4.2 矩阵的正交(酉)三角分解

高等工程数学 讲义 2021

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4.2.1 正交三角分解

若 $n$ 阶复方阵 $\boldsymbol{A}$ 可分解为

$$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{R}$$

其中 $\boldsymbol{Q}$ 是酉矩阵， $\boldsymbol{R}$ 是上三角阵，则称 $\boldsymbol{A}$ 可 QR分解（或 酉三角分解）.

• 当 $\boldsymbol{A}$ 是实矩阵时， $\boldsymbol{Q}$ 为正交矩阵，此时称 $\boldsymbol{A}$ 可正交三角分解.

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QR 分解的应用：解线性方程组

• 考虑线性方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$
  
  • 若 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{R}$ ，则以上方程可分解为非齐次线性方程组 $\boldsymbol{Q}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{b}$, $\boldsymbol{R}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$
  • 首先由 $\boldsymbol{Q}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{b}$ ，解得 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{Q}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{b}$
  • 再由 $\boldsymbol{R}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$，即 $\left[\begin{array}{cccc}{r_{11}} & {r_{12}} & {\cdots} & {r_{1 n}} \\ {} & {r_{22}} & {\ddots} & {r_{2 n}} \\ {} & {} & {\ddots} & {\vdots} \\ {} & {} & {} & {r_{n n}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {\vdots} \\ {x_{n}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{y_{1}} \\ {y_{2}} \\ {\vdots} \\ {y_{n}}\end{array}\right]$ 依次解出 $x_{n}, x_{n-1}, \cdots , x_{1}$

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QR 分解的其他应用

• 求矩阵特征值（QR算法）[1]
  
  • $\boldsymbol{A}_1=\boldsymbol{A}$
  • do
    
    • 对 $\boldsymbol{A}_k$ 进行 QR 分解： $\boldsymbol{A}_{k}={\boldsymbol{Q}}_{k} {\boldsymbol{R}}_{k}$
    • 令 $\boldsymbol{A}_{k+1}=\boldsymbol{R}_k\boldsymbol{Q}_k$
    • $k++$
  • while not $\boldsymbol{A}_{k+1}$ 近似为上三角阵
  • $\boldsymbol{A}_{k+1}$ 的对角元即为 $\boldsymbol{A}$ 的全部特征值(的近似值)
• 广义逆矩阵的计算
• 求解最小二乘问题

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求 QR 分解的方法

1. 满秩矩阵的 QR 分解
   
   • Schmidt 方法
2. 非满秩矩阵的 QR 分解
   
   • Householder 方法
   • Givens 方法

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4.2.2 QR 分解的Schmidt方法

定理 若阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 是可逆的，则 $\boldsymbol{A}$ 有唯一的 QR 分解

$$\boldsymbol{A} = \boldsymbol{Q}\boldsymbol{R}$$

其中 $\boldsymbol{Q}$ 是酉矩阵， $\boldsymbol{R}$ 是对角元为正数的上三角矩阵.

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证明思路

• 设 $\boldsymbol{A}=[\boldsymbol{\alpha}_1\;\boldsymbol{\alpha}_2\;\ldots\;\boldsymbol{\alpha}_n]$，因为 $\boldsymbol{A}$ 可逆，故 $\{\boldsymbol{\alpha}_1,\;\boldsymbol{\alpha}_2,\;\ldots\;,\boldsymbol{\alpha}_n\}$ 线性无关.
• 使用Schmidt正交化方法，可将 $\{\boldsymbol{\alpha}_1,\;\boldsymbol{\alpha}_2,\;\ldots\;,\boldsymbol{\alpha}_n\}$ 化为一组标准正交基 $\{\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2,\ldots,\boldsymbol{\varepsilon}_n\}$.
• 即：对 $k=1,2,\ldots,n$，令：
  
  • $\boldsymbol{\beta}_k=\boldsymbol{\alpha}_k-\sum_{i=1}^{k-1}\langle\boldsymbol{\alpha}_i,\boldsymbol{\varepsilon}_k\rangle$;
  • $\boldsymbol{\varepsilon}_k=\frac{\boldsymbol{\beta}_k}{|\boldsymbol{\beta}_k|}$.

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• 过渡矩阵 $\boldsymbol{R}=\left[\begin{array}{cccc}\left|\boldsymbol{\beta}_{1}\right| & \langle\boldsymbol{\alpha}_{2}, {\boldsymbol{\varepsilon}_{1}\rangle} & \langle\boldsymbol{\alpha}_{3}, {\boldsymbol{\varepsilon}_{1}\rangle} & \cdots & \langle\boldsymbol{\alpha}_{n}, \boldsymbol{\varepsilon}_{1}\rangle \\ &{\left|\boldsymbol{\beta}_{2}\right|} & \langle\boldsymbol{\alpha}_{3}, {\boldsymbol{\varepsilon}_{2}\rangle} & {\cdots} & {\langle\boldsymbol{\alpha}_{n}, \boldsymbol{\varepsilon}_{2}\rangle} \\ && |\boldsymbol{\beta}_3|& \cdots & \langle\boldsymbol{\alpha}_{n}, {\boldsymbol{\varepsilon}_{3}\rangle}\\ &{} & {} & {\ddots}& \vdots\\ &{} & {} & & {\left|\boldsymbol{\beta}_{n}\right|}\end{array}\right]$
• $\boldsymbol{R}$ 为上三角证，且对角元均为正数.
• 记 $\boldsymbol{Q}=[\boldsymbol{\varepsilon}_1\;\boldsymbol{\varepsilon}_2\;\ldots\;\boldsymbol{\varepsilon}_n]$，则 $\boldsymbol{Q}$ 是正交(酉)矩阵.
• 不难看出，$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{R}$ 即为 $\boldsymbol{A}$ 的 QR 分解.

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证明唯一性

• 设 $\boldsymbol{A}$ 有两个 QR 分解 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{R}=\boldsymbol{Q}_1\boldsymbol{R}_1$.
• 于是 $\boldsymbol{Q}_{1}^{-1} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{R}_{1} \boldsymbol{R}^{-1}$.
• 因为 $\boldsymbol{Q}_{1}^{-1} \boldsymbol{Q}$ 仍然是酉矩阵，
  
  • 故 $\boldsymbol{R}_{1} \boldsymbol{R}^{-1}$ 既是上三角阵，又是酉矩阵.
  • 即：$\left(\boldsymbol{R}_{1} \boldsymbol{R}^{-1}\right)^{\mathrm{H}}=\left(\boldsymbol{R}_{1} \boldsymbol{R}^{-1}\right)^{-1}$.
• 上式说明 $\boldsymbol{R}_{1} \boldsymbol{R}^{-1}$ 既是上三角阵，又是下三角阵，所以为对角阵，且对角元均为正数.
• 再由 $\boldsymbol{R}_{1} \boldsymbol{R}^{-1}$ 是酉矩阵，故 $\boldsymbol{R}_{1} \boldsymbol{R}^{-1}=\boldsymbol{I}$.
• 从而 $\boldsymbol{R}_{1}=\boldsymbol{R}, \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{Q}_{1}$.

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注：若不要求上三角阵 $\boldsymbol{R}$ 的主对角元全为正数，则 $\boldsymbol{A}$ 的 QR 分解不唯一！

• 事实上，设 $\boldsymbol{A}$ 的 QR 分解为： $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{R}$.
• 取 $D$ 为对角酉矩阵（对角元的模为 $1$）,
  
  • 令 ${\boldsymbol{Q}}_{1}={\boldsymbol{Q} \boldsymbol{D}}^{\mathrm{H}}, \quad {\boldsymbol{R}}_{1}=\boldsymbol{D} {\boldsymbol{R}}$.
• 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q}_1\boldsymbol{R}_1$ 也是 $\boldsymbol{A}$ 的 QR 分解.
• 例： $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{c}{1} \\ & {1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}{1} \\ {} & {1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}{1} & {} \\ {} & {1}\end{array}\right] = \boldsymbol{Q} \boldsymbol{R}$.
  
  • $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{c}{1} \\ & {1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{-1} & {} \\ {} & {1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{r}{-1} \\ & {1}\end{array}\right] = \boldsymbol{Q}_{1} \boldsymbol{R}_{1}$

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例 求 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}{0} & {4} & {1} \\ {1} & {1} & {1} \\ {0} & {3} & {2}\end{array}\right]$ 的 QR 分解.

• 提示：记 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left[\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left[\begin{array}{l}{4} \\ {1} \\ {3}\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left[\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {2}\end{array}\right]$.
• 令 $\boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left[\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right]$，$\boldsymbol{\varepsilon}_{1}=\frac{\boldsymbol{\beta}_{1}}{\left\|\boldsymbol{\beta}_{1}\right\|}=\left[\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right]$.

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• $\boldsymbol{\beta}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{2}-\langle\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\varepsilon}_{1}\rangle\boldsymbol{\varepsilon}_{1}=\left[\begin{array}{l}{4} \\ {0} \\ {3}\end{array}\right]$.
  
  • $\boldsymbol{\varepsilon}_{2}=\frac{\boldsymbol{\beta}_{2}}{\left\|\boldsymbol{\beta}_{2}\right\|}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{l}{4} \\ {0} \\ {3}\end{array}\right]$.
• $\boldsymbol{\beta}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{3}-\langle\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\varepsilon}_{2}\rangle\boldsymbol{\varepsilon}_{2}-\langle\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\varepsilon}_{1}\rangle\boldsymbol{\varepsilon}_{1}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{c}{-3} \\ {0} \\ {4}\end{array}\right]$.
  
  • $\boldsymbol{\varepsilon}_{3}=\frac{\boldsymbol{\beta}_{3}}{\left\|\boldsymbol{\beta}_{3}\right\|}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{c}{-3} \\ {0} \\ {4}\end{array}\right]$.

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• $\boldsymbol{A}=[\boldsymbol{\varepsilon}_1\;\boldsymbol{\varepsilon}_2\;\boldsymbol{\varepsilon}_3]\left[\begin{array}{c}\left\|\boldsymbol{\beta}_{1}\right\| & \langle\boldsymbol{\alpha}_{2}, {\boldsymbol{\varepsilon}_{1}\rangle} & {\langle\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\varepsilon}_{1}\rangle} \\ & {\left\|\boldsymbol{\beta}_{2}\right\|} & {\langle\boldsymbol{\alpha}_{3},} {\boldsymbol{\varepsilon}_{2}\rangle} \\ & & {\left\|\boldsymbol{\beta}_{3}\right\|}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{0} & {4 / 5} & {-3 / 5} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {3 / 5} & {4 / 5}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{1} & {1} & {1} \\ {} & {5} & {2} \\ {} & {} & {1}\end{array}\right]$.

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注：任何列满秩的矩阵都可能存在 QR 分解.

• 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n\times r$ 阶列满秩矩阵，则存在 $n$ 阶酉矩阵$\boldsymbol{Q}$ 和 $n\times r$ 阶“上三角”矩阵 $\boldsymbol{R}=\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{R}_r \\ \boldsymbol{O}\end{array}\right]$，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{R}$.
  
  • 其中 $\boldsymbol{R}_r$ 为 $r$ 阶上三角阵,
  • $\boldsymbol{O}$ 为 $(n-r)\times r$ 阶零矩阵.

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问： 用 Schmidt 方法求 QR 分解需要方阵 $\boldsymbol{A}$ 是可逆的，不可逆方阵是否就不存在 QR 分解呢？

• 答：不可逆方阵也可能存在 QR 分解！
• 例如，$\left[\begin{array}{rrr}{0} & {0} & {7} \\ {0} & {0} & {-1} \\ {2} & {3} & {7}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{0} & {4 / 5} & {3 / 5} \\ {0} & {3 / 5} & {-4 / 5} \\ {1} & {0} & {0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{2} & {3} & {7} \\ & {0} & {5} \\ & & {5}\end{array}\right]$

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4.2.3 QR 分解的Householder方法

定理 设 $\boldsymbol{e} \in \mathbb{C}^{n}$ 是一给定的单位向量，则对任意的向量 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^{n}$ ，存在 $n$ 阶 Householder 矩阵 $\boldsymbol{H}$ ，使得

$$\boldsymbol{H}\boldsymbol{x}=a\boldsymbol{e}$$

其中 $a\in\mathbb{C}$ ，$|a|=\|\boldsymbol{x}\|_{2}$ 且 ${a} {\boldsymbol{x}}^{\mathrm{H}}{\boldsymbol{e}}\in\mathbb{R}$.

• 即：Householder变换（镜像变换）可以将任意一个向量正交变换到指定方向.

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证明思路：

• 若 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ ，令 $a=0$ ，则对任意 Householder 矩阵 $\boldsymbol{H}$ ，都有 $H\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}=0\boldsymbol{e}$.
• 考虑 $\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{0}$, 不妨设 $\boldsymbol{x}$ 与 $\boldsymbol{e}$ 线性无关（否则取 $\boldsymbol{H}=\boldsymbol{I}$）.
• 取 $a=\frac{\overline{\langle\boldsymbol{e},\boldsymbol{x}\rangle}}{|\langle\boldsymbol{e},\boldsymbol{x}\rangle|}\|\boldsymbol{x}\|_{2}\in\mathbb{C}$ ，可以验证:
  
  • 1. $|a|=\|\boldsymbol{x}\|_{2}$
  • 1. $a\boldsymbol{x}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{e}=a\langle\boldsymbol{e},\boldsymbol{x}\rangle=\frac{\overline{\langle\boldsymbol{e},\boldsymbol{x}\rangle}}{|\langle\boldsymbol{e},\boldsymbol{x}\rangle|}\|\boldsymbol{x}\|_{2}\langle\boldsymbol{e},\boldsymbol{x}\rangle$
       
       • $=|\langle\boldsymbol{e},\boldsymbol{x}\rangle|\|\boldsymbol{x}\|_{2}\in\mathbb{R}$

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• 令 $\boldsymbol{\omega}=\frac{\boldsymbol{x}-a\boldsymbol{e}}{\|\boldsymbol{x}-a \boldsymbol{e}\|_{2}}$，$\boldsymbol{H}=\boldsymbol{I}-{2}\boldsymbol{\omega}{\boldsymbol{\omega}}^{\mathrm{H}}$.
• $\boldsymbol{H}\boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{I}-{2} {\boldsymbol{\omega}} {\boldsymbol{\omega}}^{\mathrm{H}}\right)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}-2 \boldsymbol{\omega} \boldsymbol{\omega}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}-2 \boldsymbol{\omega}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{x}\boldsymbol{\omega}$
  
  • $=\boldsymbol{x}-2 \frac{(\boldsymbol{x}-a \boldsymbol{e})^{\mathrm{H}}}{\|\boldsymbol{x}-a \boldsymbol{e}\|_{2}} \boldsymbol{x}\frac{(\boldsymbol{x}-a \boldsymbol{e})}{\|\boldsymbol{x}-a \boldsymbol{e}\|_{2}}=\boldsymbol{x}- \frac{2(\boldsymbol{x}-a \boldsymbol{e})^{\mathrm{H}} \boldsymbol{x}}{\|\boldsymbol{x}-a \boldsymbol{e}\|_{2}^{2}}(\boldsymbol{x}-a \boldsymbol{e})$.

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以下证明 $\frac{2(\boldsymbol{x}-a \boldsymbol{e})^{\mathrm{H}} \boldsymbol{x}}{\|\boldsymbol{x}-a \boldsymbol{e}\|_{2}^{2}}=1$.

• 由 $\langle a\boldsymbol{e},\boldsymbol{x}\rangle=a\boldsymbol{x}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{e}\in\mathbb{R}$, 故 $\langle \boldsymbol{x},a\boldsymbol{e}\rangle=\overline{\langle a\boldsymbol{e},\boldsymbol{x}\rangle}=\langle a\boldsymbol{e},\boldsymbol{x}\rangle$.
• $\|\boldsymbol{x}-a \boldsymbol{e}\|_{2}^{2}=\langle\boldsymbol{x}-a\boldsymbol{e},\boldsymbol{x}-a\boldsymbol{e}\rangle$
  
  • $=\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle-\langle\boldsymbol{x},a\boldsymbol{e}\rangle-\langle a\boldsymbol{e},\boldsymbol{x}\rangle+\langle a\boldsymbol{e},a\boldsymbol{e}\rangle$
  • $=\|\boldsymbol{x}\|_2^2-2\langle \boldsymbol{x},a\boldsymbol{e}\rangle+|a|^2\langle \boldsymbol{e},\boldsymbol{e}\rangle$
  • $=2(\|\boldsymbol{x}\|_2^2-\langle \boldsymbol{x},a\boldsymbol{e}\rangle)=2(\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle-\langle \boldsymbol{x},a\boldsymbol{e}\rangle)$
  • $=2\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}-a\boldsymbol{e}\rangle=2(\boldsymbol{x}-a\boldsymbol{e})^{\mathrm{H}}\boldsymbol{x}$.
• 综上 $\boldsymbol{H} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}-(\boldsymbol{x}-a\boldsymbol{e})=a\boldsymbol{e}$.

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例 给定单位向量 $\boldsymbol{e}=[1\;0\;0\;0]^{\mathrm{T}}$ ，对向量

$$\boldsymbol{x}_1=[0\;3\;0\;4]^{\mathrm{T}},\quad \boldsymbol{x}_2=[2\mathrm{i}\;\;0\;\;-\mathrm{i}\;\;2]^{\mathrm{T}}$$

分别求 Householder 矩阵 $\boldsymbol{H}_i$ ，使得

$$\boldsymbol{H}_i\boldsymbol{x}_i=a\boldsymbol{e}\quad(i=1,2) .$$

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提示：

• 对 $\boldsymbol{x}_1=[0\;3\;0\;4]^{\mathrm{T}}$，令 $a_1=\|\boldsymbol{x}_1\|_{2}=5$.
• $\boldsymbol{\omega}_1=\frac{\boldsymbol{x}_1-a_1 \boldsymbol{e}}{\|\boldsymbol{x}_1-a_1 \boldsymbol{e}\|_{2}}=\frac{1}{5 \sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}{-5} \\ {3} \\ {0} \\ {4}\end{array}\right]$.
• $\boldsymbol{H}_1=\boldsymbol{I}-2 \boldsymbol{\omega}_1 \boldsymbol{\omega}_1^{\mathrm{H}}=\frac{1}{25}\left[\begin{array}{cccc}{0} & {15} & {0} & {20} \\ {15} & {16} & {0} & {-12} \\ {0} & {0} & {25} & {0} \\ {20} & {-12} & {0} & {9}\end{array}\right]$.
• 于是 $\boldsymbol{H}_1 \boldsymbol{x}_1=5 \boldsymbol{e}=[5\;0\;0\;0]^{\mathrm{T}}$.

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• 对 $\boldsymbol{x}_2=[2\mathrm{i}\;\;0\;\;-\mathrm{i}\;\;2]^{\mathrm{T}}$，$\|\boldsymbol{x}_2\|_{2}=3$ ， $\boldsymbol{x}_2^{\mathrm{H}} \boldsymbol{e}=-2\mathrm{i}$.
• 令 $a=3\mathrm{i}$.
• $\boldsymbol{\omega}_2=\frac{\boldsymbol{x}_2-a_2 \boldsymbol{e}}{\|\boldsymbol{x}_2-a_2 \boldsymbol{e}\|_{2}}=\frac{1}{\sqrt{6}}\left[\begin{array}{c}{-\mathrm{i}} \\ {0} \\ {-\mathrm{i}} \\ {2}\end{array}\right]$.
• $\boldsymbol{\omega}_2 \boldsymbol{\omega}_2^{\mathrm{H}}=\frac{1}{\sqrt{6}}\left[\begin{array}{c}{-\mathrm{i}} \\ {0} \\ {-\mathrm{i}} \\ {2}\end{array}\right] \frac{1}{\sqrt{6}}\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{i}} & {0} & {\mathrm{i}} & {2}\end{array}\right]=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{cccc}{1} & {0} & {1} & {-2\mathrm{i}} \\ {0} & {0} & {0} & {0} \\ {1} & {0} & {1} & {-2\mathrm{i}} \\ {2\mathrm{i}} & {0} & {2\mathrm{i}} & {4}\end{array}\right]$

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• 令 $\boldsymbol{H}_2=\boldsymbol{I}-2 \boldsymbol{\omega}_2 \boldsymbol{\omega}_2^{\mathrm{H}}=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{rrrr}{2} & {0} & {-1} & {2\mathrm{i}} \\ {0} & {3} & {0} & {0} \\ {-1} & {0} & {2} & {2\mathrm{i}} \\ {-2\mathrm{i}} & {0} & {-2\mathrm{i}} & {-1}\end{array}\right]$.
• 则 $\boldsymbol{H}_2 \boldsymbol{x}_2=3\mathrm{i}\boldsymbol{e}=[3\mathrm{i}\;0\;0\;0]^{\mathrm{T}}$.

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定理 任一复方阵 $\boldsymbol{A}$ ，均存在 QR 分解，即存在酉矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ，及复上三角矩阵 $\boldsymbol{R}$ ，使得

$$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{R}.$$

• 特别地，若 $\boldsymbol{A}$ 是实方阵，则存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ，及实上三角矩阵 $\boldsymbol{R}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{R}$ .

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证明思路：

• 设 $\boldsymbol{A}=[\boldsymbol{x}_1\;\;\boldsymbol{x}_2\;...\;\boldsymbol{x}_n]$ ， $\boldsymbol{x}_{i}\in\mathbb{C}^n,\;(i=1,2, \cdots, n)$.
• 对 $\boldsymbol{x}_1$，存在 $n$ 阶 Householder 矩阵 $\boldsymbol{H}_1$ 和 $a_1\in\mathbb{C}$ ，使得 $\boldsymbol{H}_1\boldsymbol{x}_1=a_1\boldsymbol{e}_1$, 其中 $\boldsymbol{e}_{1}=[1\;\;0\;...\;0]^{\mathrm{T}}\in\mathbb{C}^n$.
• $\boldsymbol{H}_{1} \boldsymbol{A}=[\boldsymbol{H}_1\boldsymbol{x}_1\;\;\boldsymbol{H}_1\boldsymbol{x}_2\;...\;\boldsymbol{H}_1\boldsymbol{x}_n]$
  
  • $=\left[\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{12}^{(1)}} & {\cdots} & {a_{1 n}^{(1)}} \\ {0} & {a_{22}^{(1)}} & {\cdots} & {a_{2 n}^{(1)}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {0} & {a_{n 2}^{(1)}} & {\cdots} & {a_{n n}^{(1)}}\end{array}\right] \triangleq\left[\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{12}^{(1)}} & {\cdots} & {a_{1 n}^{(1)}} \\ {0} & {} & {} & {} \\ {\vdots} & {} & {\boldsymbol{A}_{1}} & {} \\ {0} & {} & {} & {}\end{array}\right]$

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• 记 $\boldsymbol{A}_{1}=\left[\boldsymbol{x}_1^{(1)}\;\;\boldsymbol{x}_2^{(1)}\;...\;\boldsymbol{x}_{n-1}^{(1)}\right]$.
• 对 $\boldsymbol{x}_{1}^{(1)}$ ，存在 $n-1$ 阶 Householder 矩阵 $\boldsymbol{H}_{21}$ 和 $a_2\in\mathbb{C}$，使得 $\boldsymbol{H}_{21}\boldsymbol{x}_{1}^{(1)}=a_{2}\boldsymbol{e}_2$, 其中 $\boldsymbol{e}_2=[1\;0\;\ldots\;0]^{\mathrm{T}}\in\mathbb{C}^{n-1}$.
• 令 $\boldsymbol{H}_{2}=\left[\begin{array}{cc}{1} & \\ & {\boldsymbol{H}_{21}}\end{array}\right]$, 容易验证：$\boldsymbol{H}_2$ 是 $n$ 阶 Householder 矩阵.
• 进而 $\boldsymbol{H}_2\boldsymbol{H}_1$ 是 $n$ 阶酉矩阵.

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• $\boldsymbol{H}_{2} \boldsymbol{H}_{1} \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{12}^{(1)}} & {\cdots} & {a_{1 n}^{(1)}} \\ {0} & {} & {} & {} \\ {\vdots} & {} & {\boldsymbol{H}_{21} \boldsymbol{A}_{1}} & {} \\ {0} & {} & {} & {} & {}\end{array}\right]\triangleq\left[\begin{array}{ccccc}{a_{1}} & {a_{12}^{(1)}} & {a_{13}^{(1)}} & {\cdots} & {a_{1 n}^{(1)}} \\ {0} & {a_{2}} & {a_{23}^{(2)}} & {\cdots} & {a_{2 n}^{(2)}} \\ {0} & {0} & {} & {} & {} \\ {\vdots} & {\vdots} & {} & {\boldsymbol{A}_{2}} & {} \\ {0} & {0} & {} & {} & \\ {0} & {0} & {} & {} & {}\end{array}\right]$

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• 重复以上过程，得到一列 $n$ 阶 Householder 矩阵 $\boldsymbol{H}_1,\boldsymbol{H}_2,\ldots,\boldsymbol{H}_{n-1}$，使得
  
  • $\boldsymbol{H}_{n-1} \cdots \boldsymbol{H}_{1} \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccccc}{a_{1}} & {a_{12}^{(1)}} & {a_{13}^{(1)}} & {\cdots} & {a_{1 n}^{(1)}} \\ {0} & {a_{2}} & {a_{23}^{(2)}} & {\cdots} & {a_{2 n}^{(2)}} \\ {0} & {0} & {a_{3}} & {\ldots} & {a_{3n}^{(3)}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {0} & {0} & {0} & {\cdots} & a_n\end{array}\right] \triangleq \boldsymbol{R}$
• 令 $\boldsymbol{Q}=(\boldsymbol{H}_{n-1}\ldots \boldsymbol{H}_2\boldsymbol{H}_1)^{\mathrm{H}}$，显然 $\boldsymbol{Q}$ 是酉矩阵.
• 由此即知 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{R}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 QR 分解.

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例 求 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}{0} & {4} & {1} \\ {1} & {1} & {1} \\ {0} & {3} & {2}\end{array}\right]$ 的 QR 分解.

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提示

• 记 $\boldsymbol{x}_{1}=\left[\begin{array}{lll}{0} & {1} & {0}\end{array}\right]^{\mathrm{T}}$,
  
  • $\left\|\boldsymbol{x}_{1}\right\|=1$ ，取 $\boldsymbol{e}_{1}=\left[\begin{array}{lll}{1} & {0} & {0}\end{array}\right]^{\mathrm{T}}$ ， $a_1=1$.
• 令 $\boldsymbol{\omega}_{1}=\frac{\boldsymbol{x}_{1}-a_{1} \boldsymbol{e}_{1}}{\left\|\boldsymbol{x}_{1}-a_{1} \boldsymbol{e}_{1}\right\|_{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{ccc}{-1} & {1} & {0}\end{array}\right]^{\mathrm{T}}$.
  
  • $\boldsymbol{H}_{1}=\boldsymbol{I}-2 \boldsymbol{\omega}_{1} \boldsymbol{\omega}_{1}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}{0} & {1} & {0} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right]$.
• 于是 $\boldsymbol{H}_{1} \boldsymbol{x}_{1}=\left[\begin{array}{lll}{0} & {1} & {0} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right]=a_1\boldsymbol{e}_1$.

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• $\boldsymbol{H}_{1} \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}{0} & {1} & {0} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}{0} & {4} & {1} \\ {1} & {1} & {1} \\ {0} & {3} & {2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{1} & {1} & {1} \\ {0} & {4} & {1} \\ {0} & {3} & {2}\end{array}\right]$.
• 记 $\boldsymbol{x}_{1}^{(1)}=\left[\begin{array}{l}{4} \\ {3}\end{array}\right]$.
  
  • $\left\|\boldsymbol{x}_{1}^{(1)}\right\|_{2}=5$ ，取 $\boldsymbol{e}_{2}=[1 \quad 0]^{\mathrm{T}}$，$a_2=5$.
• 令 $\boldsymbol{\omega}_{2}=\frac{\boldsymbol{x}_{1}^{(1)}-a_{2} \boldsymbol{e}_{2}}{\left\|\boldsymbol{x}_{1}^{(1)}-a_{2} \boldsymbol{e}_{2}\right\|_{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\left[\begin{array}{c}{-1} \\ {3}\end{array}\right]$.
  
  • $\boldsymbol{H}_{21}=\boldsymbol{I}-2 \boldsymbol{\omega}_{2} \boldsymbol{\omega}_{2}^{\mathrm{T}}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}{4} & {3} \\ {3} & {-4}\end{array}\right]$.

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• $\boldsymbol{H}_{21} \boldsymbol{A}_{1}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}{4} & {3} \\ {3} & {-4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}{4} & {1} \\ {3} & {2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{5} & {2} \\ {0} & {-1}\end{array}\right]$.
• 令 $\boldsymbol{H}_{2}=\left[\begin{array}{cc}{1} & \\ & {\boldsymbol{H}_{21}}\end{array}\right]=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{ccc}{5} & {0} & {0} \\ {0} & {4} & {3} \\ {0} & {3} & {-4}\end{array}\right]$.
• 令 $\boldsymbol{H}=\boldsymbol{H}_{2} \boldsymbol{H}_{1}= \frac{1}{5}\left[\begin{array}{ccc}{5} & {0} & {0} \\ {0} & {4} & {3} \\ {0} & {3} & {-4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}{0} & {1} & {0} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right]=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{ccc}{0} & {5} & {3} \\ {4} & {0} & {0} \\ {3} & {0} & {-4}\end{array}\right]$.

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• 记 $\boldsymbol{R}=\boldsymbol{H}\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}{1} & {1} & {1} \\ {0} & {5} & {2} \\ {0} & {0} & {-1}\end{array}\right], \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{H}^{\mathrm{H}}$.
• 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{R}=\left[\begin{array}{ccc}{0} & {4 / 5} & {3 / 5} \\ {1} & {0} & {0} \\ 0 & {3/5} & {-4 / 5}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{1} & {1} & {1} \\ {0} & {5} & {2} \\ {0} & {0} & {-1}\end{array}\right]$.

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4.2.4 用 Givens 变换进行 QR 分解

• Givens 变换，也叫 Givens 旋转，在标准正交基下其对应的矩阵为 正交反对称矩阵.
• 一般地，Givens 变换可以视为初等旋转变换的叠加.

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$\boldsymbol{T}=\left[\begin{array}{ccccccccccc} 1&&&&&&&&&&\\ &\ddots&&&&&&&&&\\ &&1&&&&&&&&\\ &&&\bbox[lightgreen]{\cos\theta} &&&&&\bbox[lightgreen]{\sin\theta}&& \\ &&&&1&&&&&&\\ &&&&&&\ddots&&&&\\ &&&&&&&1&&\\ &&&\bbox[lightgreen]{-\sin\theta} &&&&&\bbox[lightgreen]{\cos\theta} &&\\ &&&&&&&&&1\\ &&&&&&&&&&\ddots\\ &&&&&&&&&&&1 \end{array}\right] \begin{array}{cc} \\ \\ \\ \leftarrow & \text{第}i\text{行} \\ \\ \\ \\ \leftarrow & \text{第}j\text{行} \\ \\ \\ \\ \end{array}$

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Givens 变换与 QR 分解

QR 分解可视为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 左乘一系列正交矩阵 $\boldsymbol{H}_1,\boldsymbol{H}_2,...,\boldsymbol{H}_n$ 变换为一个上三角矩阵.

• • Givens 矩阵是正交阵，故 Givens 变换的叠加仍然是正交变换.
• • 用 Givens 变换求 QR 分解，就是将原本的列向量保持长度不变旋转一个角度，使之平行于某个坐标轴，从而使得向量的某个分量化为零。
• • 一般使用 Givens 方法是逐列进行行变换的，从第一列开始，从下往上将对角线以下的元素都变为零，每次变换仅将一个元素变为零.

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例 构造 Givens 变换，将向量 $\boldsymbol{\alpha}=[a_1\;\;a_2]^{\mathrm{T}}$，$(a_1\ne 0)$ 的第二个元素变为零。

• 提示：令 $c=\frac{a_1}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}},s=\frac{a_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}}$.
• 令 $\boldsymbol{G}=\left[\begin{array}{cc}c & s\\ -s & c\end{array}\right]$.
• 则 $\boldsymbol{G}\boldsymbol{\alpha}=\left[\begin{array}{c} \sqrt{a_1^2+a_2^2} \\ 0\end{array}\right]$.

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例 利用 Givens 旋转构造正交变换，将向量 $\boldsymbol{\boldsymbol{A}}_1=[3\;\;4\;\;12]^{\mathrm{T}}$ 的后两个元素变为零。

• 提示：令 $\boldsymbol{G}_{12}=\left[\begin{array}{ccc}\bbox[lightgreen]{3/5} & \bbox[lightgreen]{4/5} & 0\\ \bbox[lightgreen]{-4/5} & \bbox[lightgreen]{3/5} & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$，则 $\boldsymbol{G}_{12}\boldsymbol{\boldsymbol{A}}_1=\left[\begin{array}{c} \bbox[lightgreen]{5} \\ \bbox[lightgreen]{0} \\ 12 \end{array}\right]$.
• 令 $\boldsymbol{G}_{13}=\left[\begin{array}{ccc}\bbox[lightgreen]{5/13} & 0 & \bbox[lightgreen]{12/13}\\ 0 & 1 & 0\\ \bbox[lightgreen]{-12/13} & 0 & \bbox[lightgreen]{5/13}\end{array}\right]$，则 $\boldsymbol{G}_{13}\boldsymbol{G}_{12}\boldsymbol{\boldsymbol{A}}_1=\left[\begin{array}{c} \bbox[lightgreen]{13} \\ 0 \\ \bbox[lightgreen]{0} \end{array}\right]$.
• 所求正交变换为 $\boldsymbol{G}_1=\boldsymbol{G}_{13}\boldsymbol{G}_{12}=\left[\begin{array}{ccc}3/13 & 4/13 & 12/13\\ -4/5 & 3/5 & 0\\ -36/65 & -48/65 & 5/13\end{array}\right]$.

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例 利用 Givens 旋转构造正交变换，将方阵

$$\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 3 & 0\\ 4 & 0 & 5\\ 12 & 4 & 12 \end{array}\right]$$

化为上三角阵.

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提示：

• 记 $\boldsymbol{A}=[\boldsymbol{\boldsymbol{A}}_1\;\;\boldsymbol{\boldsymbol{A}}_2\;\;\boldsymbol{\boldsymbol{A}}_3]$.
• 利用前一个例子的结果：$\boldsymbol{G}_1\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3/13 & 4/13 & 12/13\\ -4/5 & 3/5 & 0\\ -36/65 & -48/65 & 5/13\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\bbox[lightgreen]{3} & 3 & 0\\ \bbox[lightgreen]{4} & 0 & 5\\ \bbox[lightgreen]{12} & 4 & 12\end{array}\right]$
  
  • $=\left[\begin{array}{ccc}\bbox[lightgreen]{13} & 57/13 & 164/13\\ \bbox[lightgreen]{0} & -12/5 & 3\\ \bbox[lightgreen]{0} & -8/65 & 12/13\end{array}\right]$.

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• 继续构造 Givens 旋转，将向量 $[-12/5\;\;-8/65]^{\mathrm{T}}$ 的第二个元素化为 $0$.
• 令 $\boldsymbol{G}^*_2=\left[\begin{array}{cc}-\frac{39}{5\sqrt{61}} & -\frac{2}{5\sqrt{61}}\\ \frac{2}{5\sqrt{61}} & -\frac{39}{5\sqrt{61}} \end{array}\right]$，则 $\boldsymbol{G}^*_2\left[\begin{array}{c}-12/5 \\ -8/65\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{4\sqrt{61}}{13} \\ 0\end{array}\right]$.
• 记 $\boldsymbol{G}_2=\left[\begin{array}{cc}1 & \\ & \boldsymbol{G}^*_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & -\frac{39}{5\sqrt{61}} & -\frac{2}{5\sqrt{61}}\\ 0 & \frac{2}{5\sqrt{61}} & -\frac{39}{5\sqrt{61}} \end{array}\right]$.

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• 令 $\boldsymbol{G}=\boldsymbol{G}_2\boldsymbol{G}_1=\left[\begin{array}{ccc} \frac{3}{13} & \frac{4}{13} & \frac{12}{13}\\ \frac{84}{13\sqrt{61}} & -\frac{57}{13\sqrt{61}} & -\frac{2}{13\sqrt{61}}\\ \frac{4}{\sqrt{61}} & \frac{6}{\sqrt{61}} & -\frac{3}{\sqrt{61}} \end{array}\right]$，则 $\boldsymbol{G}\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc} 13 & \frac{57}{13} & \frac{164}{13}\\ 0 & -\frac{4\sqrt{61}}{13} & -\frac{309}{13\sqrt{61}}\\ 0 & 0 & -\frac{6}{\sqrt{61}} \end{array}\right]=\boldsymbol{R}$
• 记 $\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{G}^{\mathrm{T}}$，故 $\boldsymbol{A}$ 的 QR 分解为
  
  • $\boldsymbol{Q}\boldsymbol{R}=\left[\begin{array}{ccc} \frac{3}{13} & \frac{84}{13\sqrt{61}} & \frac{4}{\sqrt{61}}\\ \frac{4}{13} & -\frac{57}{13\sqrt{61}} & \frac{6}{\sqrt{61}}\\ \frac{12}{13} & -\frac{2}{13\sqrt{61}} & -\frac{3}{\sqrt{61}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} 13 & \frac{57}{13} & \frac{164}{13}\\ 0 & -\frac{4\sqrt{61}}{13} & -\frac{309}{13\sqrt{61}}\\ 0 & 0 & -\frac{6}{\sqrt{61}} \end{array}\right]$.

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小结

• 求 QR 分解
  
  1. Schmidt 正交化
  2. Householder 正交化
  3. Givens 方法
• QR 分解的应用
  
  1. 解线性方程组
  2. 求方阵的特征值

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附注：用 QR 算法求方阵的特征值

定理 设 $\boldsymbol{A}\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 的特征值满足

$|\lambda_1|>|\lambda_2|>\ldots>|\lambda_n|>0,$

则 $\boldsymbol{A}$ 可对角化为 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P\Lambda P}^{-1}$。若 $\boldsymbol{P}^{-1}$ 存在 LU 分解 $\boldsymbol{P}^{-1}=\boldsymbol{LU}$。则当 $k\to\infty$ 时，$\boldsymbol{A}_k$ 的对角线下的元素趋于 $0$，对角线元素趋于特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$.

• $\boldsymbol{A}_1=\boldsymbol{A}$，$\boldsymbol{A}_1=\boldsymbol{Q}_1\boldsymbol{R}_1$ 为 QR 分解；
• 对任意 $k\geq 1$，$\boldsymbol{A}_{k+1}=\boldsymbol{R}_k\boldsymbol{Q}_k$；
• $\boldsymbol{A}_{k+1}=\boldsymbol{Q}_{k+1}\boldsymbol{R}_{k+1}$ 为 QR 分解.

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The man behind the QR algorithm[2]

John Francis is an English computer scientist, who invented the QR algorithm in 1961. A year later he left the field of numerical analysis and had no idea of the impact of his work. In 2007, Gene Golub and Frank Uhlig managed to contacted him. He was the opening speaker at a mini-symposium that marked 50 years of the QR algorithm, held at the 23rd Biennial Conference on Numerical Analysis in Glasgow in June 2009.

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证明思路[3]

• 记 $\tilde{\boldsymbol{Q}}_{k}=\boldsymbol{Q}_{1} \boldsymbol{Q}_{2} \ldots \boldsymbol{Q}_{k},\tilde{\boldsymbol{R}}_{k}=\boldsymbol{R}_{k} \boldsymbol{R}_{k-1} \ldots \boldsymbol{R}_{1}$
• 反复使用 QR 算法的迭代公式，可得: $\boldsymbol{A}^{k}=\tilde{\boldsymbol{Q}}_{k} \tilde{\boldsymbol{R}}_{k}$, $\boldsymbol{A}_{k}=\tilde{\boldsymbol{Q}}_{k}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A} \tilde{\boldsymbol{Q}}_{k}$
• 设 $\boldsymbol{P}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{R}$ 为 QR 分解
• $\boldsymbol{A}^k=\boldsymbol{P\Lambda}^k\boldsymbol{P}^{-1}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{R}\Lambda^k\boldsymbol{LU}=\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{R}\boldsymbol{\Lambda}^k\boldsymbol{L\Lambda}^{-k}\boldsymbol{R}^{-1})\boldsymbol{R}\Lambda^k\boldsymbol{U}$
• 显然 $(\boldsymbol{R}\boldsymbol{\Lambda}^k\boldsymbol{L\Lambda}^{-k}\boldsymbol{R}^{-1})$ 可逆，设其 QR 分解为 $\hat{\boldsymbol{Q}}_k\hat{\boldsymbol{R}}_k$
  
  • $\boldsymbol{A}^k=(\boldsymbol{Q}\hat{\boldsymbol{Q}}_k)(\hat{\boldsymbol{R}}_k\boldsymbol{R}\boldsymbol{\Lambda}^k\boldsymbol{U})$

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• $(\hat{\boldsymbol{R}}_k\boldsymbol{R}\boldsymbol{\Lambda}^k\boldsymbol{U})$ 为上三角阵，通过左乘一个幺模可逆对角阵（对角元的模均为 $1$）$\boldsymbol{D}_k$，可以使得其对角元全部化为正数
  
  • 进而 $\boldsymbol{A}^k=(\boldsymbol{Q}\hat{\boldsymbol{Q}}_k\boldsymbol{D}_k^{-1})(\boldsymbol{D}_k\hat{\boldsymbol{R}}_k\boldsymbol{R}\Lambda^k\boldsymbol{U})$
• QR 分解具有唯一性，对比以上分解式和 $\boldsymbol{A}^{k}=\tilde{\boldsymbol{Q}}_{k} \tilde{\boldsymbol{R}}_{k}$
  
  • 得到 $\tilde{\boldsymbol{Q}}_k=(\boldsymbol{Q}\hat{\boldsymbol{Q}}_k\boldsymbol{D}_k^{-1})$
• 代入 $\boldsymbol{A}_k$ 的分解式
• $\boldsymbol{A}_k=\tilde{\boldsymbol{Q}}_{k}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A} \tilde{\boldsymbol{Q}}_{k}$
  
  • $=[(\boldsymbol{D}_k^{-1})^{\mathrm{H}}\hat{\boldsymbol{Q}}_k^{\mathrm{H}}\boldsymbol{Q}^{\mathrm{H}}](\boldsymbol{Q}\boldsymbol{R}\boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{Q}^{-1})(\boldsymbol{Q}\hat{\boldsymbol{Q}}_k\boldsymbol{D}_k^{-1})$
  • $=(\boldsymbol{D}_k\hat{\boldsymbol{Q}}_k^{\mathrm{H}})(\boldsymbol{R}\boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{R}^{-1})(\hat{\boldsymbol{Q}}_k\boldsymbol{D}_k^{\mathrm{H}})$

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• 记 $\boldsymbol{\Lambda}^k\boldsymbol{L\Lambda}^{-k}=[t_{ij}]_{n\times n}$
• $t_{ij}=l_{ij}\left(\frac{\lambda_i}{\lambda_j}\right)^k\left\{\begin{array}{l}=0,& i<j\\ =1, & i=j\\ \to 0, & i>j \end{array}\right.\quad (k\to\infty)$
• 由此可知 $\lim_{k\to\infty}\boldsymbol{\Lambda}^k\boldsymbol{L\Lambda}^{-k}=\boldsymbol{I}$
• 进而 $\lim_{k\to\infty}(\boldsymbol{R}\boldsymbol{\Lambda}^k\boldsymbol{L\Lambda}^{-k}\boldsymbol{R}^{-1})=\boldsymbol{R}\cdot \boldsymbol{I}\cdot \boldsymbol{R}^{-1}=\boldsymbol{I}\cdot \boldsymbol{I}$
• 上式右端是一个 QR 分解，由 QR 分解的连续性和唯一性，可得 $\lim_{k\to\infty}\hat{\boldsymbol{Q}}_k=\boldsymbol{I}$

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• 代入分解式 $\boldsymbol{A}_k=(\boldsymbol{D}_k\hat{\boldsymbol{Q}}_k^{\mathrm{H}})(\boldsymbol{R}\boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{R}^{-1})(\hat{\boldsymbol{Q}}_k\boldsymbol{D}_k^{\mathrm{H}})$
  
  • 可得 $\lim_{k\to\infty}\boldsymbol{A}_k=\boldsymbol{D}_k\boldsymbol{R}\Lambda \boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{D}_k^{\mathrm{H}}$
• 可以验证 $\boldsymbol{R}\boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{R}^{-1}$ 是对角线元为 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$ 的上三角阵
• 进而 $\boldsymbol{D}_k\boldsymbol{R}\boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{D}_k^{\mathrm{H}}$ 也是对角线元为 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$ 的上三角阵
• 综上，当 $k\to\infty$ 时
  
  • $\boldsymbol{A}_k$ 的对角线下的元素趋于 $0$
  • $\boldsymbol{A}_k$ 的对角线元素趋于特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$