求解Ax=0主变量-7&8求解Ax=b可解性

线代

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找出零空间和列空间的向量

A

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 2 &2\\2 & 4 & 6 &8\\3 & 6 & 8 &10 \\\end{bmatrix}$$
解Ax=0
（看矩阵的行和列有没有倍数关系，有的话会在以后的消元中体现）
行化简不会改变零空间但是会改变列空间（解不会变）。
在化简中如果出现一列没有非零主元，说明该列是其他各列的线性组合。这一列叫做自由列。
化简以后得到上三角矩阵阶梯形式
rank of A is 2
Ux=0(没错已经不是Ax=0了)
x2 x4可以取任意值然后进行回代，就能得到解（把结果代入方程中）。
-2倍的列1加上1倍列2等于0，通过这个可以找到一大批的零空间向量。

如何求特解？
赋予自由变量0和1（像一个单位矩阵那样......为了方便记忆），就可以找到特解了
特解可以构造出整个子空间

有rank的数量的方程在构造子空间上起作用（是吗？）

简化阶梯型(行化简==方程消元化简)

这样的矩阵会包括单位阵,可以写成一个单位阵和一个F矩阵（鬼知道是什么样的）的形式。
然后会发现F和特解里的数字符号相反，为什么相反呢？因为（特解相当于）移到了另一侧。
$\begin{bmatrix}I & F\\\end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_{pivof} \\ X_{free}\\\end{bmatrix}=0$
free就是-F，显而易见
$\begin{bmatrix}-F\\ I\\\end{bmatrix}$
$x_{pivof}=-Fx_{free}$（将单位阵分配给主变量可以得到）

取A的转置，进行类似的操作，也可以写成上述形式，特别提示[1]也是单位阵（化成简化阶梯型的矩阵叫R）

A矩阵到底有没有解

上面说了，A的行和列有不可描述的倍数和相加的关系，那么什么样的b有解？
满足b1+b2=b3就有解（如果画图是个什么情况呢？）
然后左侧消元得0，右侧消元得0（不能出现0=7的情况，这种情况无解）

设b1、b2、b3进行消元，就可以得到有解时b1\2\3的关系式

1.b属于A的列空间时有解（是不是在上一讲讲过哦......）
2.A行化简得到0（假设有0行）b也得到0（在该行的位置）

Ax=b的特解
自由变量=0，就可以得到特解

如何求出所有的解
特解+零空间中的任意向量
既X=Xp+Xn
AXp=b
X×Xn=0
A(Xp+Xn)=b+0

可以写成三个列向量相加的形式（太难写就不写了）
xp不能乘任何数，否则等式不成立
xn乘多少都成立（本来乘出来就是0了，再乘什么数都是0）

全解构成的空间不是向量空间，而是一个过特解这一点的一个平面（平移以后不过原点了）

秩

设一个m×n矩阵A，秩为r，Ax=b
1.r<=m r<=n
有自由变量，就有无穷多个解
2.r=n
有一个或者0个解（0个解是？）
3.r=m
对任何的b都有解（没有非0行，是不是照应了前面的）
有n-r个自由变量（也是n-m个）


r=m=n时，R=I
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