1.1 线性空间

高等工程数学 讲义 2024AU

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空间与集合

• 空间：在数学上通常指具有特定结构的集合
  
  • 结构：代数或几何特性
• 线性空间
  
  • 具有可线性扩张的特征的空间
  • 对直线、平面等的抽象推广

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1.1.1 线性空间的概念

设 $F$ 是一个数集，且 $0,1\in F$ ，若对 $F$ 中任意元素 $a,b$，有

$$a+b \in F, \;\;a-b \in F, \;\;a \cdot b \in F, \;\;a / b \in F\;(b \neq 0)$$

则称 $F$ 为 数域 (Field).

• 定义了加、减、乘、除运算，且对以上四种运算封闭
• 例： 在常见的四则运算下
  
  • 有理数集 $\mathbb{Q}$ ，实数集 $\mathbb{R}$ ，复数集 $\mathbb{C}$ 可以构成数域
  • 整数集 $\mathbb{Z}$ 和自然数集 $\mathbb{N}$ 不能构成数域

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线性空间的定义

设 $F$ 是一个数域， $V$ 是一非空集合

• $\forall\boldsymbol{\boldsymbol{\alpha}},\boldsymbol{\beta}\in V$ ，定义了加法 (Addition) 运算 $(+)$ ，且 $\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\in V$
• $\forall\boldsymbol{\alpha} \in V, k \in F$ ，定义了数乘(Scalar Multiplication) 运算 $(\cdot)$ ，且 $k \cdot \boldsymbol{\alpha} \in V$
• 且加法运算和数乘运算满足如下性质：

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加法满足的性质

• 交换律 (Commutative Law)
  
  • $\forall\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V$ ， $\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}$
• 结合律 (Associative Law)
  
  • $\forall \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma} \in V$ ， $(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})+\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\alpha}+(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\gamma})$
• 存在零元 (Zero Element)
  
  • $\exists \boldsymbol{0}\in V$ ， $\forall\boldsymbol{\alpha} \in V$ ， $\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{\alpha}$
• 存在负元 (Inverse Element )
  
  • $\forall\boldsymbol{\alpha} \in V$ ， $\exists\boldsymbol{\beta}\in V$ ， $\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{0}$ ，记： $\boldsymbol{\beta}=-\boldsymbol{\alpha}$

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数乘满足的性质

• 分配律 I (Distributive Law)
  
  • $\forall \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in V, \forall k \in F$ ， $k\cdot(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=k\cdot\boldsymbol{\alpha}+k\cdot\boldsymbol{\beta}$
• 分配律 II
  
  • $\forall \boldsymbol{\alpha} \in V, \forall k, l \in F$ ， $(k+l) \cdot\boldsymbol{\alpha}=k\cdot\boldsymbol{\alpha}+l\cdot\boldsymbol{\alpha}$
• 结合律
  
  • $\forall \boldsymbol{\alpha} \in V, \forall k, l \in F$ ， $(k l) \cdot\boldsymbol{\alpha}=k(l\cdot\boldsymbol{\alpha})$
• 存在单位元 (Unit Element)
  
  • $\exists 1\in F$ ， $\forall\boldsymbol{\alpha}\in V$ ， $1\cdot\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}$

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满足以上性质的 $(V,F,+,\cdot)$ ，称为数域 $F$ 上的 线性空间 或 向量空间 (Linear/Vector Space over Field $F$)，记为 $V$ 或 $V(F).$

• 简称： $V$ 是线性空间
• $V$ 中的元素称为 向量 (Vector)
• $V(\mathbb{R})$ ：实线性空间 (Real Vector Space)
• $V(\mathbb{C})$ ：复线性空间 (Complex Vector Space)

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常见的线性空间：（1）数值向量空间

给定数域 $F$，可以构造线性空间

$$(F^n,F,+,\cdot).$$

• 其中 $+$，$\cdot$ 分别表示向量的加法和数乘
• 思考： $(\mathbb{C}^n,\mathbb{R},+,\cdot)$ 能否构成线性空间？
• 注： 简写 $\bbox[yellow]{\mathbb{R}^n}$ 和 $\bbox[yellow]{\mathbb{C}^n}$ 一般特指 $(\mathbb{R}^n,\mathbb{R},+,\cdot)$ 和 $(\mathbb{C}^n,\mathbb{C},+,\cdot)$

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常见的线性空间：（2）数值矩阵空间

给定数域 $F$，可以构造线性空间

$$(F^{m\times n},F,+,\cdot)$$

• 其中 $+$，$\cdot$ 分别表示矩阵的加法和数乘
• $(\mathbb{C}^{m\times n},\mathbb{R},+,\cdot)$ 能否构成线性空间？

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常见的线性空间：（3）实系数多项式空间

$$(P_n(t),\mathbb{R},+,\cdot)$$

• $P_n(t)=\{$ 次数不超过 $n$ 的实系数多项式 $\}$
• $+$，$\cdot$ 分别表示多项式的加法和实数与多项式的乘法
• 记 $P(t)$ 为全体实系数多项式的集合，$(P(t),\mathbb{R},+,\cdot)$ 也构成线性空间

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例 记

$$\mathbb{R}_+=\{t\in\mathbb{R}|t>0\}$$

• 按照实数的加法和数乘， $\mathbb{R}_+$ 是否构成实线性空间？
  
  • 不是！关于数乘不封闭.
• 思考 定义新的加法和乘法
  
  • $\oplus : \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in\mathbb{R}_{+}, \;\boldsymbol{\alpha} \oplus \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}$
  • $\circ : \boldsymbol{\alpha} \in\mathbb{R}_{+}, k \in\mathbb{R}, \;k\circ \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}^{k}$
  • $(\mathbb{R}_+,\mathbb{R},\oplus,\circ)$ 能构成线性空间吗？

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常见的线性空间：（4）矩阵的零空间与值空间

例 给定数域 $F$，已知 $\boldsymbol{A}\in F^{m\times n}$，$\boldsymbol{b}\in F^m$，定义

$$\mathscr{N}(\boldsymbol{A})=\{\boldsymbol{x}\in F^{n}:\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}\}$$

$$\mathscr{R}(\boldsymbol{A})=\{\boldsymbol{y}=\boldsymbol{Ax}:\boldsymbol{x}\in F^{n}\}$$

问：$\mathscr{N}(\boldsymbol{A})$ 和 $\mathscr{R}(\boldsymbol{A})$ 按照 $F^n$ 中向量的加法和数乘能否构成线性空间？

• 当且仅当 $\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$ 时，$(\mathscr{N}(\boldsymbol{A}),F,+,\cdot)$ 构成线性空间，此时称 $\mathscr{N}(\boldsymbol{A})$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的零空间
• $(\mathscr{R}(\boldsymbol{A}),F,+,\cdot)$ 构成线性空间，$\mathscr{R}(\boldsymbol{A})$ 称为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的值空间

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常见的线性空间：（5）三维欧式空间中的平面与直线

例 三维欧式空间 $\mathbb{R}^3$ 中的任意平面 $\pi$ 或直线 $L$，按照 $\mathbb{R}^3$ 中向量的加法和数乘可否构成线性空间？

• 当且仅当该平面或直线经过原点时，$(\pi,\mathbb{R},+,\cdot)$、$(L,\mathbb{R},+,\cdot)$ 构成线性空间
  
  • 三维欧式空间中的平面可以表示为 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$，其中 $\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{1\times 3}$，$\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^3$，$\boldsymbol{b}\in\mathbb{R}$，此时 $\pi=\mathscr{N}(\boldsymbol{A})$.
  • $\pi$ 经过原点，当且仅当 $\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$.
• 思考： 设 $\pi_1,\pi_2$ 为三维欧式空间中两个过原点的平面，$\pi_1\cup\pi_2$ 和 $\pi_1\cap\pi_2$ 可否构成线性空间？

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更多的例子

1. 设 $\boldsymbol{C}\in F^{n\times n}$，$\boldsymbol{O}=[0]_{n\times n}$，则方程 $\boldsymbol{CX}+\boldsymbol{XC}=\boldsymbol{O}$ 的全体解可以构成线性空间.
2. 设 $\boldsymbol{A}\in F^{n\times n}$，且 $\boldsymbol{Ax}=\lambda \boldsymbol{x}$，其中 $\lambda\in F$，则 $V_{\lambda}=\{\boldsymbol{x}\in F^n|\boldsymbol{Ax}=\lambda \boldsymbol{x}\}$ 构成线性空间.
3. 设 $C_{[a,b]}$ 表示区间 $[a,b]$ 上的实值连续函数全体，则 $(C_{[a,b]},\mathbb{R},+,\cdot)$ 构成线性空间.

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• 思考： 给定 $\boldsymbol{C}\in F^{n\times n}$，$\{\boldsymbol{CX}+\boldsymbol{XC}|\boldsymbol{X}\in F^{n\times n}\}$ 能否构成线性空间？

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线性空间的性质

设 $V$ 是线性空间，则：

• $V$ 中的零元是唯一的；
• 任一个向量对应的负元是唯一的；
• $\forall\boldsymbol{\alpha}\in V$，$0\cdot\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}$， $(-1)\cdot\boldsymbol{\alpha}=-\boldsymbol{\alpha}$.
• $\forall k\in F$ ， $k\cdot \boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}$ .

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1.1.2 线性表示、线性相关与线性无关

设 $\boldsymbol{\beta} \in V$ ，若存在 $V$ 中的一组向量 $\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots,$ $\boldsymbol{\alpha}_{n}\}$ 及一组数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$ $\in F$ ，使得

$$\boldsymbol{\beta}=k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{n} \boldsymbol{\alpha}_{n},$$

则称向量 $\boldsymbol{\beta}$ 能被向量组 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right\}$ 线性表示(出) （Linear Represented/Expressed）

• 或称 $\boldsymbol{\beta}$ 可以表示为向量组 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right\}$ 的 线性组合 (Linear Combination)

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线性相关

设 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right\}$ 是线性空间 $V$ 中的一组向量，若存在一组不全为 $0$ 的数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n} \in F$ ，使得

$$k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{n} \boldsymbol{\alpha}_{n}=\boldsymbol{0},$$

则称向量组 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right\}$ 线性相关 (Linear Dependent)

• 线性相关的向量组中至少有一个向量可以被其他向量线性表出.
• 在线性相关的向量组中增加一个新的向量，扩充后的向量组仍然线性相关.

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线性无关

若

$$\sum_{i=1}^{n} k_{i} \boldsymbol{\alpha}_{i}=0 \quad\Leftrightarrow\quad k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{n}=\boldsymbol{0},$$

则称向量组 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right\}$ 线性无关 (Linear Independent)

• 线性无关的向量组中任何一个向量都不能被其他的向量线性表出.
• 从线性无关的向量组中去除任何一个向量，剩余的向量组仍然线性无关.

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基本性质

1. $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right\}$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right\}$ 中存在某个向量可以被其他向量线性表出.
2. $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right\}$ 线性无关 $\Leftrightarrow$ $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right\}$ 中任取一部分向量均是线性无关的.
3. $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right\}$ 线性相关 $\Rightarrow$ 任何真包含 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right\}$ 的向量组也是线性相关的.
4. 向量组 $\{\boldsymbol{0}\}$ 线性相关.

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1.1.3 线性空间的基与维数

设 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right\}$ 是线性空间 $V$ 中的线性无关向量组，若任意 $\boldsymbol{\beta}\in V$ 都可以被 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right\}$ 线性表出，则

• 称 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right\}$ 是 $V$ 的 基 (Basis)
• 称 $V$ 的维数 (Dimension) 为 $n$ ，记为 $\mathrm{dim}(V)=n$
• 称 $V$ 是一个 n 维线性空间，通常记为 $V^n$
• 注： $\dim\{\boldsymbol{0}\}=0$

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例：给出以下线性空间的维数与基

1. $(\mathbb{R}^n,\mathbb{R},+,\cdot)$
2. $(\mathbb{C}^n,\mathbb{C},+,\cdot)$
3. $(\mathbb{C}^n,\mathbb{R},+,\cdot)$
4. $(\mathbb{R}^{n\times n},\mathbb{R},+,\cdot)$
5. $(P_n(t),\mathbb{R},+,\cdot)$
6. $(V_i,\mathbb{R},+,\cdot)$，$i=1,2$，其中
   
   • $V_1=\left\{\begin{bmatrix} a & b \\ c & 0\end{bmatrix}:a,b,c\in\mathbb{R}\right\}$
   • $V_2=\left\{\begin{bmatrix} a & b \\ -b & c\end{bmatrix}:a,b,c\in\mathbb{R}\right\}$
7. $\mathscr{N}(\boldsymbol{A})$ 和 $\mathscr{R}(\boldsymbol{A})$，其中 $\boldsymbol{A}\in F^{m\times n}$

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定理 设 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right\}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的基，则 $\forall\boldsymbol{\beta}\in V$ 可被 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right\}$ 唯一地线性表示，也即：存在唯一确定的一组 $x_{1}, \cdots, x_{n} \in F$ ，使得

$$\boldsymbol{\beta}=x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+x_{n} \boldsymbol{\alpha}_{n}.$$

• $\boldsymbol{x}=[x_{1}\; x_{2}\; \cdots\;x_{n}]^{\mathrm{T}}$ 称为 $\boldsymbol{\beta}$ 在基 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right\}$ 下的坐标向量，简称坐标 (Coordinate, Component)
• 记 $\boldsymbol{A}= [\boldsymbol{\alpha}_{1}\; \boldsymbol{\alpha}_{2}\; \cdots\; \boldsymbol{\alpha}_{n}]$ ，则 $\bbox[yellow]{\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}}$
• 任意 $n$ 维线性空间 $V^n$ 同构 (Isomorphic) 于 $F^n$ ，记为 $V^n\simeq F^{n}$

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线性空间的同构

对数域 $F$ 上的两个线性空间 $V_1,V_2$，若存在一一映射 $\sigma:V_1\to V_2$ 满足：对 $\forall\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V_1$ 和 $\forall k\in F$，总有

$$\sigma(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=\sigma(\boldsymbol{\alpha})+\sigma(\boldsymbol{\beta}),\quad \sigma(k\boldsymbol{\alpha})=k\sigma(\boldsymbol{\alpha}),$$

则称 $V_1,V_2$ 同构，$\sigma$ 称为同构映射.

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同构的性质

1. $\sigma(\boldsymbol{0})=\boldsymbol{0}$，$\sigma(-\boldsymbol{\alpha})=-\sigma(\boldsymbol{\alpha})$.
2. $\sigma\left(\sum\limits_{i=1}^rk_i\boldsymbol{\alpha}_i\right)=\sum\limits_{i=1}^rk_i\sigma\left(\boldsymbol{\alpha}_i\right)$，$k_i\in F,\;i=1,...,r.$
3. $V_1$ 中的向量组 $\{\boldsymbol{\alpha}_1,...,\boldsymbol{\alpha}_r\}$ 线性相关，当且仅当 $\{\sigma(\boldsymbol{\alpha}_1),...,\sigma(\boldsymbol{\alpha}_r)\}$ 线性相关.
4. 同构的线性空间维数相同，基一一对应. (请自行证明)

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例：给定基求向量的坐标

取 $P_2(t)$ 的基

$$\boldsymbol{A}=\left\{t+1,t+2,t^2\right\},$$

求

$$p(t)=2t^2-t+1$$

在 $\boldsymbol{A}$ 下的坐标.

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解 设

$$x_1(t+1)+x_2(t+2)+x_3t^2=2t^2-t+1,$$

也即

$$\left[\begin{array}{ccc} 0&0&1\\ 1&1&0\\ 1&2&0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right]$$

解得 $\left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right]$ ，即为所求。

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过渡矩阵

设 $\boldsymbol{A}=\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right\}$ ， $\boldsymbol{B}=\left\{\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n}\right\}$ 是 $V^n$ 的两组(个)基，则存在 $\boldsymbol{P}\in F^{n \times n}$ ，使得 $\bbox[yellow]{[\boldsymbol{\beta}_1\;\boldsymbol{\beta}_2\;...\boldsymbol{\beta}_n]=[\boldsymbol{\alpha}_1\;\boldsymbol{\alpha}_2\;...\boldsymbol{\alpha}_n]\boldsymbol{P}}$（或记为 $\bbox[yellow]{\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}}$）.

• 称 $\boldsymbol{P}$ 为基 $\boldsymbol{A}$ 到基 $\boldsymbol{B}$ 的变换矩阵（过渡矩阵，Transition Matrix）.
• $\boldsymbol{P}$ 的第 $i$ 列 $\boldsymbol{P}_i$ 即为 $\boldsymbol{\beta}_i$ 在 $\boldsymbol{A}$ 下的坐标，也即 $\bbox[yellow]{\boldsymbol{\beta}_i=\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}_i},\;i=1,2,...,n.$
• $\boldsymbol{P}$ 是可逆矩阵.
• 设 $\boldsymbol{\xi}\in V^n$ 在 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 下的坐标分别为 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$ ，则 $\bbox[yellow]{\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}}$ .

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注：证明 $\boldsymbol{P}$ 是可逆矩阵.

• 反证法. 设 $\boldsymbol{P}$ 不可逆.
• 记 $\boldsymbol{P}=[\boldsymbol{P}_1\;\boldsymbol{P}_2\;...\;\boldsymbol{P}_n]$，则 $\{\boldsymbol{P}_1,\boldsymbol{P}_2,...,\boldsymbol{P}_n\}$ 线性相关.
• 存在不全为零的 $x_1,x_2,...,x_n$，使得 $\sum\limits_{i=1}^nx_i\boldsymbol{P}_i=\boldsymbol{0}$.
• $\boldsymbol{\beta}_i=[\boldsymbol{\alpha}_1\;\boldsymbol{\alpha}_2\;...\boldsymbol{\alpha}_n]\boldsymbol{P}_i=\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}_i$.
• 进而 $\sum\limits_{i=1}^nx_i\boldsymbol{\beta}_i=\sum\limits_{i=1}^nx_i\boldsymbol{AP}_i=\boldsymbol{A}\sum\limits_{i=1}^nx_i\boldsymbol{P}_i=0$.
• $x_1,x_2,...,x_n$ 不全为零，故知 $\left\{\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n}\right\}$ 线性相关，与其是基矛盾.

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例：求过渡矩阵

已知 $\mathbb{R}^3$ 的两组基

$$\boldsymbol{A}_{{1}}=\left\{\left[\begin{array}{r}{-1} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}{1} \\ {0} \\ {-1}\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right]\right\},$$

$$\boldsymbol{A}_{2}=\left\{\left[\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}{0} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right]\right\},$$

求 $\boldsymbol{A}_1$ 到 $\boldsymbol{A}_2$ 的过渡矩阵 $\boldsymbol{P}$ .

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提示

• $\boldsymbol{A}_2=\boldsymbol{A}_1\boldsymbol{P}$ ，故 $\boldsymbol{A}_1^{-1}[\boldsymbol{A}_1\;\boldsymbol{A}_2]=[\boldsymbol{I}\;\boldsymbol{P}]$
  
  • 左乘可逆矩阵相当于对于右侧的矩阵施以矩阵的行变换
  • 利用矩阵的行变换将增广矩阵 $[\boldsymbol{A}_1\;\boldsymbol{A}_2]$ 的左侧化为单位阵，则右侧得到的就是 $\boldsymbol{P}$
• $\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{rrr}{-2} & {-1} & {-1} \\ {-1} & {-1} & {0} \\ {2} & {1} & {2}\end{array}\right]$

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例：不同基下坐标的转换

已知 $P_2(t)$ 的两组基

$$\boldsymbol{A}_1=\left\{1, t, t^{2}\right\}$$

$$\boldsymbol{A}_2=\left\{t+1, t+2, t^{2}\right\}$$

求 $\boldsymbol{A}_1$ 到 $\boldsymbol{A}_2$ 的变换矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，以及

$$p(t)=2 t^{2}-t+1$$

在两组基下的坐标.

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提示

• $\boldsymbol{A}_2={\boldsymbol{A}_1}\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]={\boldsymbol{A}_1}\boldsymbol{P}$
• $\boldsymbol{P}^{-1}=\left[\begin{array}{rrr}{-1} & {2} & {0} \\ {1} & {-1} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right]$
• $\boldsymbol{x}_1=[1\;-1\;\;2]^{\mathrm{T}}$
• $\boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{x}_1=[-3\;\;2\;\;2]^{\mathrm{T}}$

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例 线性空间 $V^4$ 的基 $\boldsymbol{A}_1=\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right\},$ $\boldsymbol{A}_2=\left\{\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{4}\right\}$ 满足如下关系

$$\left\{\begin{array}{l}{\boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}=\boldsymbol{\beta}_{3}} \\ {\boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\beta}_{4}} \\ {\boldsymbol{\beta}_{1}+2 \boldsymbol{\beta}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{3}} \\ {\boldsymbol{\beta}_{2}+2 \boldsymbol{\beta}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{4}}\end{array}\right.$$

(1) 求 $\boldsymbol{A}_1$ 到 $\boldsymbol{A}_2$ 的变换矩阵 $\boldsymbol{P}$ ;
(2) 求 $\boldsymbol{\alpha}=2 \boldsymbol{\beta}_{1}-\boldsymbol{\beta}_{2}+\boldsymbol{\beta}_{3}+\boldsymbol{\beta}_{4}$ 在 $\boldsymbol{A}_1$ 下的坐标;
(3) 求 $V^4$ 中在两组基下具有相同坐标的所有向量.

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提示

• (1) 已知条件可改写为形如 $\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}_2 \boldsymbol{B}$
  
  • 即 $\boldsymbol{A}_1\left[\begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\ 2&1&0&0\\ 0&2&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}\right] =\boldsymbol{A}_2\left[\begin{array}{cccc} 0&0&1&0\\ 0&0&2&1\\ 1&0&0&2\\ 0&1&0&0 \end{array}\right]$
• 于是 $\boldsymbol{P}=\boldsymbol{AB}^{-1}=\left[\begin{array}{rrrr} 4&-2&1&0\\ 8&-4&2&1\\ 1&0&0&2\\ -2&1&0&0 \end{array}\right]$

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注： 右乘可逆矩阵相当于与对左侧矩阵进行列表换，因此在计算 $\boldsymbol{AB}^{-1}$ 时，可以利用如下的公式

$$\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \end{array}\right]\boldsymbol{B}^{-1}=\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{AB}^{-1} \\ \boldsymbol{I} \end{array}\right]$$

• 也即，通过列变换，将下方的矩阵化为单位阵，则上方的矩阵即为所求

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• (2) 向量 $\boldsymbol{\alpha}=2 \boldsymbol{\beta}_{1}-\boldsymbol{\beta}_{2}+\boldsymbol{\beta}_{3}+\boldsymbol{\beta}_{4}$ 在 $\boldsymbol{A}_2=\left\{\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{4}\right\}$ 下的坐标：
  
  • $\boldsymbol{y}=[2\;-1\;\;1\;\;1]^{\mathrm{T}}$
• 故 $\boldsymbol{\alpha}$ 在 $\boldsymbol{A}_1$ 下的坐标：
  
  • $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}=[11\;\;23\;\;4\;-5]^{\mathrm{T}}$

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• (3) 设某个向量在两组基下的坐标同为 $\boldsymbol{z}$，则
  
  • $\boldsymbol{A}_1\boldsymbol{z}=\boldsymbol{A}_2\boldsymbol{z}$，即$\boldsymbol{A}_1\boldsymbol{z}=\boldsymbol{A}_1\boldsymbol{P}\boldsymbol{z}$
  • $\boldsymbol{A}_1(\boldsymbol{P}-\boldsymbol{I}_4)\boldsymbol{z}=\boldsymbol{0}$
  • $\boldsymbol{A}_1$ 中的向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关，故由上式必有 $(\boldsymbol{P}-\boldsymbol{I}_4)\boldsymbol{z}=\boldsymbol{0}$
• 解线性方程组 $(\boldsymbol{P}-\boldsymbol{I}_4)\boldsymbol{z}=\boldsymbol{0}$
  
  • $\boldsymbol{z}=c_1[-2\;-3\;\;0\;\;1]^{\mathrm{T}}+c_2[1\;\;2\;\;1\;\;0]^{\mathrm{T}}$
  • $(c_1,c_2\in\mathbb{R})$

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1.1.4 线性子空间

设 $V$ 为线性空间， $W$ 是 $V$ 的非空子集，如果 $W$按 $V$ 中的运算也构成线性空间，则称 $W$ 为 $V$ 的 线性子空间（简称 子空间，Subspace），记为 $W\subset V$ .

• $W\subset V\Leftrightarrow W$ 关于 $V$ 中的加法和数乘封闭
• $\operatorname{dim} W \leq \operatorname{dim} V$
• $\{\boldsymbol{0}\}\subset V$ 称为 $V$ 的 平凡子空间 (Trivial Subspace)

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矩阵的零空间与值空间

给定 $\boldsymbol{A}\in F^{m\times n}$ ，且 $\operatorname{rank} \boldsymbol{A}=r>0$

• 称 ${\mathscr{N}(\boldsymbol{A}) \triangleq\left\{\boldsymbol{x} | \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0},\boldsymbol{x} \in F^n\right\}}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的 零/核（核，Null/Kernal Space）
  
  • $\mathscr{N}(\boldsymbol{A})$ 是方程 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 的全部解构成的集合.
  • $\mathscr{N}(\boldsymbol{A})$ 是 $F^n$ 的线性子空间.
  • $\bbox[yellow]{\mathrm{dim}\mathscr{N}(\boldsymbol{A})=n-\mathrm{rank}(\boldsymbol{A})=n-r }$.
• 称 ${\mathscr{R}(\boldsymbol{A}) \triangleq\left\{\boldsymbol{y} | \boldsymbol{y}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{x},\boldsymbol{x} \in F^n \right\}}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的 列/值空间（值域，Column/Value Space）
  
  • $\mathscr{R}(\boldsymbol{A})$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的列向量的全部线性组合构成的集合.
  • $\mathscr{R}(\boldsymbol{A})$ 是 $F^m$ 的线性子空间.
  • $\bbox[yellow]{\mathrm{dim}\mathscr{R}(\boldsymbol{A})=\mathrm{rank}(\boldsymbol{A})=r }$.

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向量组张成的子空间

设 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}\right\}$ 是线性空间 $V$ 中的一组向量，记

$$\operatorname{span}\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}\right\}=\left\{\sum_{i=1}^{r} k_{i} \boldsymbol{\alpha}_{i} \bigg| k_{1}, \cdots, k_{r} \in F\right\}$$

则 $\operatorname{span}\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}\right\}$ 是 $V$ 的子空间，称之为由 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}\right\}$ 张(生)成的子空间 (Generated Subspace).

• $\bbox[yellow]{\mathrm{span}\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}\right\}=\mathscr{R}([\boldsymbol{\alpha}_1\;\boldsymbol{\alpha}_2...\boldsymbol{\alpha}_r])}$
• 若 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}\right\}$ 是 $V$ 的基，则 $V=\operatorname{span}\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}\right\}$

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基扩张定理

设 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}\right\}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 中的一组线性无关向量，则存在 $V$ 中的 $n-r$ 个向量 $\boldsymbol{\alpha}_{r+1}, \boldsymbol{\alpha}_{r+2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$ ，使得

$$\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}, \boldsymbol{\alpha}_{r+1}, \boldsymbol{\alpha}_{r+2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right\}$$

构成 $V$ 的一组基.

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证明思路

• 设 $\boldsymbol{B}=\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\ldots,\boldsymbol{\beta}_n\}$ 是 $V$ 的基
• 若 $r<n$，则 $\boldsymbol{B}$ 中至少有一个向量 $\boldsymbol{\beta}_{i_1}$ 无法被 $\{\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\ldots,\boldsymbol{\alpha}_r\}$ 线性表示，记 $\boldsymbol{\alpha}_{r+1}=\boldsymbol{\beta}_{i_1}$
• 证明向量组 $\{\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\ldots,\boldsymbol{\alpha}_r,\boldsymbol{\alpha}_{r+1}\}$ 线性无关
• 重复以上的前两个步骤，向新的向量组中不断增加向量，直到向量组的容量为 $n$
• 最后得到的向量组是线性无关的，且包含 $n$ 个向量，故为空间 $V$ 的基

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证明要点： 若 $r<n$，则 $\boldsymbol{B}$ 中至少有一个向量 $\boldsymbol{\beta}_{i_1}$ 无法被 $\{\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\ldots,\boldsymbol{\alpha}_r\}$ 线性表示

反证法。设每个 $\boldsymbol{\beta}_i,\;i=1,...,n$ 均可被 $\boldsymbol{A}^{(r)}=\left\{\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\ldots,\boldsymbol{\alpha}_r\right\}$ 线性表出，则 $\boldsymbol{\beta}_i\in\mathscr{R}(\boldsymbol{A}^{(r)})$。而 $\mathrm{dim}\mathscr{R}(\boldsymbol{A}^{(r)})=r$，这意味着 $\mathscr{R}(\boldsymbol{A}^{(r)})$ 中线性无关的向量组最多包含 $r$ 个向量。因为 $n>r$，故 $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\ldots,\boldsymbol{\beta}_n$ 线性相关，从而与其为 $V^n$ 的基矛盾。

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证明要点：记 $\boldsymbol{\alpha}_{r+1}=\boldsymbol{\beta}_{i_1}$，则 $\{\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\ldots,\boldsymbol{\alpha}_r,\boldsymbol{\alpha}_{r+1}\}$ 线性无关。

反证法。设 $\{\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\ldots,\boldsymbol{\alpha}_r,\boldsymbol{\alpha}_{r+1}\}$ 线性相关，即存在不全为零的 $k_i,\;i=1,...,r+1$，使得

$$k_1\boldsymbol{\alpha}_1+...+k_r\boldsymbol{\alpha}_r+k_{r+1}\boldsymbol{\alpha}_{r+1}=\boldsymbol{0}.$$

若 $k_{r+1}\ne 0$，则由上式

$$\boldsymbol{\alpha}_{r+1}=-\frac{k_1}{k_{r+1}}\boldsymbol{\alpha}_1-...-\frac{k_r}{k_{r+1}}\boldsymbol{\alpha}_r.$$

也即 $\boldsymbol{\alpha}_{r+1}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\ldots,\boldsymbol{\alpha}_r$ 线性表示，与 $\boldsymbol{\alpha}_{r+1}$ 的取法矛盾。

故 $k_{r+1}=0$，此时前式变为

$$k_1\boldsymbol{\alpha}_1+...+k_r\boldsymbol{\alpha}_r=\boldsymbol{0}.$$

因为 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\ldots,\boldsymbol{\alpha}_r$ 线性无关，故必有 $k_1=...=k_r=0$。

至此，由 $k_1=...=k_r=k_{r+1}=0$ 即知 $\{\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\ldots,\boldsymbol{\alpha}_r,\boldsymbol{\alpha}_{r+1}\}$ 线性无关。

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子空间的交与和

设 $W_{1}, W_{2} \subset V$

• 称 $W_{1} \cap W_{2}=\left\{\boldsymbol{\xi} \in V | \boldsymbol{\xi} \in W_{1}, \boldsymbol{\xi} \in W_{2}\right\}$ 为 $W_1$ 和 $W_2$ 的交(空间) (Intersection)

• 称 $W_{1}+W_{2}=\left\{\boldsymbol{\xi} \in V | \boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{\xi}_{1}+\boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{1} \in W_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2} \in W_{2}\right\}$ 为 $W_1$ 和 $W_2$ 的和(空间) (Sum Space)

• 两个子空间的交与和仍然是线性空间

• 设 $W_{1}=\operatorname{span}\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}\right\}, W_{2}=\operatorname{span}\left\{\boldsymbol{\beta}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}\right\}$
  
  • 则 $W_{1}+W_{2}=\operatorname{span}\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}\right\}$

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三维欧式空间的子空间

• 取 $W_1$ 和 $W_2$ 分别为两个不相重合且都包含原点的平面，则 $W_1,W_2$ 均为 $\mathbb{R}^3$ 的子空间，且维度均为 $2$
• 记 $L=W_1\cap W_2$ ，则 $L$ 为一条过原点的直线，是 $\mathbb{R}^3$ 的一维子空间
• 可以验证 $\mathbb{R}^3=W_1+W_2$

$$\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)+\operatorname{dim}\left(W_{1}+W_{2}\right)=\operatorname{dim}\left(W_{1}\right)+\operatorname{dim}\left(W_{2}\right)$$

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维数公式

设 $W_{1} \subset V, W_{2} \subset V$ ，则

$$\bbox[yellow]{\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)+\operatorname{dim}\left(W_{1}+W_{2}\right)=\operatorname{dim} W_{1}+\operatorname{dim} W_{2}}$$

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证明思路

• 取 $W_1\cap W_2$ 的基分别扩张为 $W_1$ 和 $W_2$ 的基.
• 两组基合并后，张成的空间为 $W_1+W_2$.
• 证明合并后的向量组线性无关，故恰为 $W_1+W_2$ 的基.

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例：求子空间的基与维数

考虑 $\mathbb{R}^4$ 的两个子空间

$$\begin{array}{l} {W_{1}=\operatorname{span}\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}=[1 \quad 1\quad 0 \quad 0]^{{\mathrm{T}}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left[\begin{array}{llll}{0} & {1} & {1} & {0}\end{array}\right]^{{\mathrm{T}}}\right\}} \\ W_{2}=\operatorname{span}\left\{\boldsymbol{\alpha}_{3}=\left[\begin{array}{llll}{0} & {0} & {1} & {1]^{{\mathrm{T}}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=\left[\begin{array}{llll}{1} & {0} & {0} & {1}\end{array}\right]^{{\mathrm{T}}}}\end{array}\right.\right\} \end{array}$$

求 $W_{1}+W_{2}$ 和 $W_{1}\cap W_{2}$ 的基和维数。

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解：

• 显然， $\mathrm{dim}(W_1)=\mathrm{dim}(W_2)=2$ ， $\{\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2\}$ 和 $\{\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4\}$ 分别为 $W_1,W_2$ 的基.
• 先求 $W_1\cap W_2$ 的基与维数.
• 记 $\boldsymbol{A}=[\boldsymbol{\alpha}_1\;\boldsymbol{\alpha}_2],\boldsymbol{B}=[\boldsymbol{\alpha}_3\;\boldsymbol{\alpha}_4]$ ，设 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{y}$.
• 也即 $[\boldsymbol{A}\;\;-\boldsymbol{B}]\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{x} \\ \boldsymbol{y} \end{array}\right]=\boldsymbol{0}$，或 $\left[\begin{array}{rrrr} 1&0&0&-1\\ 1&1&0&0\\ 0&1&-1&0\\ 0&0&-1&-1\end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ y_1 \\ y_2 \end{array}\right]=\boldsymbol{0}$。

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• 解得基础解系 $\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{x} \\ \boldsymbol{y} \end{array}\right]=[1\;-1\;-1\;\;1]^{\mathrm{T}}$
  
  • 从而可知 $W_1\cap W_2$ 的基为 $\{\boldsymbol{Ax}\}=\{\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2\}$ 或 $\{\boldsymbol{By}\}=\{\boldsymbol{\alpha}_4-\boldsymbol{\alpha}_3\}$,
  • $\mathrm{dim}(W_1\cap W_2)=1$.
• 再由维数公式可得 $\mathrm{dim}(W_1+W_2)=3$.
• 注意到 $W_1+W_2=\mathrm{span}\{\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4\}$，
  
  • 故 $\{\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4\}$ 中的极大无关组即为 $W_1+W_2$ 的基.

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• 利用除列交换外的初等列变换对 $[\boldsymbol{A}\;\boldsymbol{B}]$ 进行化简，得到非零列最少的形式，这时非零列对应的向量即为 $W_1+W_2$ 的基.
• 例如：$[\boldsymbol{A}\;\boldsymbol{B}]=\left[\begin{array}{rrrr} 1&0&0&-1\\ 1&1&0&0\\ 0&1&-1&0\\ 0&0&-1&-1\end{array}\right]$ 可化为 $\left[\begin{array}{rrrr} 1&0&0&0\\ 1&1&0&0\\ 0&1&-1&0\\ 0&0&-1&0\end{array}\right]$,
• 注意到前三列非零，故可取 $W_1+W_2$ 的基为 $\{\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3\}$.

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另一种解法

• 不难看出， $\mathrm{dim}(W_1)=\mathrm{dim}(W_2)=2$.
• $W_1+W_2=\mathrm{span}\{\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4\}$.
• 注意到 $\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3-\boldsymbol{\alpha}_2$ , 且 $\{\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3\}$ 线性无关.
  
  • 故 $\{\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3\}$ 是 $W_1+W_2$ 的基，$\mathrm{dim}(W_1+W_2)=3$.
• 有维数公式 $\mathrm{dim}(W_1\cap W_2)=1$.
• $\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2=\boldsymbol{\alpha}_4-\boldsymbol{\alpha}_3=[1\;\;0\;-1\;\;0]^{\mathrm{T}}\ne\boldsymbol{0}$，即为 $W_1\cap W_2$ 的基.

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注： $\forall \boldsymbol{\xi} \in W_{1}+W_{2}$ ，有 $\boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{\xi}_{1}+\boldsymbol{\xi}_{2}$, 其中$\boldsymbol{\xi}_{i} \in W_{i}(i=1,2)$ ，这样的分解方法可能不唯一！

• 例 设 $W_{1}=\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right]\right\}, \quad W_{2}=\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}{0} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right]\right\}$
• $\boldsymbol{0}\in W_1+W_2$ 可分解为 $\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}+\boldsymbol{0}$
  
  • 或 $\boldsymbol{0}=\left(\left[\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right]\right)+\left(-\left[\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{l}{0} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right]\right)$

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1.1.5 空间的直和分解

若对任意 $\boldsymbol{\xi} \in W_{1}+W_{2}$ ，只有唯一分解式

$$\boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{\xi}_{1}+\boldsymbol{\xi}_{2}, \quad \boldsymbol{\xi}_{i} \in W_{i} \quad(i=1,2)$$

则称 $W_{1}+W_{2}$ 为直和 (Direct Sum)，记为 $W_{1} \oplus W_{2}$ .

• 多个空间的直和：$W_{1} \oplus W_{2} \oplus \cdots \oplus W_{s} \stackrel{\Delta}{=} \displaystyle\bigoplus_{i=1}^{s} W_{i}$
  
  • $\forall\boldsymbol{\xi} \in \displaystyle\sum_{i=1}^{s} W_{i}$ 都有唯一的分解式
    
    • $\boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{\xi}_{1}+\boldsymbol{\xi}_{2}+\cdots+\boldsymbol{\xi}_{s} \quad\left(\boldsymbol{\xi}_{i} \in W_{i}, i=1,2, \cdots, s\right)$

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直和的判定

定理 如下条件等价

1. $W_{1},W_{2}$ 可构成直和
2. $\bbox[yellow]{W_{1} \cap W_{2}=\{\boldsymbol{0}\}}$
3. $\operatorname{dim}\left(W_{1}+W_{2}\right)=\operatorname{dim} W_{1}+\operatorname{dim} W_{2}$
4. 若 $\boldsymbol{0}=\boldsymbol{\xi}_{1}+\boldsymbol{\xi}_{2}$ ， $\boldsymbol{\xi}_{i} \in W_{i}, i=1,2$ ，则 $\boldsymbol{\xi}_{1}=\boldsymbol{\xi}_{2}=\boldsymbol{0}$

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证明

• (1 $\Rightarrow$ 2) 反证法。假设 $W_{1} \cap W_{2}$ 中存在 $\boldsymbol{\xi}\ne \boldsymbol{0}$
• 则 $\frac{1}{2}\boldsymbol{\xi},\frac{1}{3}\boldsymbol{\xi},\frac{2}{3}\boldsymbol{\xi}\in W_{1} \cap W_{2}$
• 从而 $\boldsymbol{\xi}=\frac{1}{2}\boldsymbol{\xi}+\frac{1}{2}\boldsymbol{\xi}=\frac{1}{3}\boldsymbol{\xi}+\frac{2}{3}\boldsymbol{\xi}$ 为 $\boldsymbol{\xi}$ 的两个不同的分解
• 从而与 $W_{1}+W_{2}$ 为直和矛盾。
• 假设错误，即证。

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• (2 $\Leftrightarrow$ 3) 由维数公式，显然成立。
• (2 $\Rightarrow$ 4) 反证法。设存在非零向量 $\boldsymbol{\xi}_1\in W_1$，使得 $\boldsymbol{0}=\boldsymbol{\xi}_1+\boldsymbol{\xi}_2$，其中 $\boldsymbol{\xi}_2\in W_2$
• 于是 $\boldsymbol{\xi}_1=-\boldsymbol{\xi}_2$
• 从而可知 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2\in W_1\cap W_2$
• 故 $W_1\cap W_2\ne\{\boldsymbol{0}\}$，与 $W_1\cap W_2=\{\boldsymbol{0}\}$ 矛盾。

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• (4. $\Rightarrow$ 1.) 反证法.
• 若 $W_1+W_2$ 不是直和，则存在 $W_1+W_2$ 中的向量 $\boldsymbol{\xi}$ 可分解为两种不同的形式：
  
  • $\boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{\xi}_1+\boldsymbol{\xi}_2=\boldsymbol{\xi}_1^*+\boldsymbol{\xi}_2^*$,
  • 其中 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_1^*\in W_1,\boldsymbol{\xi}_2,\boldsymbol{\xi}_2^*\in W_2$，且 $\boldsymbol{\xi}_1\ne\boldsymbol{\xi}_1^*$.
• 于是 $\boldsymbol{0}=\left(\boldsymbol{\xi}_1-\boldsymbol{\xi}_1^*\right)+\left(\boldsymbol{\xi}_2-\boldsymbol{\xi}_2^*\right)$.
  
  • 这说明 $\boldsymbol{0}$ 存在 $\boldsymbol{0}+\boldsymbol{0}$ 以外的分解方式.
• 与已知矛盾，故假设错误.

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例：验证直和关系

设 $V_1,V_2$ 分别是齐次线性方程组

$$\begin{aligned} x_1+x_2+\ldots+x_n=0\\ x_1=x_2=\ldots=x_n \end{aligned}$$

的解空间，证明

$$\mathbb{R}^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$$

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提示

• 两组方程联立，解空间为 $\{\boldsymbol{0}\}$
  
  • 也即 $V_1,V_2$ 的交集为 $\{\boldsymbol{0}\}$
  • 从而可知 $V_1+V_2$ 为直和
• 第一个方程组的解空间维度为 $n-1$
• 第二个方程组的解空间维度为 $1$
• 于是 $\mathrm{dim}(V_1\oplus V_2)=\mathrm{dim}(V_1)+\mathrm{dim}(V_2)=n$
• 进而可知 $V_1\oplus V_2=\mathbb{R}^n$

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空间的直和分解

定理 对任意的 $V_1\subset V$ ，存在 $V_2\subset V$ ，使得

$$V=V_{1} \oplus V_{2}.$$

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证明思路

• 选定 $V_1$ 的一组基，将其扩充为 $V$ 的基
• 将扩充的新向量张成一个新的子空间 $V_2$
• 证明 $V_1+V_2$ 为直和
  
  • $V_1$ 中的向量无法用 $V_2$ 的基线性表示
  • $V_2$ 中的向量无法用 $V_1$ 的基线性表示
  • 故 $V_1\cap V_2=\{\boldsymbol{0}\}$

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小结

• 基本概念
  
  • 元素 - 集合 - 子集
  • 向量 - 线性(向量)空间 - 子空间
  • 坐标 - 基、维数 - 交、和 - 直和
• 分析手段
  
  • 线性相关、线性无关、线性表出
  • 线性方程组、基础解系、极大无关组、矩阵的初等变换

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重要（常用）的子空间

• 平凡子空间：$\{\boldsymbol{0}\}$
• 生成子空间： $\mathrm{span}\{\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\ldots,\boldsymbol{\alpha}_r\}$
• 零(核)空间： $\mathscr{N}(\boldsymbol{A})=\{\boldsymbol{x}\in F^n |\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}\}$
• 列(值)空间： $\mathscr{R}(\boldsymbol{A})=\{\boldsymbol{Ax}|\boldsymbol{x}\in F^n\}$
• 特征子空间： $\{\boldsymbol{x}\in F^n|\boldsymbol{Ax}=\lambda \boldsymbol{x}\}$

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例 设 $\boldsymbol{A}\in\mathbb{C}^{m\times k}$，$\boldsymbol{B}\in\mathbb{C}^{k\times n}$，证明：$\mathscr{R}(\boldsymbol{A})=\mathscr{R}(\boldsymbol{AB})$ 当且仅当存在 $\boldsymbol{C}\in\mathbb{C}^{n\times k}$，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{ABC}$.

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证明：

• (必要性) 设 $\mathscr{R}(\boldsymbol{A})=\mathscr{R}(\boldsymbol{AB})$
• 由列空间的意义，可知 $\boldsymbol{A}$ 的列向量 $\boldsymbol{A}_i(i=1,...,k)$ 均可被 $\boldsymbol{AB}$ 的列向量线性表出
• 即：$\boldsymbol{A}_i=\boldsymbol{ABC}_i,\;i=1,...,k$
  
  • 其中 $\boldsymbol{C}_i\in\mathbb{C}^n$
• 于是 $\boldsymbol{A}=[\boldsymbol{A}_1\;...\;\boldsymbol{A}_k]=\boldsymbol{AB}[\boldsymbol{C}_1\;...\;\boldsymbol{C}_k]$
• 令 $\boldsymbol{C}=[\boldsymbol{C}_1\;...\;\boldsymbol{C}_k]$，$\boldsymbol{C}\in\mathbb{C}^{n\times k}$，即证。

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• (充分性) 设存在 $\boldsymbol{C}\in\mathbb{C}^{n\times k}$，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{ABC}$.
• 对任意 $\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^k$，令 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{x}$，则 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{AB}\boldsymbol{y}$
  
  • 这说明 $\mathscr{R}(\boldsymbol{A})$ 中的任意向量均可由 $\mathscr{R}(\boldsymbol{AB})$ 的列向量线性表示
• 从而可知 $\mathscr{R}(\boldsymbol{A})\subset \mathscr{R}(\boldsymbol{AB})$.
• 另一方面，对任意 $\boldsymbol{y}\in\mathbb{C}^n$，令 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{y}$，则 $\boldsymbol{AB}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$
• 从而与前一步同理可知 $\mathscr{R}(\boldsymbol{AB})\subset \mathscr{R}(\boldsymbol{A})$.
• 综上， $\mathscr{R}(\boldsymbol{A})=\mathscr{R}(\boldsymbol{AB})$.