指数函数与欧拉公式

高等数学

数学的学习需要直观。比如我们应该问：到底指数函数$e^x$是怎么想出来的？为什么$e^x$会等于那么一大堆无穷的级数和？是偶然还是必然？是发明还是发现？

以下内容您只需要知道一些基本的高等数学的常识，比如，一阶导数。也就是说即使高数挂科者也可轻松阅读。

直接构造法

在没有$e^x$这个函数之前，也许数学家是想找一个函数：它的一阶导数刚好是该函数本身。如果把一阶导数看为函数所表示曲线的加速度，那么就是说这条曲线的加速度函数就是自己本身。我尚不知道数学家们出于何种动机非要找这样的函数。只是可以猜想，或许欧拉等人很早就发现了这样的函数，比如：

$f(x) = 1 + x + 1/2* x^2 + 1/3! * x^3 + ... + 1/n!*x^n + ...$ (公式1）

对公式1做一阶求导，会发现：$f'(x) = f(x)$。求导之后，1没了，$x$变成1，$1/2*x^2$ 变成$x$......所以，这个$f(x)$就是我们想要的那个函数，将此函数命名为$e^x$。并且我们知道$(e^x)' = e^x$。

以上的表达是说，我们想要一个函数，刚好，很容易我们就发现了这个函数，Happy ending。如果数学家们满足于这个状况，也许下面这些内容就没有了。

多项式构造法

当然数学家们不仅仅满足于找到这么样一个函数。我们通过公式本身要问的是，是不是所有的曲线（函数）都可以表示成$x^k（k \in [0..n]）$（多项式）的累加？是否所有的函数都会有这样的形状？

$f(x) = a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + a_3*x^3 + ... + a_n*x^n + ...$ （公式2）

如果是，我们如何求出这些系数：$a_i$？注意，此时假定我们知道这个函数的某种表达（不是上面这种形式），记为$ff(x)$。

现在需要一点高阶导数的内容，其实就是一阶导数不断做下去。思考这样的思路：如果在$x=0$这个点上，$ff(x) = f(x)$，而且$ff'(x) = f'(x)$， $ff''(x) = f''(x)$， ...，即$ff$的n阶导数等于$f$的n阶导数，直到无穷，我们能说$ff(x)$与 $f(x)$相同吗？似乎我们没有拒绝的理由。考虑一下$e^x$函数，记住，$e^x$的导数就是自己本身。

首先，注意到，在$x = 0$的情况下，无论多少次求导，$e^x$都等于1！

然后，在$x = 0$的情况下，对$f(x)$不断求导得到的是：

$a_1$，$1*2*a_2$， $3!*a_3$， ......，$n!*a_n$ (序列1）

现在要使得这一个数列的每一项都等于1，也就是说，要求：

$a_0=1, a_1 =1, a_2 = 1/2, a_3 = 1/3!, ......，a_n = 1/n!$

把它们代入公式2，刚好得到公式1。注意，$a_0=1$是因为要求在$x=0$这个点上，$ff(x) = f(x)$。

泰勒展式与欧拉公式

到底$e^x$是那种情况下找到的？我猜是第一种比较直接的方式，后面是一种发现。而且后面这种发现只是欧拉公式的一个阶段性产品。当然，都是猜。因为，$e^x$是欧拉等人熟知的，所以，有意思的是能否找到其他函数能表示成$x^i$的累加。比如，$Sin$、$Cos$这样的函数跟$x^i$（多项式）有什么关系吗？

同样的方法，我们知道如何对$Sin$函数求导,得到它在$x=0$的数值，就得到这样的序列：

0， 1， 0， -1， 0， 1， 0， -1，...... （序列2）

因为要求序列1与序列2相等，所以，

$a_0 = 0$, $a_1 = 1$, $a_2 = 0$, $a_3 = -1/3!$, ......

很高兴地发现，偶数项全归0了，而奇数项一正一负地摇摆，其实这就得到了大家都很怕的那个所谓的"太乐"展式：

$Sin(x) = x - 1/3! x^3 + 1/5! x^5 + ......$ （公式3）

同样，$Cos$也可以求得：

$Cos(x) = 1 - 1/2!x^2 + 1/4! x^4 - ......$ （公式4）

讲到这里，故事的高潮才逐步出现，以上内容其实都还比较简单。只有在$i$这个神奇的数字引入之后，整个世界才开始奔放起来了。所谓$i$，无非是说 $i^2 = -1$。(很崇拜提出这个$i$的人！)如果只是把i理解为一个数，实在没有道理不能把它带入到$e^x$这个函数当中，是吗？现在，我们考虑$e^{ix}$！

$e^x$的展开式我们是知道的，难道不能照葫芦画瓢展开$e^{ix}$吗？

$e^{ix} = 1 + ix +1/2(ix)^2 +1/3!(ix)^3 + ......$

其实我没干太多事情，只是把$ix$带入到公式1当中，然后我们再把$i^n$展开，因为我们知道$i^2 = -1$，然后我们得到一系列数字，有正有负。关键还有一点，有些$i$没有消掉，我们把不带$i$的归一类，带$i$（只能有一个$i$哟！）的归一类看看：

$e^{ix} = (1 - 1/2!x^2 + 1/4!x^4 - ...) + i ( x - 1/3!x^3 + 1/5!x^5 - ...)$ （公式5）

把公式5与公式3和公式4对比一下，可知：

$e^{ix}= Cos(x) + iSin(x)$

这就是著名的欧拉公式！Perfect～

能在张牙舞爪的数学公式与定理中发现直观，体会发现的乐趣，才能触摸数学入门的门道。

本文的内容归功于MIT的“微积分重点”公开课，本人做了一些简单的复述工作。建议大家看看这个公开课视频。