为什么这个证明是错误的？

线性代数

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Trace是线性代数中一个重要概念。A是矩阵，$Trace(A)= \sum_i a_{ii}$，即矩阵对角线上元素的相加。Trace有一个奇妙的属性就是$Trace(A)= \sum_i \lambda_i$，其中 $\lambda_i$ 是矩阵A的特征值。如何证明？有一个很简洁的证明如下，可惜这个证明不对。大家能看出为什么吗？

$$Trace(A) = Trace(PDP^{-1} ) = Trace(DPP^{-1} ) = Trace(D) = \sum_i \lambda_i$$

其中$PDP^{-1}$ 就是对A的对角化分解，$D$是对角矩阵，其中元素就是特征值。第二个等号使用了Trace的一个性质：$Trace(AB ) = Trace(BA)$。

蛮酷的，可惜，尽管酷，却是一个错误。

另一个证明

如果你们愿意，也许可以验证一下这个证明。

对任意矩阵$A$存在非奇异矩阵$P$使得$PAP^{−1}=J$，其中$J$是Joardan正则型( Jordan canonical form)。应用$tr(ABC)=tr(CAB)=tr(BCA)$得到$tr(A)=tr(P^{−1}JP)=tr(PP^{−1}J)=tr(J)=\sum_i \lambda_i$，其中$\lambda_i$是$A$的特征值。

Jordan型(Jordan form)是上三角矩阵，因此它的特征值在对角线，所以，它的trace等于特征值之和。