2.3 Cayley-Hamilton定理和最小多项式

高等工程数学 讲义 2024AU

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2.3.1 方阵多项式

设

$$g(\lambda)=a_{m} \lambda^{m}+a_{m-1} \lambda^{m-1}+...+a_1\lambda+a_{0}$$

是 $m$ 次多项式，对任意方阵 $\boldsymbol{A}$ ，称

$$g(\boldsymbol{A})=a_{m} \boldsymbol{A}^m+a_{m-1} \boldsymbol{A}^{m-1}+...+a_1 \boldsymbol{A}+a_{0}\boldsymbol{I}$$

为 $\boldsymbol{A}$ 的 方阵多项式 (Polynomial of Square Matrix)

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例 设 $g(\lambda)=\lambda^{3}-3 \lambda^{2}$ ，试求方阵多项式 $g(\boldsymbol{A})$ ，其中

$$\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}{2} & {0} & {0} \\ {0} & {2} & {0} \\ {0} & {1} & {2}\end{array}\right]$$

• 提示： $\boldsymbol{A}^{2}=\left[\begin{array}{lll}{2} & {0} & {0} \\ {0} & {2} & {0} \\ {0} & {1} & {2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}{2} & {0} & {0} \\ {0} & {2} & {0} \\ {0} & {1} & {2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}{4} & {0} & {0} \\ {0} & {4} & {0} \\ {0} & {4} & {4}\end{array}\right]$
• $\boldsymbol{A}^{3}=\boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}{4} & {0} & {0} \\ {0} & {4} & {0} \\ {0} & {4} & {4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}{2} & {0} & {0} \\ {0} & {2} & {0} \\ {0} & {1} & {2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{8} & {0} & {0} \\ {0} & {8} & {0} \\ {0} & {12} & {8}\end{array}\right]$

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• $g(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{A}^3-3\boldsymbol{A}^2=\left[\begin{array}{ccc}{8} & {0} & {0} \\ {0} & {8} & {0} \\ {0} & {12} & {8}\end{array}\right]-3\left[\begin{array}{ccc}{4} & {0} & {0} \\ {0} & {4} & {0} \\ {0} & {4} & {4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{-4} & {0} & {0} \\ {0} & {-4} & {0} \\ {0} & {0} & {-4}\end{array}\right]$

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方阵多项式的计算

• 直接计算的计算量较大
  
  • 特别不适合计算方阵的高次幂
• 改进的方案
  
  1. 思路一：对方阵进行相似化简： $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{PBP}^{-1}$
     
     • $\boldsymbol{B}$ 具有较为简单的形式
     • $\boldsymbol{A}^n=\boldsymbol{PB}^n\boldsymbol{P}^{-1}$
  2. 思路二：采取某种方式降低多项式 $g(\boldsymbol{A})$ 的次数

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利用相似变换计算方阵多项式

定理 设方阵 $\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{B}$ ，即存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得

$$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{PBP}^{-1},$$

则对任意多项式 $g(\lambda)$ ，有

$$g(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{P} g(\boldsymbol{B}) \boldsymbol{P}^{-1}.$$

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分块对角阵的方幂

定理 设方阵 $\boldsymbol{A}$ 是分块对角矩阵

$$\mathrm{diag}\{\boldsymbol{A}_1,\boldsymbol{A}_2,\ldots,\boldsymbol{A}_s\},$$

则对任意多项式 $g(\lambda)$ ，有

$$g(\boldsymbol{A})=\mathrm{diag}\{g(\boldsymbol{A}_1),g(\boldsymbol{A}_2),\ldots,g(\boldsymbol{A}_s)\}.$$

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例 设

$$g(\lambda)=2 \lambda^{10}-\lambda^{8}+\lambda+10,$$

试求方阵多项式 $g(\boldsymbol{A})$ ，其中

$$\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}{3} & {-1} & {0} \\ {0} & {2} & {0} \\ {1} & {-1} & {2}\end{array}\right]$$

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提示

• $|\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}{\lambda-3} & {1} & {0} \\ {0} & {\lambda-2} & {0} \\ {-1} & {1} & {\lambda-2}\end{array}\right|=(\lambda-2)^{2}(\lambda-3)$
  
  • $\boldsymbol{A}$ 的特征值： $\lambda_{1}=3, \quad \lambda_{2}=\lambda_{3}=2$
• $\boldsymbol{A}-3 I=\left[\begin{array}{ccc}{0} & {-1} & {0} \\ {0} & {-1} & {0} \\ {1} & {-1} & {-1}\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccc}{0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \\ {1} & {0} & {-1}\end{array}\right]$
  
  • 对应的特征向量 $\boldsymbol{x}_1=[1\;\;0\;\;1]^{\mathrm{T}}$

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• $\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{I}=\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \\ {1} & {-1} & {0}\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0}\end{array}\right]$
  
  • 特征向量 $\boldsymbol{x}_2=[1\;\;1\;\;0]^{\mathrm{T}},\;\boldsymbol{x}_3=[0\;\;0\;\;1]^{\mathrm{T}}$
• $\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}{\boldsymbol{x}_{1}} & {\boldsymbol{x}_{2}} & {\boldsymbol{x}_{3}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{1} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {1} & {0} & {1}\end{array}\right]$
  
  • $\boldsymbol{P}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {-1} & {1} & {1}\end{array}\right]$
• $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}\left[\begin{array}{ccc}{3} & {} \\ {} & {2} \\ {} & {} & {2}\end{array}\right] \boldsymbol{P}^{-1} \triangleq \boldsymbol{P} \boldsymbol{J} \boldsymbol{P}^{-1}$

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• $g(\boldsymbol{J})=2 \boldsymbol{J}^{10}-\boldsymbol{J}^{8}+\boldsymbol{J}+10 \boldsymbol{I}=\left[\begin{array}{ccc}{17 \times 3^{8}+13} & {} & {} \\ {} & {7 \times 2^{8}+12} & {} \\ {} & {} & {7 \times 2^{8}+12}\end{array}\right]$
• $g(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{P} g(\boldsymbol{J}) \boldsymbol{P}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{17 \times 3^{8}+13} & {-17 \times 3^{8}+7 \times 2^{8}-1} & {0} \\ {0} & {7 \times 2^{8}+12} & {0} \\ {17 \times 3^{8}-7 \times 2^{8}+1} & {-17 \times 3^{8}+7 \times 2^{8}-1} & {7 \times 2^{8}+12}\end{array}\right]$

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Jordan 块的方幂

例 设 $\boldsymbol{J}$ 是 $r$ 阶 Jordan 块，

$$\boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda_{0}} & {1} & {} & {} \\ {} & {\lambda_{0}} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {1} \\ {} & {} & {} & {\lambda_{0}}\end{array}\right]_{r \times r}$$

试求 $\boldsymbol{J}^{k}\;(k \geq r-1)$ .

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提示

• 令 $\boldsymbol{U}=\left[\begin{array}{cccc}{0} & {1} & {} & {} \\ {} & {0} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {1} \\ {} & {} & {} & {0}\end{array}\right]_{r\times r}$
• $\boldsymbol{U}^{2}=\left[\begin{array}{cccc}{0} & {1} & {} & {} \\ {} & {0} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {1} \\ {} & {} & {} & {0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{0} & {1} & {} & {} \\ {} & {0} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {1} \\ {} & {} & {} & {0}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}{0} & {0} & {1} & {} & {} \\ {} & {0} & {0} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {\ddots} & {1} \\ {} & {} & {} & {\ddots} & {0} \\ {} & {} & {} & {} & {0}\end{array}\right]$

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• $\boldsymbol{U}^{3}=\boldsymbol{U}^{2} \times \boldsymbol{U}=\left[\begin{array}{ccccc}{0} & {0} & {1} & {} & {} \\ {} & {0} & {0} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {\ddots} & {1} \\ {} & {} & {} & {\ddots} & {0} \\ {} & {} & {} & {} & {0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{0} & {1} & {} & {} \\ {} & {0} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {1} \\ {} & {} & {} & {0}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}{0} & {0} & {0} & {1} & {} & {} \\ {} & {0} & {0} & {0} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {0} & {0} & {\ddots} & {1} \\ {} & {} & {} & {\ddots} & {\ddots} & {0} \\ {} & {} & {} & {} & {\ddots} & {0} \\ {} & {} & {} & {}& & {0}\end{array}\right]$

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• $i<r$ 时
  
  • $\boldsymbol{U}^{i}=\boldsymbol{U}^{i-1} \boldsymbol{U}=\left[\begin{array}{ccccccc}{0} & {\cdots} & {0} & {1} & {0} & {\cdots} & {0} \\ {} & {\ddots} & {\ddots} & {\ddots} & {1} & {\ddots} & {\vdots} \\ {} & {} & {\ddots} & {\ddots} & {\ddots} & {\ddots} & {0} \\ {} & {} & {} & {\ddots} & {\ddots} & {\ddots} & {1} \\ {} & {} & {} & {} & {\ddots} & {\ddots} & {0} \\ {} & {} & {} & {} & {} & {\ddots} & {\vdots} \\ {} & {} & {} & {} & {}& & {0}\end{array}\right]$
• $i\geq r$ 时， $\boldsymbol{U}^i=0$

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• $\displaystyle \boldsymbol{J}^{k}=\left(\lambda_{0} \boldsymbol{I}+\boldsymbol{U}\right)^{k}=\sum_{i=0}^{k} \frac{k(k-1) \cdots(k-i+1)}{i !} \lambda_{0}^{k-i} \boldsymbol{U}^{i}$
  
  • $=\left.\sum_{i=0}^{k} \frac{1}{i !} \frac{\mathrm{d}^{i}}{\mathrm{d} \lambda^{i}}\left(\lambda^{k}\right)\right|_{\lambda=\lambda_{0}} \boldsymbol{U}^{i}=\sum_{i=0}^{k} \frac{1}{i !} \bbox[yellow]{\left(\lambda_0^k\right)^{(i)}} \boldsymbol{U}^{i}$
• 特别地，若 $r\leq k$，则
  
  • $\boldsymbol{J}^{k}=\lambda_{0}^{k} \boldsymbol{I}+\left(\lambda_{0}^{k}\right)^{\prime} \boldsymbol{U}+\frac{1}{2 !}\left(\lambda_{0}^{k}\right)^{\prime \prime} \boldsymbol{U}^{2}+\cdots+\frac{1}{(r-1) !}\left(\lambda_{0}^{k}\right)^{(r-1)} \boldsymbol{U}^{r-1}$

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最后得到，

$$\boldsymbol{J}^{k}=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda_{0}^{k}} & {\left(\lambda_{0}^{k}\right)^{\prime}} & {\frac{1}{2 !}\left(\lambda_{0}^{k}\right)^{\prime \prime}} & {\cdots} & {\frac{1}{(r-1) !}\left(\lambda_{0}^{k}\right)^{(r-1)}} \\ &{\lambda_{0}^{k}} & {\left(\lambda_{0}^{k}\right)^{\prime}} & {\ddots} & {\vdots} \\ & {} & {\ddots} & {\ddots} & {\frac{1}{2 !}\left(\lambda_{0}^{k}\right)^{\prime \prime}} \\ &{} & {} & {\ddots} & {\left(\lambda_{0}^{k}\right)^{\prime}} \\ &{} & {} & {} & {\lambda_{0}^{k}}\end{array}\right]_{r\times r}$$

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例 求 $\boldsymbol{J}^4$ ，其中 $\boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{lll}{1} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right] .$

• $\boldsymbol{J}^{k}=\left[\begin{array}{ccc}{\lambda_{0}^{k}} & {\left(\lambda_{0}^{k}\right)^{\prime}} & {\frac{1}{2 !}\left(\lambda_{0}^{k}\right)^{\prime \prime}} \\ {} & {\lambda_{0}^{k}} & {\left(\lambda_{0}^{k}\right)^{\prime}} \\ {} & {} & {\lambda_{0}^{k}}\end{array}\right]$
• $\boldsymbol{J}^4=\left[\begin{array}{lll}{1} & {4} & {6} \\ {} & {1} & {4} \\ {} & {} & {1}\end{array}\right]$

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2.3.2 零化多项式

设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $n$ 阶方阵，若存在多项式

$$g(\lambda)=a_{m} \lambda^{m}+a_{m-1} \lambda^{m-1}+...+a_1\lambda+a_{0}$$

使得 $g(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{O}$ ，则称 $g(\lambda)$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的一个 零化多项式 (Annihilation Polynomial)

• $\boldsymbol{O}$ 表示零矩阵.

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例 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}{2} & {0} & {0} \\ {0} & {2} & {1} \\ {0} & {0} & {2}\end{array}\right] ,$

• 则 $g(\lambda)=(\lambda-2)^2$ 是 $A$ 的零化多项式.
• 事实上， $g(\boldsymbol{A})=(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{I})^{2}$
  
  • $=\left[\begin{array}{lll}{0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \\ {0} & {0} & {0}\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{lll}{0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \\ {0} & {0} & {0}\end{array}\right]=\boldsymbol{O}.$
• 是否每个方阵都有零化多项式？
• 如果一个方阵有零化多项式，如何求它？

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零化多项式的应用：简化方阵多项式的计算

• 问题：给定方阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $m$ 次多项式 $f(\lambda)$，计算 $f(\boldsymbol{A})$
• 设 $g(\lambda)$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的零化多形式，次数为 $n$
• 利用多项式的除法，多项式 $f(\lambda)$ 可以写为 $f(\lambda)=p(\lambda)g(\lambda)+q(\lambda)$ 的形式，
  
  • 其中 $p(\lambda),q(\lambda)$ 均为关于 $\lambda$ 的多项式，
  • $q(\lambda)$ 的次数不超过 $n-1$.
• 因为 $g(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{O}$，故 $f(\boldsymbol{A})=q(\boldsymbol{A})$.
• 计算 $f(\boldsymbol{A})$ 可以转换为计算一个次数不超过 $n-1$ 的方阵多项式 $q(\boldsymbol{A})$.

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Cayley-Hamilton 定理

任意 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式

$$f_{{A}}(\lambda)=|\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}|=\lambda^{n}+a_{1} \lambda^{n-1}+\cdots+a_{n-1} \lambda+a_{n}$$

是 $\boldsymbol{A}$ 的一个零化多项式.

• Cayley-Hamilton 定理[1]说明任意 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ ，都存在次数不超过 $n$ 的零化多项式

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证明要点

• 设 $\boldsymbol{B}(\lambda)$ 是 $\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则
  
  • $\boldsymbol{B}(\lambda)(\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=|\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}|\boldsymbol{I} =f_{A}(\lambda) \boldsymbol{I}$.
• 因为 $\boldsymbol{B}(\lambda)$ 中的元素都是矩阵 $\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}$ 中元素的代数余子式，
  
  • 所以 $\boldsymbol{B}(\lambda)$ 中的元素都是 $\lambda$ 的多项式，且次数不超过 $n-1$.
• 于是 $\boldsymbol{B}(\lambda)$ 可表示为 $\boldsymbol{B}(\lambda)=\lambda^{n-1} \boldsymbol{B}_{n-1}+\lambda^{n-2} \boldsymbol{B}_{n-2}+\cdots+\boldsymbol{B}_{0}$，
  
  • 其中 $\boldsymbol{B}_{0}, \boldsymbol{B}_{1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{n-1}$ 都是不含 $\lambda$ 的矩阵.
• $\boldsymbol{B}(\lambda)(\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})$
  
  • $=\lambda^{n} \boldsymbol{B}_{n-1}+\lambda^{n-1}\left(\boldsymbol{B}_{n-2}-\boldsymbol{B}_{n-1} \boldsymbol{A}\right)+\cdots+\lambda\left(\boldsymbol{B}_{0}-\boldsymbol{B}_{1} \boldsymbol{A}\right)-\boldsymbol{B}_{0} \boldsymbol{A}$.

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• 设 $f_{A}(\lambda) \boldsymbol{I}=\lambda^{n} \boldsymbol{I}+a_{n-1} \lambda^{n-1} \boldsymbol{I}+\cdots+a_{1} \lambda \boldsymbol{I}+a_{0} \boldsymbol{I}$.
• $\boldsymbol{B}(\lambda)(\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=f_{A}(\lambda) \boldsymbol{I}$ 当且仅当 $\left\{\begin{aligned} \boldsymbol{B}_{n-1} &=\boldsymbol{I} \\ \boldsymbol{B}_{n-2}-\boldsymbol{B}_{n-1} \boldsymbol{A} &=a_{n-1} \boldsymbol{I} \\ \boldsymbol{B}_{n-3}-\boldsymbol{B}_{n-2} \boldsymbol{A} &=a_{n-2} \boldsymbol{I} \\ \vdots & \\ \boldsymbol{B}_{0}-\boldsymbol{B}_{1} \boldsymbol{A} &=a_{1} \boldsymbol{I} \\-\boldsymbol{B}_{0} \boldsymbol{A} &=a_{0} \boldsymbol{I} \end{aligned}\right.$
• $f_{A}(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{A}^{n}+a_{n-1} \boldsymbol{A}^{n-1}+\cdots+a_{1} \boldsymbol{A}+a_{0}\boldsymbol{I}$
  
  • $=\boldsymbol{B}_{n-1}\boldsymbol{A}^n+(\boldsymbol{B}_{n-2}-\boldsymbol{B}_{n-1}\boldsymbol{A})\boldsymbol{A}^{n-1}+(\boldsymbol{B}_{n-3}-\boldsymbol{B}_{n-2}\boldsymbol{A})\boldsymbol{A}^{n-2}$
  • $\quad +...+(\boldsymbol{B}_{0}-\boldsymbol{B}_{1}\boldsymbol{A})\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}_0\boldsymbol{A}= \boldsymbol{O}$

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例 已知

$$\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}{1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {2} & {2}\end{array}\right] ,$$

计算

$$f(\boldsymbol{A})=2 \boldsymbol{A}^{8}-3 \boldsymbol{A}^{5}+\boldsymbol{A}^{4}+\boldsymbol{A}^{2}-4 \boldsymbol{I}.$$

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提示：

• $f_{A}(\lambda)=\left|\begin{array}{ccc}{\lambda-1} & {0} & {0} \\ {0} & {\lambda-1} & {0} \\ {0} & {-2} & {\lambda-2}\end{array}\right|=(\lambda-1)^{2}(\lambda-2)$
• 设 $f(\lambda)=2 \lambda^{8}-3 \lambda^{5}+\lambda^{4}+\lambda^{2}-4=p(\lambda) f_{A}(\lambda)+a \lambda^{2}+b \lambda+c$
  
  • $a,b,c$ 待定
• 将 $\boldsymbol{A}$ 的特征值带入
  
  • $\left\{\begin{array}{l}{f(1)=-3=p(1) f_{A}(1)+a+b+c} \\ {f’(1)=7=p’(1) f_{A}(1)+p(1) f_{A}^{\prime}(1)+2 a+b} \\ {f(2)=432=p(2) f_{A}(2)+4 a+2 b+c}\end{array}\right.$

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• 即： $\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=-3} \\ {2 a+b=7} \\ {4 a+2 b+c=432}\end{array}\right.$
  
  • 解得： $a=428,b=-849,c=418$
• $f(\boldsymbol{A})={a} {\boldsymbol{A}}^{2}+{b} \boldsymbol{A}+{c} \boldsymbol{I}=\left[\begin{array}{ccc}{-3} & {0} & {0} \\ {0} & {-3} & {0} \\ {0} & {870} & {432}\end{array}\right]$

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2.3.3 最小多项式

方阵 $\boldsymbol{A}$ 的次数最低的首一零化多项式称为 $\boldsymbol{A}$ 的 最小多项式(Minimal Polynomial)，记为 $m_A(\lambda)$ .

• 定理 设 $m_{A}(\lambda)$ 是方阵 $\boldsymbol{A}$ 的最小多项式，则:
  
  1. $\boldsymbol{A}$ 的任何零化多项式都能被 $m_{A}(\lambda)$ 整除;
  2. $\boldsymbol{A}$ 的最小多项式是唯一的;
  3. $\lambda_0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 $\Leftrightarrow m_A(\lambda_0)=0$.

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证明：1. $\boldsymbol{A}$ 的任何零化多项式都能被 $m_{A}(\lambda)$ 整除.

• 反证法：设 $g(\lambda)$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的零化多项式，但无法被 $m_A(\lambda)$ 整除.
• 记 $g(\lambda)=p(\lambda)m_A(\lambda)+q(\lambda),$
  
  • 其中 $p(\lambda),q(\lambda)$ 均为多项式，且 $q(\lambda)$ 的次数小于 $m_A(\lambda)$ 的次数.
• 注意到 $\boldsymbol{O}=g(\boldsymbol{A})=p(\boldsymbol{A})m_A(\boldsymbol{A})+q(\boldsymbol{A})=q(\boldsymbol{A}),$
• 故 $q(\lambda)$ 也是 $\boldsymbol{A}$ 的零化多项式.
• 而 $q(\lambda)$ 比 $m_A(\lambda)$ 次数更低，这就与 $m_A(\lambda)$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的最小多项式矛盾.

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证明：3. $\lambda_0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 $\Leftrightarrow m_A(\lambda_0)=0$

• 必要性（ $\Rightarrow$ ）
  
  • 设 $\lambda_0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值， $\boldsymbol{x}$ 是其对应的特征向量
  • $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\lambda_{0} \boldsymbol{x} \Rightarrow \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{x}=\lambda_{0}^{2} \boldsymbol{x} \Rightarrow \ldots \Rightarrow \boldsymbol{A}^{m} \boldsymbol{x}=\lambda_{0}^{m} \boldsymbol{x}$
  • 设 $m_{A}(\lambda)=\lambda^{k}+c_{1} \lambda^{k-1}+\dots+c_{k-1} \lambda+c_{k}$
  • $\boldsymbol{0}={m}_{A}(\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}$
    
    • $=\left(\boldsymbol{A}^{k}+{c}_{1} \boldsymbol{A}^{k-1}+\cdots+{c}_{k-1} \boldsymbol{A}+{c}_{k} \boldsymbol{I}\right)\boldsymbol{x}$
    • $= \lambda_{0}^{k} \boldsymbol{x}+c_{1} \lambda_{0}^{k-1} \boldsymbol{x}+\cdots+c_{k-1} \lambda_{0} \boldsymbol{x}+c_{k} \boldsymbol{x}$
    • $=m_{A}\left(\lambda_{0}\right)\boldsymbol{x}$

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证明思路：3. $\lambda_0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 $\Leftrightarrow m_A(\lambda_0)=0$

• 充分性（ $\Leftarrow$ ）
  
  • 设 $m_A(\lambda_0)=0$
  • $m_A(\lambda)$ 可以整除 $f_A(\lambda)$
  • 则必有 $f_A(\lambda_0)=0$
  • 即 $\lambda_0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值

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最小多项式的一般形式

设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式

$$f_{A}(\lambda)=\prod_{i=1}^{s}(\lambda-\lambda_i)^{n_i}$$

其中 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{s}$ 各不相同. 则 $\boldsymbol{A}$ 的最小多项式形如

$$m_{A}(\lambda)=\prod_{i=1}^{s}(\lambda-\lambda_i)^{\bbox[lightgreen]{m_i}}$$

其中 $\bbox[lightgreen]{1 \leq m_{i} \leq n_{i}}, \quad i=1,2, \cdots, s$

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例 求

$$\boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda_{0}} & {1} & {} & {} \\ {} & {\lambda_{0}} & {\ddots} & {} {} \\ {} & {} & {\ddots} & {1} \\ {} & {} & {} & {\lambda_{0}}\end{array}\right]_{r \times r}$$

的最小多项式.

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提示：

• $\boldsymbol{J}$ 的特征多项式： $f_{J}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{r}$
• 设 $m_J(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^k,\;1\leq k\leq r$
• $\boldsymbol{J}-\lambda_{0} \boldsymbol{I}=\left[\begin{array}{cccc}{0} & {1} & {} & {} \\ {} & {0} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {1} \\ {} & {} & {} & {0}\end{array}\right] \neq\boldsymbol{O}$
• $\left(\boldsymbol{J}-\lambda_{0} \boldsymbol{I}\right)^{2}=\left[\begin{array}{ccccc}{0} & {0} & {1} & {} & {} \\ {} & {0} & {0} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {\ddots} & {1} \\ {} & {} & {} & {0} & {0} \\ {} & {} & {} & {} & {0}\end{array}\right]\ne\boldsymbol{O}$

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• $\left(\boldsymbol{J}-\lambda_{0} \boldsymbol{I}\right)^{r-1}=\left[\begin{array}{cccc}{0} & {\cdots} & {0} & {1} \\ {} & {0} & {\ddots} & {0} \\ {} & {} & {\ddots} & {\vdots} \\ {} & {} & {} & {0}\end{array}\right]\ne \boldsymbol{O}$
• $\left(\boldsymbol{J}-\lambda_{0} \boldsymbol{I}\right)^{r}=\boldsymbol{O}$
• $\boldsymbol{J}$ 的最小多项式为 $(\lambda-\lambda_0)^r$

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分块对角阵的最小多项式

定理 设方阵 $\boldsymbol{A}$ 为分块对角阵

$$\boldsymbol{A}=\mathrm{diag}\{\boldsymbol{A}_1,\boldsymbol{A}_2,...,\boldsymbol{A}_s\}$$

若 $\boldsymbol{A}_i(i=1,2,\ldots,s)$ 的最小多项式为 $m_i(\lambda)$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 的最小多项式是 $m_1(\lambda),m_2(\lambda),\ldots,m_s(\lambda)$ 的最小公倍式 (Minimal Common Multiple).

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证明思路 以 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{A}_1\\ &\boldsymbol{A}_2\end{array}\right]$ 为例

• 设 $m(\lambda)$ 是 $\boldsymbol{A}_1,\boldsymbol{A}_2$ 的最小多项式的最小公倍式
  
  • 则 $m(\lambda)$ 可以同时被 $m_{{A}_1}(\lambda)$ 和 $m_{{A}_2}(\lambda)$ 整除
  • 设 $m(\lambda)=m_{{A}_1}(\lambda)p_1(\lambda)=m_{{A}_2}(\lambda)p_2(\lambda)$
• $m(\boldsymbol{A})=m\left(\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{A}_1\\ &\boldsymbol{A}_2\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c} m(\boldsymbol{A}_1)\\ &m(\boldsymbol{A}_2)\end{array}\right]$
  
  • $\left[\begin{array}{c} m_{{A}_1}(\boldsymbol{A}_1)p_1(\boldsymbol{A}_1)\\ &m_{{A}_2}(\boldsymbol{A}_2)p_2(\boldsymbol{A}_2)\end{array}\right]=\boldsymbol{O}$,
• 这说明 $m(\boldsymbol{A})$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的零化多项式.

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• 另一方面，设 $m^*(\lambda)$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的任一零化多项式，以下证明 $m(\lambda)$ 可以整除 $m^*(\lambda)$
• $m^*(\boldsymbol{A})=\left[\begin{array}{c} m^*(\boldsymbol{A}_1)\\ &m^*(\boldsymbol{A}_2)\end{array}\right]=\boldsymbol{O}$，
  
  • 说明 $m^*(\lambda)$ 同时为 $\boldsymbol{A}_1,\boldsymbol{A}_2$ 的零化多项式，
  • 因此 $m_{{A}_1}(\lambda)$ 和 $m_{{A}_2}(\lambda)$ 必可同时整除 $m^*(\lambda)$，
  • 从而 $m_{{A}_1}(\lambda),m_{{A}_2}(\lambda)$ 的最小公倍式 $m(\lambda)$ 必可整除 $m^*(\lambda)$.
• 综上，$m(\lambda)=m_{A}(\lambda)$.

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• 另一方面，设 $m^*(\lambda)$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的任一零化多项式，以下证明 $m(\lambda)$ 可以整除 $m^*(\lambda)$
• $m^*(\boldsymbol{A})=\left[\begin{array}{c} m^*(\boldsymbol{A}_1)\\ &m^*(\boldsymbol{A}_2)\end{array}\right]=\boldsymbol{O}$，
  
  • 说明 $m^*(\lambda)$ 同时为 $\boldsymbol{A}_1,\boldsymbol{A}_2$ 的零化多项式，
  • 因此 $m_{\boldsymbol{A}_1}(\lambda)$ 和 $m_{\boldsymbol{A}_2}(\lambda)$ 必可同时整除 $m^*(\lambda)$，
  • 从而 $m_{\boldsymbol{A}_1}(\lambda),m_{\boldsymbol{A}_2}(\lambda)$ 的最小公倍式 $m(\lambda)$ 必可整除 $m^*(\lambda)$.
• 综上，$m(\lambda)=m_\boldsymbol{A}(\lambda)$.

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例 求

$$\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccccc}{2} & {1} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {2} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {2} & {-1} & {-1} \\ {0} & {0} & {0} & {5} & {3} \\ {0} & {0} & {0} & {-4} & {-2}\end{array}\right]$$

的最小多项式.

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提示

• 记 $\boldsymbol{A}=\mathrm{diag}\{\boldsymbol{A}_1,\boldsymbol{A}_2\}$
• $\boldsymbol{A}_{1}=\left[\begin{array}{ll}{2} & {1} \\ {0} & {2}\end{array}\right]$ 的最小多项式 $m_{1}(\lambda)=(\lambda-2)^{2}$
• $\boldsymbol{A}_{2}=\left[\begin{array}{ccc}{2} & {-1} & {-1} \\ {0} & {5} & {3} \\ {0} & {-4} & {-2}\end{array}\right]$ 的特征多项式 $f_{A_{2}}(\lambda)=(\lambda-2)^{2}(\lambda-1)$
• 因为 $\left(\boldsymbol{A}_{2}-2 \boldsymbol{I}\right)\left(\boldsymbol{A}_{2}-\boldsymbol{I}\right)=\left[\begin{array}{ccc}{0} & {-1} & {-1} \\ {0} & {3} & {3} \\ {0} & {-4} & {-4}\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {-1} \\ {0} & {4} & {3} \\ {0} & {-4} & {-3}\end{array}\right]=\boldsymbol{O}$
• $\boldsymbol{A}_2$ 的最小多项式 $m_{2}(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda-1)$
• $\boldsymbol{A}$ 的最小多项式 $m_{A}(\lambda)=(\lambda-2)^{2}(\lambda-1)$

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相似矩阵的最小多项式

定理 相似矩阵有相同的最小多项式.

• 提示：
  
  • $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{BP}$，则 $g(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{P}^{-1}g(\boldsymbol{B})\boldsymbol{P}$
  • $g(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{O}\Leftrightarrow g(\boldsymbol{B})=\boldsymbol{O}$
  • 即：相似矩阵有相同的零化多项式

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• 利用 Jordan 标准形求方阵的最小多项式
  
  1. 求出方阵的 Jordan 标准形
  2. 将相同特征值对应的 Jordan 块相邻排列，进而将 Jordan 标准形划分为不同的子 Jordan 阵
  3. 将每个子 Jordan 阵中的最大 Jordan 块对应的最小多项式相乘，既得对应方阵的最小多项式

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推论 方阵 $\boldsymbol{A}$ 可相似对角化，当且仅当 $m_A(\lambda)=0$ 没有重根.

• 提示：$m_A(\lambda)=0$ 没有重根，当且仅当 $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan 标准型中的所有 Jordan 块均是一阶的.

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特征多项式、最小多项式与 Jordan 标准形

设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式

$$f_{A}(\lambda)=|\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}|=\prod_{i=1}^{s}(\lambda-\lambda_i)^{n_i},$$

• 其中 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{s}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的所有不同特征值,
• 各特征值的几何重数 $k_{i}=\operatorname{dim} V_{\lambda_{i}}, i=1,2, \cdots, s$.
• 设 $\boldsymbol{A}$ 的最小多项式 $m_{A}(\lambda)=\prod_{i=1}^{s}(\lambda-\lambda_i)^{m_i}$.

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• 设 $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan 标准形由 $s$ 个子 Jordan 矩阵构成：
  
  • $\boldsymbol{J}=\mathrm{diag}\{\boldsymbol{J}_1,\boldsymbol{J}_2,\ldots,\boldsymbol{J}_s\}$,
  • $\boldsymbol{J}_i$ 是对角元为 $\lambda_i$ 的 $n_i$ 阶子 Jordan 矩阵.
• $\lambda_i$ 的几何重数为 $k_i$ 意味着：
  
  • $\boldsymbol{J}_i$ 由 $k_i$ 个 Jordan 块构成，记为 $\boldsymbol{J}_{i}=\mathrm{diag}\{\boldsymbol{J}_{i1},\boldsymbol{J}_{i2},...,\boldsymbol{J}_{ik_i}\}$,
  • 其中 $\boldsymbol{J}_{i 1}, \boldsymbol{J}_{i 2}, \cdots, \boldsymbol{J}_{i k_i}$ 是对角元为 $\lambda_i$ 的 Jordan 块.
• 由 $m_{A}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{m_{1}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{m_{2}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{s}\right)^{m_{s}}$ 可知
  
  • $\boldsymbol{J}_i$ 中的 Jordan 块 $\boldsymbol{J}_{i 1}, \boldsymbol{J}_{i 2}, \cdots, \boldsymbol{J}_{i k_{i}}$ 的最高阶数为 $m_i$.

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例 设 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式和最小多项式分别为

$$f_{A}(\lambda)=(\lambda-3)^{4}(\lambda-2)^{2},$$

$$m_{A}(\lambda)=(\lambda-3)^{2}(\lambda-2)^{2}.$$

试确定 $\boldsymbol{A}$ 的所有可能 Jordan 标准形（不考虑 Jordan 块的排列顺序）.

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提示：

• $\boldsymbol{A}$ 有两个不同的特征值 $3$ 和 $2$ ，代数重数分别是 $4$ 和 $2$
• $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan 标准形由两个子 Jordan 矩阵 $\boldsymbol{J}_1$ 和 $\boldsymbol{J}_2$ 构成，阶数分别为 $4$ 和 $2$
  
  • $\boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{cc}{\boldsymbol{J}_{1}} & {} \\ {} & {\boldsymbol{J}_{2}}\end{array}\right]$
  • $\boldsymbol{J}_{1}=\left[\begin{array}{cccc}{3} & {?} & {} & {} \\ {} & {3} & {?} & {} \\ {} & {} & {3} & {?} \\ {} & {} & {} & {3}\end{array}\right]$, $\boldsymbol{J}_{2}=\left[\begin{array}{ll}{2} & {?} \\ {} & {2}\end{array}\right]$

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• $m_{A}(\lambda)=(\lambda-3)^{2}(\lambda-2)^{2}$
  
  • $\boldsymbol{J}_1$ 中的 Jordan 块最高阶为 $2$
  • $\boldsymbol{J}_2$ 中的 Jordan 块最高阶为 $2$
• $\boldsymbol{J}_{1}=\left[\begin{array}{cccc}{3} & {1} & {} & {} \\ {} & {3} & {0} & {} \\ {} & {} & {3} & {1} \\ {} & {} & {} & {3}\end{array}\right]$ 或 $\left[\begin{array}{cccc}{3} & {0} & {} & {} \\ {} & {3} & {0} & {} \\ {} & {} & {3} & {1} \\ {} & {} & {} & {3}\end{array}\right]$
• $\boldsymbol{J}_{2}=\left[\begin{array}{ll}{2} & {1} \\ {} & {2}\end{array}\right]$

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• $\boldsymbol{A}$ 的所有可能的 Jordan 标准形
  
  • $\boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{cccccc}{3} & {1} & {} & {} & {} \\ {} & {3} & {} & {} & {} \\ {} & {} & {3} & {1} & {} \\ {} & {} & {} & {3} & {} & {} \\ {} & {} & {} & {} & {2} & {1} \\ {} & {} & {} & {} & & {2}\end{array}\right]$ 或 $\left[\begin{array}{cccc}{3} & {} & {} & {} \\ {} & {3} & {} & {} \\ {} & {} & {3} & {1} \\ {} & {} & {} & {3} & {} \\ {} & {} & &{} & {2} & {1} \\ {} & {} & {} & & & {2}\end{array}\right]$

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小结

• 计算方阵的幂
  
  • 相似对角化法
  • 最小多项式法
• Cayley-Hamilton定理：特征多项式也是零化多项式
• 最小多项式
  
  • 与特征多项式的联系
  • 与 Jordan 标准形的关系
  • 最小多项式的计算
    
    • 待定系数法

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C-H 定理的应用：判断线性系统的可控性

例 考虑带输入的线性系统

$$\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{Ax}(t-1)+\boldsymbol{Bu}(t),$$

其中 $\boldsymbol{x}(t),\boldsymbol{u}(t)\in\mathbb{R}^n$ 分别表示时刻 $t$ 下系统的状态和对系统的输入，简单起见，令初值 $\boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{0}$. 矩阵 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 分别刻画了系统前一个状态和系统输入对后续状态的影响.

• 控制目标： 通过调节 $\boldsymbol{u}(t)$，使 $\boldsymbol{x}(t)$ 到达某个期望的状态值 $\boldsymbol{w}$.
• 问题： 对于任意给定的 $\boldsymbol{w}$，控制目标都是可以达成的吗？(系统的可控性如何)

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分析：

• 记 $\boldsymbol{W}(t)=[\boldsymbol{B}\;\boldsymbol{AB}\;\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{B}\;...\;\boldsymbol{A}^{t-1}\boldsymbol{B}]$，$\boldsymbol{v}(t)=[\boldsymbol{u}(t)\;\boldsymbol{u}(t-1)\;...\;\boldsymbol{u}(1)]^{\mathrm{T}}$，则 $\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{W}(t)\boldsymbol{v}(t)$.
• 所谓系统可控，可以解释为：对于某个 $t$，$\mathscr{R}(\boldsymbol{W}(t))=\mathbb{R}^n$，或者说，当 $t$ 充分大时，$\mathrm{rank}(\boldsymbol{W}(t))=n$.
• 于是问题转换为：对于充分大的 $t$，可否满足 $\mathrm{rank}(\boldsymbol{W}(t))=n$？
• 由 C-H 定理，$f_A(\boldsymbol{A})=\sum\limits_{i=0}^nc_i\boldsymbol{A}^i=\boldsymbol{O}$，也即
  
  • $\boldsymbol{A}^n=-c_{n-1}\boldsymbol{A}^{n-1}-...-c_1\boldsymbol{A}_1-c_0\boldsymbol{I}_n$

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• 注意到
  
  • $\boldsymbol{W}(n+1)=[\boldsymbol{B}\;...\;\boldsymbol{A}^{n-1}\boldsymbol{B}\;\boldsymbol{A}^n\boldsymbol{B}]$
  • $=\boldsymbol{W}(n)\begin{bmatrix}\boldsymbol{I}_n & & & -c_0\boldsymbol{I}_n\\ & \ddots & & \vdots \\ & & \boldsymbol{I}_n & -c_{n-1}\boldsymbol{I}_n\end{bmatrix}$
• 由此可知 $\mathrm{rank}(\boldsymbol{W}(n+1))=\mathrm{rank}(\boldsymbol{W}(n))$
• 这意味着 $t=n$ 之后，系统的可达范围就不再有任何改变了，因此只要讨论 $\mathrm{rank}(\boldsymbol{W}(n))$ 即可对系统的可控性给出最终的判断.

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History of C-H theorem

• A special case of the theorem was first proved by Hamilton in 1853 in terms of inverses of linear functions of quaternions（四元数）. This corresponds to the special case of certain 4 × 4 real or 2 × 2 complex matrices.
• Cayley in 1858 stated the result for 3 × 3 and smaller matrices, but only published a proof for the 2 × 2 case. As for n × n matrices, Cayley stated
  
  • “..., I have not thought it necessary to undertake the labor of a formal proof of the theorem in the general case of a matrix of any degree”.
• The general case was first proved by Ferdinand Frobenius in 1878.