指数函数与欧拉公式

教学 高等数学

指数函数是指$e^x$。到底这个函数是怎么想出来的？为什么$e^x$会等于那么一大堆无穷的级数和？是偶然还是必然？是发明还是发现？

以下内容你只需要懂一阶导数，也就是说即使高数挂科者也可轻松阅读。

在没有$e^x$这个函数之前，也许，数学家是想找一个函数，它的一阶导数刚好是函数本身。如果把一阶导数看为函数所表示曲线的加速度，那么就是说这条曲线的加速度函数就是自己本身。我尚不知道数学家们出于何种动机非要找这样的函数。我猜，欧拉等人很早就发现了这样的函数，比如：

$f(x) = 1 + x + 1/2* x^2 + 1/3! * x^3 + ... + 1/n!*x^n + ...$ (公式1）

稍微做一下求导，就发现，$f'(x) = f(x)$。对$f(x)$求导，$1$没了，$x$变成$1$, $1/2*x^2$ 变成$x$...... 所以，这个$f(x)$就是我们想要的那个函数，给一个名字，就叫$e^x$。并且我们知道$(e^x)' = e^x$。

似乎之前的表达是说，我们想要一个函数，刚好，很容易我们就发现了这个函数，happy ending。如果数学家们满足于这个状况，也许就不会出现下面这些内容了。

如果我们不仅仅满足于找到这么样一个函数，通过这个公式进一步问：是不是所有的曲线（函数）都可以表示成$x^k$的累加($k \in [0..n]$)？即，是否所有的函数都会有这样的形状？
$f(x) = a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + a_3*x^3 + ... + a_n*x^n + ...$（公式2）

如果是，我们如何求出这些系数，$a_i$？注意，此时我们可能知道这个函数的另一种表达方式（不是公式2那种），记为$ff(x)$。

现在我需要一点高阶导数的内容，其实就是一阶导数不断做下去。如果，在$x=0$这个点上，$ff(x) = f(x)$，而且$ff'(x) = f'(x)$, $ff''(x) = f''(x)$， ...，即$ff$的$n$阶导数等于$f$的$n$阶导数，直到无穷，我们能说$ff(x)$与$f(x)$相同吗？似乎我们没有拒绝的理由。考虑一下$e^x$函数，记住，$e^x$的导数就是自己本身。

在$x = 0$的情况下，无论多少次求导，$e^x$都等于$1$！

在$x = 0$的情况下，对$f(x)$（公式2）不断求导得到的是：

$a_1, 2*a_2, 3!*a_3, ......，n!*a_n$ (序列1）

现在要使得这一个数列都等于$1$(因为此时$e^x$都等于$1$)，且当$x=0$时，$ff(x)=f(x)$，也就是说：
$a_0=1, a_1 =1, a_2 = 1/2, a_3 = 1/3!, ......，a_n = 1/n!$

把它们代入公式2，刚好得到公式1。

到底$e^x$是那种情况下找到的？我猜是第一种比较直接的方式，后面是一种发现。而且后面这种发现只是欧拉公式的一个阶段性产品。当然，都是猜。因为，$e^x$是欧拉等人熟知的，所以，有意思的是能否找到其他函数能表示成$x^k$的累加。比如，$sin$、$cos$这样的函数跟$x^k$有什么关系吗？

同样的方法，我们知道如何对$sin$函数求导，求得它在$x=0$的数值，就得到这样的序列：
$0 , 1 , 0 , -1 , 0 , 1 , 0 , -1$ （序列2）
要求序列1与序列2相等，所以，
$a_0 = 0, a_1 = 1, a_2 = 0, a_3 = -1/3!, ......$

很高兴地发现，偶数项全归$0$了，而奇数项一正一负地摇摆，其实就得到了大家都很怕的那个所谓的"太乐"展式：
$sin(x) = x - 1/3! x^3 + 1/5! x^5 + .......$（公式3）

同理，可以同样推理求得$cos$函数的表达为：
$cos(x) = 1 - 1/2!x^2 + 1/4! x^4 - .......$ （公式4）

讲到这里，故事的高潮才逐步出现，以上内容其实都还比较简单。只是在$i$这个神奇的数字引入之后，整个世界就开始奔放起来了。所谓$i$，无非是说 $i^2 = -1$。很崇拜提出这个$i$的人！我们如果只是把$i$理解为一个数，实在没有道理不能把它带入到$e^x$这个函数当中，是吗？现在，我们考虑$e^{ix}$！

$e^x$的展开式我们是知道的，$e^{ix}$不能照葫芦画瓢吗？
$e^{ix} = 1 + ix +1/2(ix)^2 +1/3!(ix)^3 + ......$

其实我没干太多事情，只是把$ix$代入到公式1当中，然后我们再把$i^n$展开，因为我们知道$i^2 = -1$，然后我们得到一系列数字，有正有负。

关键还有一点，有些$i$没有消掉，我们把不带$i$的归一类，带$i$（只能有一个i哟！）的归一类看看：
$e^{ix} = (1 - 1/2!x^2 + 1/4!x^4 + ...) + i ( x - 1/3!x^3 + 1/5!x^5 - ...)$（公式5）
刚好它等于： $cos(x) + isin(x)$，与公式3和公式4对比一下即得。

这就是著名的欧拉公式！Perfect！

本文的内容归功于MIT的“微积分重点”公开课，我只是简单复述而已。

2022.07.15

P.S. 我花这些时间写这个主要是为了说明，这里写的比小强同学说的“欧拉公式$e^{ix} = cos(x) + i sin(x)$可以这样解释： 把它看成沿时间轴（设$x$描述时间）在复平面中做圆周运动呈螺旋向上的图形，投影在时间轴与实轴构成的平面上的图像为余弦波，投影在时间轴与虚轴构成的平面上的图像为正弦波。”要有趣很多。他只写了几行字，大家都看不懂，我写这么多，大家都懂了，相信还能背下来。哈哈，......开心！

P.P.S 这是好多年前写的博客（2014年QQ空间的也许都不是第一个版本），2022年再次编辑发出，其实娱乐的了我自己。也希望大家喜欢。