线性代数的一点总结

T 线代

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点积和叉积（外积）

点积

假设有两个向量v，w。点积就是$|v|cos \theta|w|$,既投影的乘机

叉积

理解为由一个向量$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\\end{bmatrix}$的线性组合构成的子空间。(秩一矩阵)

$$\begin{bmatrix}0 \\1 \\2 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\1 & 2 & 3 \\2 & 4 & 6 \\\end{bmatrix}$$

一个二元一次方程组的立体几何解法和线性代数解法

立体几何

画一个坐标系，画两条线，这两条线的交点就是解。

线性代数解法

画两个向量，用这两个向量的线性组合来求解。

假如不是二元的，而是三元，四元呢？第一种方法变的很复杂，显然第二种方法会方便。

三元方程求解的几何理解

每一个方程画出一个平面，两个平面交于一条直线，三个平面或许会交于同一点（或者一条直线）。
线性代数就看三个列向量（第一个的几倍加上第二个的几倍......）的组合了。

矩阵乘法

A是n×m矩阵B是m×p矩阵，结果是n×p矩阵。
只有A的列等于B的行的时候，才能相乘。
计算公式为$a_{ik}*b_{kj}/ k=0..m$(求和)。
可以表示为：
用上面那条公式，将结果矩阵中的元素全部写出。
A乘B的每一列。
将A的列转为行表示，再相乘。（不是太懂）

消元

如果将消元了的矩阵再写成方程组的形式，可以发现和原来的方程组在坐标系上的图像不同了（废话，方程都不同了）

消元矩阵

$E_{21}$表示消掉位置21的元。
$l_{21}=-a_{21}/a_{11}$(喵喵喵？)
$E_{21}b$的作用：对b消元。

消元矩阵的逆

无解的情况

假设还是两个方程，如果这两个方程不相交，当然就没解了。
还有一种情况是重合，所有的线上的点都是解。

置换

该矩阵的逆是他本身，转置也是他本身。
这样理解，将这两行交换，我再交换一次就换回来了。
为什么在之前没有考虑行交换？

矩阵的运算

$C（A+B）<=>C(a_i+b_i)$
线性理解：
只要满足M（a+b）=Ma+Mb;M(sa)=aMa
只要是线性变换，就存在一个矩阵M，变换以后在一个space
常数c=变换/原像。
变换以后点与点的距离是不变的。（记得小黄书说所有矩阵变换都是线性的来着）
该变化就是线性的
什么不是线性的？扭曲（平方的也不是R->R^2）。
第五版的根号长度

怎么理解R^3->R^2是线性的

就是二维空间的投影。

块乘

逆

$$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$
证明 $$AB(AB)^{-1}=I$$ $$(AB)^{-1}AB=I$$ $$ABB^{-1}A^{-1}=I$$
得证
求逆：对[A I]进行化简，证明为什么可行
证明：对A进行化简的同时，相当于对I进行了逆操作（？）
第二种方法是E[A I]左乘一个矩阵E，得到E[I A^(-1)],将A和I分开来看
$E_{n}E_{n-1}......E_0A=I$
那么I=......
EF
(EF)^(-1)构造涉及$l_{ij}=a(i+1)j/aij$

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11.18更新

奇异

如果方块矩阵A满足|A|det（A）！=0，就是非奇异矩阵，否则就是奇异矩阵

LU分解

A=LU
A消元得到U，所有消元操作的逆操作写成矩阵的形式就是L
如$E......E_{32}E{31}E{21}A=U$
$E_{ij}^{-1}=?$涉及到$l_{ij}=主元/e_{ij}$
明明LU分解复杂为什么用LU分解，因为计算机要用到

LDU

(L)U->DU
[Lb]=>C=Ux前代
[Uc]=>x回代