3.2 矩阵序列与矩阵级数

高等工程数学 讲义 2024AU

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3.2.1 矩阵序列的极限

设 $\boldsymbol{A}_{k}=\left[a_{i j}^{(k)}\right] \in \mathbb{C}^{m \times n}$，$\boldsymbol{A}=\left[a_{i j}\right] \in \mathbb{C}^{m \times n}$ ，若

$$\lim _{k \rightarrow \infty} a_{i j}^{(k)}=a_{i j} \quad(1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n)$$

则称 矩阵序列 (Matrix Sequence) $\{\boldsymbol{A}_k\}$ 收敛到 (Converge to) 矩阵 $\boldsymbol{A}$ .

• 记为 $\displaystyle\lim _{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{A}_{k}=\boldsymbol{A}$
• 矩阵序列收敛等价于其中每个位置上的数列均收敛.

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例 $\displaystyle \boldsymbol{A}_{k}=\left[\begin{array}{cc}{\frac{2 k^{2}+k+1}{k^{2}}} & {\frac{\sin k}{k}} \\ {e^{-k} \sin k} & {\frac{3 k^{2}+1}{k^{2}}}\end{array}\right], (k=1,2, \cdots)$ ，讨论 $\{\boldsymbol{A}_k\}$ 的敛散性.

• $\lim _{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{A}_{k}=\left[\begin{array}{ll}{2} & {0} \\ {0} & {3}\end{array}\right]$

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收敛的矩阵序列的性质

设 $\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{A}_{k}=\boldsymbol{A}, \lim _{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{B}_{k}=\boldsymbol{B}$ ，则

• $\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty}\left(c_{1} \boldsymbol{A}_{k}+c_{2} \boldsymbol{B}_{k}\right)=c_{1} \boldsymbol{A}+c_{2} \boldsymbol{B}$
• $\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty}\left(\boldsymbol{A}_{k} \boldsymbol{B}_{k}\right)=\boldsymbol{A B}$

• 若 $\boldsymbol{A}_k,\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{A}_{k}^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}$

• 极限运算可以和矩阵的线性运算、矩阵乘法和矩阵的逆交换次序.

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矩阵序列收敛的等价定义

定理 设 $\boldsymbol{A}_{k}=\left[a_{i j}^{(k)}\right] \in \mathbb{C}^{m \times n}, \boldsymbol{A}=\left[a_{i j}\right] \in \mathbb{C}^{m \times n}$ ，$\|\cdot\|$ 为任意的矩阵范数，则 $\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{A}_{k}=\boldsymbol{A}$，当且仅当 $\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty}\left\|\boldsymbol{A}_{k}-\boldsymbol{A}\right\|=0$.

• 注：与向量范数类似，矩阵空间 $\mathbb{C}^{m\times n}$ 上的任意两种矩阵范数都相互等价

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方阵的幂序列

定理 $\boldsymbol{A} \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，则 $\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{A}^{k}=\boldsymbol{O} \Leftrightarrow \rho(\boldsymbol{A})<1$ .

• 设 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}\mathrm{diag}\{\boldsymbol{J}_1,\boldsymbol{J}_2,\ldots,\boldsymbol{J}_s\}\boldsymbol{P}^{-1}$
  
  • 其中 $\boldsymbol{J}_i(i=1,2,\ldots,s)$ 为 Jordan 块
• $\boldsymbol{A}^{k}=\boldsymbol{P}\left[\begin{array}{ccc}{\boldsymbol{J}_{1}^{k}} & {} & {} \\ {} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {\boldsymbol{J}_{s}^{k}}\end{array}\right] \boldsymbol{P}^{-1}$
• $\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{A}^{k}=\boldsymbol{O} \Leftrightarrow \lim _{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{J}_{i}^{k}=\boldsymbol{O}, \; i=1,2, \cdots, s$

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• 设 $\boldsymbol{J}_{i}=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda_{i}} & {1} & {} & {}\\ {} & {\lambda_{i}} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {1} \\ {} & {} & {} & {\lambda_{i}}\end{array}\right]_{r \times r}$
• $k\geq r$ 时
  
  • $\boldsymbol{J}_{i}^{k}=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda_{i}^{k}} & {\left(\lambda_{i}^{k}\right)^{\prime}} & {\frac{1}{2 !}\left(\lambda_{i}^{k}\right)^{\prime \prime}} & {\cdots} & {\frac{1}{(r-1) !}\left(\lambda_{i}^{k}\right)^{(r-1)}} \\ &{\lambda_{i}^{k}} & {\left(\lambda_{i}^{k}\right)^{\prime}} & {\ddots} & {\vdots} \\ {}& & {\ddots} & {\ddots} & {\frac{1}{2 !}\left(\lambda_{i}^{k}\right)^{\prime \prime}} \\ &{} & {} & {\lambda_{i}^{k}} & {\left(\lambda_{i}^{k}\right)^{\prime}} \\& {} & {} & {} & {\lambda_{i}^{k}}\end{array}\right]_{r\times r}$

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• 设 $\boldsymbol{J}_{i}=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda_{i}} & {1} & {} & {}\\ {} & {\lambda_{i}} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {1} \\ {} & {} & {} & {\lambda_{i}}\end{array}\right]_{r \times r}$
• $k\geq r$ 时
  
  • $\boldsymbol{J}_{i}^{k}=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda_{i}^{k}} & {\left(\lambda_{i}^{k}\right)^{\prime}} & {\frac{1}{2 !}\left(\lambda_{i}^{k}\right)^{\prime \prime}} & {\cdots} & {\frac{1}{(r-1) !}\left(\lambda_{i}^{k}\right)^{(r-1)}} \\ &{\lambda_{i}^{k}} & {\left(\lambda_{i}^{k}\right)^{\prime}} & {\ddots} & {\vdots} \\ {}& & {\ddots} & {\ddots} & {\frac{1}{2 !}\left(\lambda_{i}^{k}\right)^{\prime \prime}} \\ &{} & {} & {\lambda_{i}^{k}} & {\left(\lambda_{i}^{k}\right)^{\prime}} \\& {} & {} & {} & {\lambda_{i}^{k}}\end{array}\right]_{r\times r}$

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• $\boldsymbol{J}_{i}^{k}=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda_{i}^{k}} & k\lambda_i^{k-1} & C_k^2\lambda_i^{k-2} & {\cdots} & C_k^{r-1}\lambda_i^{k-r+1} \\ &{\lambda_{i}^{k}} & k\lambda_i^{k-1} & {\ddots} & {\vdots} \\ {}& & {\ddots} & {\ddots} & C_k^2\lambda_i^{k-2} \\ &{} & {} & {\lambda_{i}^{k}} & k\lambda_i^{k-1} \\& {} & {} & {} & {\lambda_{i}^{k}}\end{array}\right]$
• $\bbox[lightgreen]{\lim\limits_{k\to\infty}C_k^j\lambda_i^{k-j}=0,\;(j=0,1,...,r-1)\Leftrightarrow|\lambda_i|<1}$
• 故 $\lim _{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{J}_{i}^{k}=\boldsymbol{O} \Leftrightarrow\left|\lambda_{i}\right|<1, \quad i=1,2, \cdots, s$
  
  • $\Leftrightarrow \rho(\boldsymbol{A})<1$

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方阵幂序列收敛的一个充分条件

推论 $\boldsymbol{A} \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，若存在 $\|\boldsymbol{A}\|<1$，则 $\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{A}^{k}=\boldsymbol{O}$ .

• 思考： $\displaystyle \lim _{k \to \infty} \boldsymbol{A}^{k}=\boldsymbol{O}$ 可否推出 $\|\boldsymbol{A}\|<1$ ？
• 不可以!
  
  • 例如： $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}{0.1} & {1} \\ {0} & {0.1}\end{array}\right]$，$\|\boldsymbol{A}\|_1=1.1$
  • $\boldsymbol{A}^{k}=\left[\begin{array}{cc}{0.1^{k}} & {k 0.1^{k-1}} \\ 0 & {0.1^{k}}\end{array}\right]$
    
    • $\displaystyle \lim _{k \to \infty} \boldsymbol{A}^{k}=\boldsymbol{O}$

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例 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}{c} & {2 c} \\ {3 c} & {2 c}\end{array}\right]$ ，求 $\lim _{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{A}^{k}=\boldsymbol{O}$ 的充要条件.

• 提示:

  • $\boldsymbol{A}$ 的特征值 $\lambda_{1}=4 c, \quad \lambda_{2}=-c$
  • $\rho(\boldsymbol{A})=4|c|$
  • $\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{A}^{k}=\boldsymbol{O}$
    
    • $\Leftrightarrow \rho(\boldsymbol{A})<1$
    • $\Leftrightarrow|c|<1 / 4$

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3.2.2 矩阵级数

对矩阵序列 $\{\boldsymbol{A}_{k}\}$ ，定义其 $\boldsymbol{S}_{n}=\sum_{k=1}^{n} \boldsymbol{A}_{k}$ ，若

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \boldsymbol{S}_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \boldsymbol{A}_{k}=\boldsymbol{S}$$

存在，则称 矩阵级数 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \boldsymbol{A}_{k}$ 收敛，其 和 记为 $\boldsymbol{S}$ .

• 否则称矩阵级数 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \boldsymbol{A}_{k}$ 发散 (Diverge)

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例 $\displaystyle \boldsymbol{A}_{k}=\left[\begin{array}{cc}{\frac{1}{k(k+1)}} & {0} \\ {0} & {\frac{2 k}{3^{k}}}\end{array}\right], \quad k=1,2, \cdots$ ，讨论级数 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \boldsymbol{A}_{k}$ 的敛散性. 若收敛，求其和.

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附注：幂级数在收敛域内的性质

• 设 $\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}c_kx^k, (|x|< R)$，则
  
  • $\displaystyle f'(x)=\sum_{k=1}^{\infty}c_kkx^{k-1}, (|x|< R)$
  • $\displaystyle\int_0^xf(t)\mathrm{d}t=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{c_kx^{k+1}}{k+1}+C, (|x|< R)$
• 幂级数逐项求导或逐项积分后，收敛域不变，且在收敛域内，求导运算和积分运算可以和无穷和交换次序.

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提示

• $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1{n+1}\right)=1$
• 因为 $|x|<1$ 时，$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} x^k=\frac1{1-x}$
  
  • 从而 $|x|<1$ 时，$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} kx^{k-1}=\frac1{(1-x)^2}$
  • 进而 $|x|<1$ 时，$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} kx^{k}=\frac{x}{(1-x)^2}$
• 令 $\displaystyle x=\frac13$，则 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{3^{k}}=\sum_{k=1}^{\infty} k\left(\frac{1}{3}\right)^{k}=\frac{3}{4}$
• $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \boldsymbol{A}_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}\left[\begin{array}{cc}{\frac{1}{k(k+1)}} & {0} \\ {0} & {\frac{2 k}{3^{k}}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{1} & {0} \\ {0} & {\frac{3}{2}}\end{array}\right]$

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3.2.3 方阵幂级数

设 $\boldsymbol{A} \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，$c_k\in\mathbb{C}\;(k\in\mathbb{N})$， $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k} \boldsymbol{A}^{k}$ 称为 方阵幂级数 (Power Series of Square Matrix)

• 回顾：设幂级数 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k} z^{k}$ 的收敛半径(Convergence Radius) 为 $R$
  
  • $|z|<R$ 时， $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k} z^{k}$ 收敛
  • $|z|>R$ 时， $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k} z^{k}$ 发散
• $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k} \boldsymbol{A}^{k}$ 和 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k} z^{k}$ 的敛散性有什么联系？

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方阵幂级数的敛散性

定理 设幂级数 $\sum_{k=0}^{\infty} c_{k} z^{k}$ 的收敛半径为 $R$

1. 当 $\rho(\boldsymbol{A})<R$ 时， $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k} \boldsymbol{A}^{k}$ 收敛

2. 当 $\rho(\boldsymbol{A})>R$ 时， $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k} \boldsymbol{A}^{k}$ 发散

   • 当 $\rho(\boldsymbol{A})=R$ 时， $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k} \boldsymbol{A}^{k}$ 敛散性需要用其他方法确定

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证明思路

• 记 $S_{n}(z)=\sum_{k=0}^{n} c_{k} z^{k}$.
• 设 $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan 标准形为 $\mathrm{diag}\{\boldsymbol{J}_1,\boldsymbol{J}_2,\ldots,\boldsymbol{J}_s\}$，
  
  • 其中 $\boldsymbol{J}_{i}=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda_{i}} & {1} & {} & {} \\ {} & {\lambda_{i}} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {1} \\ {} & {} & {} & {\lambda_{i}}\end{array}\right]_{r \times r} ,i=1,2,\ldots,s$ 为 Jordan 块.
• 显然，$S_{n}(\boldsymbol{A})$ 收敛$\Leftrightarrow$所有的 $S_{n}(\boldsymbol{J}_i)$ 收敛，$i=1,2,\ldots,s$.

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• $S_n(\boldsymbol{J}_i)=\sum\limits_{k=0}^nc_k\boldsymbol{J}_i^k$
  
  • $=c_0\boldsymbol{I}+c_1\begin{bmatrix}\lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}\lambda_i^2 & (\lambda_i^2)' & \dfrac{(\lambda_i^2)''}{2!} & \cdots & 0 \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots\end{bmatrix}$
    
    • $+c_3\begin{bmatrix}\lambda_i^3 & (\lambda_i^3)' & \dfrac{(\lambda_i^3)''}{2!} & \cdots & 0 \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots\end{bmatrix}$
    • $+...+c_n\begin{bmatrix}\lambda_i^n & (\lambda_i^n)' & \dfrac{(\lambda_i^n)''}{2!} & \cdots & \dfrac{(\lambda_i^n)^{(r-1)}}{(r-1)!} \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots\end{bmatrix}$

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• 记 $S_n(\boldsymbol{J}_i)=\begin{bmatrix}f_1(\lambda_i) & f_2(\lambda_i) & f_2(\lambda_i) & \cdots & f_r(\lambda_i) \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots\end{bmatrix}$，则
  
  • $f_1(\lambda_i)=c_0+c_1\lambda_i+c_2\lambda_i^2+c_3\lambda_i^3+...+c_n\lambda_i^n=S_n(\lambda_i)$.
  • $f_2(\lambda_i)=\dfrac{1}{2!}\left[c_1(\lambda_i)'+c_2(\lambda_i^2)'+c_3(\lambda_i^3)'+...+c_n(\lambda_i^n)'\right]=S'_n(\lambda_i)$.
  • $f_3(\lambda_i)=\dfrac{1}{3!}\left[c_2(\lambda_i^2)''+c_3(\lambda_i^3)''+...+c_n(\lambda_i^n)''\right]=S''_n(\lambda_i)$.
  • ......
  • $f_r(\lambda_i)=\dfrac{1}{(r-1)!}\left[c_{r-1}(\lambda_i^{r-1})^{(r-1)}+...+c_n(\lambda_i^n)^{(r-1)}\right]=S^{(r-1)}_n(\lambda_i)$.

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• 由此可得 $S_{n}\left(\boldsymbol{J}_{i}\right)=\left[\begin{array}{cccc}{S_{n}\left(\lambda_{i}\right)} & {S_{n}^{\prime}\left(\lambda_{i}\right)} & {\frac{1}{2 !} S_{n}^{\prime \prime}\left(\lambda_{i}\right)} & {\cdots} & {\frac{S_{n}^{(r-1)}\left(\lambda_{i}\right)}{(r-1) !}} \\ {} & {S_{n}\left(\lambda_{i}\right)} & {S_{n}^{\prime}\left(\lambda_{i}\right)} & {\ddots} & {\vdots} \\ {} & {} & {S_{n}\left(\lambda_{i}\right)} & {\ddots} & {\frac{1}{2 !} S_{n}^{\prime \prime}\left(\lambda_{i}\right)} \\ &{} & {} & {\ddots} & {S_{n}^{\prime}\left(\lambda_{i}\right)} \\ &{} & {} & {} & {S_{n}\left(\lambda_{i}\right)} \end{array}\right]_{r\times r}$.
• 注意到当 $\left|\lambda_{i}\right|<R$ 时，$\{S_n(\lambda_i)\}$ 收敛，
• 由幂级数的性质，当 $\left|\lambda_{i}\right|<R$ 时，对任意正整数 $j$，$\{S^{(j)}_n(\lambda_i)\}$ 收敛.
• 进而可知 $S_n(\boldsymbol{J}_i)$ 收敛.

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例 判断下列方阵幂级数的敛散性

(1) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}{\frac{1}{2}} & {4} \\ {0} & {\frac{2}{3}}\end{array}\right]$ ，级数 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \boldsymbol{A}^{k}$
(2) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}{-1} & {0} \\ {2} & {-1}\end{array}\right]$ ，级数 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} \boldsymbol{A}^{k}$

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提示： (1) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}{\frac{1}{2}} & {4} \\ {0} & {\frac{2}{3}}\end{array}\right]$ ，级数 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \boldsymbol{A}^{k}$

• $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} z^{k}$ 的收敛半径 $R=1$
• $\displaystyle \rho(\boldsymbol{A})=\max \left\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right\}=\frac{2}{3}<R$
• $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \boldsymbol{A}^{k}$ 收敛

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提示： 2. $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}{-1} & {0} \\ {2} & {-1}\end{array}\right]$ ，级数 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} \boldsymbol{A}^{k}$

• $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} z^{k}$ 的收敛半径 $R=1$
• $\rho(\boldsymbol{A})=1=R$
• $\displaystyle \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}{-1} & {0} \\ {2} & {-1}\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{cc}{-\frac{1}{2}} & {0} \\ {1} & {-\frac{1}{2}}\end{array}\right]$
• $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} \boldsymbol{A}^{k}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} 2^{k}\left[\begin{array}{cc}{-\frac{1}{2}} & {0} \\ {1} & {-\frac{1}{2}}\end{array}\right]^{k} =\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} 2^{k}\left[\begin{array}{cc}{\left(-\frac{1}{2}\right)^{k}} & {0} \\ {k\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1}} & {\left(-\frac{1}{2}\right)^{k}}\end{array}\right]$
  
  • $\displaystyle =\left[\begin{array}{cc}{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k^{2}}} & {0} \\ {2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k}} & {\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k^{2}}}\end{array}\right]$ 收敛

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小结

• 方阵序列的敛散性等价于其每个位置上的数列的敛散性
  
  • $\{\boldsymbol{A}^k\}$ 收敛 $\Leftrightarrow\;\rho(\boldsymbol{A})<1$
• 方阵幂级数
  
  • 参考幂级数的敛散性
  • 用谱半径作为方阵的基本度量

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补充例题

例 讨论方阵幂级数 $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\boldsymbol{A}^k$ 的敛散性.

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分析：

• 幂级数 $\sum\limits_{k=0}^{\infty}z^k$ 的收敛半径为 $1$，则当 $\rho(\boldsymbol{A})<1$ 时，$\sum\limits_{k=0}^{\infty}A^k$ 收敛，当 $\rho(\boldsymbol{A})>1$ 时，$\sum\limits_{k=0}^{\infty}\boldsymbol{A}^k$ 发散。
• 以下讨论 $\rho(\boldsymbol{A})=1$ 时 $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\boldsymbol{A}^k$ 的敛散性，不妨设 $|\lambda_1|=1$
• 设 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}\mathrm{diag}\{\boldsymbol{J}_1,\boldsymbol{J}_2,...,\boldsymbol{J}_s\}\boldsymbol{P}^{-1}$, 其中 $\boldsymbol{J}_s$ 均为 Jordan 块
• 于是 $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\boldsymbol{A}^k=\boldsymbol{P}\mathrm{diag}\left\{\sum\limits_{k=0}^{\infty}(\boldsymbol{J}_1)^k,\sum\limits_{k=0}^{\infty}(\boldsymbol{J}_2)^k,...,\sum\limits_{k=0}^{\infty}(\boldsymbol{J}_s)^k\right\}\boldsymbol{P}^{-1}$
  
  • 其中 $\sum\limits_{k=0}^{\infty}(\boldsymbol{J}_1)^k$ 的对角元为 $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\lambda_1^k$

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• 当 $|z|=1$ 时，可设 $z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$
• 于是 $\sum\limits_{k=0}^{\infty}z^k=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i}k\theta}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\cos k\theta+\mathrm{i}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\sin k\theta$
• 可以证明级数 $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\cos k\theta$ 和 $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\sin k\theta$ 均发散
• 故此时幂级数 $\sum\limits_{k=0}^{\infty}z^k$ 发散
• 于是可知 $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\lambda_1^k$ 发散
• 从而 $\sum\limits_{k=0}^{\infty}(\boldsymbol{J}_1)^k$ 发散，进而 $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\boldsymbol{A}^k$ 发散
• 综上，当 $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\boldsymbol{A}^k$ 当且仅当 $\rho(\boldsymbol{A})<1$ 是收敛. 其和为 $(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}$.

• $x=0$ 时，该级数显然发散
• $x\ne 0$ 时
  
  • $\cos x +\cos 2x+\ldots+\cos kx$
  • $= \dfrac{\sin\frac x2\cos x +\sin\frac x2\cos 2x+\ldots+\sin\frac x2\cos kx}{\sin\frac x2}$
  • $= \dfrac{\frac12\left(\sin\frac32x-\sin\frac x2+\sin\frac52x-\sin\frac32x+\ldots+\sin\frac{2k+1}2x-\sin\frac{2k-1}2x\right)}{\sin\frac x2}$
  • $= \dfrac{\sin\frac{2k+1}2x-\sin\frac x2}{2\sin\frac x2}$
  • 由此易知 $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\cos kx$ 发散

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例 当复常数 $c$ 满足什么条件时，幂级数

$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac1k\left[\begin{array}{c}2c & 1 \\ 0 & c\end{array}\right]^k$$

收敛.

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分析：

• 记 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{c}2c & 1\\ 0 & c\end{array}\right]$
• 易知 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $2c,c$，进而 $\rho(\boldsymbol{A})=2|c|$
• 级数 $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{z^k}k$ 的收敛半径为 $1$，故
  
  • 当 $|c|<\frac12$ 时，$\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{\boldsymbol{A}^k}k$ 收敛
  • 当 $|c|>\frac12$ 时，$\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{\boldsymbol{A}^k}k$ 发散
• 以下讨论 $|c|=\frac12$ 时 $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{\boldsymbol{A}^k}k$ 的敛散性

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• 注意到 $c\ne 0$ 时 $\boldsymbol{A}$ 可以相似对角化
• 故设 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}\mathrm{diag}\{2c,c\}\boldsymbol{P}^{-1}$，则 $\boldsymbol{A}^k=\boldsymbol{P}\mathrm{diag}\{2^kc^k,c^k\}\boldsymbol{P}^{-1}$
• 从而 $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{\boldsymbol{A}^k}k=\boldsymbol{P}\mathrm{diag}\left\{\sum\limits_{k=0}^{\infty}2^k\dfrac{c^k}k,\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{c^k}k\right\}\boldsymbol{P}^{-1}$
• 可以验证[1]，当 $|z|=1$ 且 $z\ne 1$ 时，幂级数 $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{z^k}k$ 收敛
• 故当 $|c|\le\dfrac12$ 且 $c\ne\dfrac12$ 时，$\sum\limits_{k=0}^{\infty}2^k\dfrac{c^k}k$ 收敛
  
  • 此时亦有 $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{c^k}k$ 收敛
• 综上，$\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{A^k}k$ 当且仅当 $|c|\le\dfrac12$ 且 $c\ne\dfrac12$ 时收敛.

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Dirichlet 判别法

• 定理 对于实值级数 $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kb_k$，若 $\left\{\sum\limits_{k=1}^na_k\right\}$ 有界，$\{b_k\}$ 单调趋于零，则 $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kb_k$ 收敛.

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例 讨论函数项级数 $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{\cos kx}k\;(x\ne 0)$ 的敛散性.

• 当 $x\ne 0$ 时，
  
  • $|\cos x +\cos 2x+\ldots+\cos kx|=\left|\dfrac{\sin\frac{2k+1}2x-\sin\frac x2}{2\sin\frac x2}\right|$
    
    • $\leq \dfrac1{|\sin\frac x2|}$
  • 也即 $\left\{\sum\limits_{k=1}^n\cos kx\right\}$ 有界
• 数列 $\left\{\frac1k\right\}$ 单调递减趋于零
• 于是，由 Dirichlet 判别法，级数 $\left\{\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{\cos kx}k\right\}$ 收敛

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例 讨论复值幂级数 $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{z^k}k$ 在 $|z|=1$ 上的敛散性

• 显然 $z=1$ 时，该级数退化为调和级数，是发散的
• 若 $|z|=1$ 且 $z\ne 1$，设 $z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}\;(x\ne 0)$
  
  • $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{z^k}k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}}k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\cos kx}k+\mathrm{i}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\sin kx}k$
  • 右端两个实值函数项级数均收敛
  • 故此时幂级数 $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{z^k}k$ 收敛