因此S空间的向量满足加法封闭和乘法封闭，S是一个向量空间
2.解：S可以看成某个矩阵的零空间。先求该矩阵。
Av=0
解得A=[1 1 1 1]
该矩阵的零空间秩为3，所以S的维度为3
3.解：求S的基就是求A的零空间的基，对各个自由变量分别取值
x2=1 x3=0 x4=0
x2=0 x3=1 x4=0
x2=0 x3=0 x4=1
带入得到的特解就是基
所以基为$\begin{bmatrix}-1 \\1\\0\\0 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 \\0\\1\\0 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 \\0\\0\\1 \\\end{bmatrix}$