逻辑 推理 证明 作业

ECNU

第一二章习题：https://www.docin.com/p-1909484643.html
http://math.ecnu.edu.cn/~dpyang/Teaching/Logic/

不得不说，这课内容有点无语，好多就是抠字眼，怕是毫无意义。并不是否定这门学科有问题，但这教材的某些内容真的有问题。
而且定理内容很繁琐，其它课程都在教更简单更适合学生运算的表达方式，这课学的真的没意思。
明明学过了那么简单的式子化简，为什么还要按复杂繁冗的定理一步步来？这些定理不都是一眼看出来的显然结论吗？为什么我要一条条背写哪步都要知道它叫什么？背就背而且你定理名字非要比人家的复杂且长。

第一章

同一律（Law of Identity）

A 是 A

同一律有两层基本含义：
（1）确定性：A 首先是确定的，即 A 是什么。如果 A 不确定，既不能明确 A 自身，更不能对在不同时间、空间和条件下出现的 A 判别是否为同一的 A。所以，没有确定性就没有同一性。
（2）一贯性：在一个思维过程中，A 所表述的必须是前后一致，始终如一，不能此 A 非彼 A。

错误辨析：
逻辑错误 A：隐换论题、离题或跑题
同一律要求：在同一个思维过程中，思维的对象或论题必须同一。在讨论、回答或争论问题的时候，各方的思维对象或论题必须同一。违反这一要求的逻辑错误，称为隐换论题、离题或跑题。

逻辑错误 B：偷换或转移概念
同一律要求：在同一个思维过程中，使用的概念必须始终同一。违反这一要求的逻辑错误称为转移或偷换概念。
含义有广义狭义。

逻辑错误 C: 偷换语境
同一性要求在同一思维过程中，保持语境自身同一。
语境有广狭二义。广义语境，指陈述一个语句的全部环境条件的总和，包括语言交际的双方（说者、听者或读者）、时间、地点、所指事件的来龙去脉、知识背景以及社会环境等，狭义语境指一个语句的上下文。
语境千差万别，不同的语境环境下，相同陈述表达的概念或判断等的实质内容可能不同。脱离语句产生的语境，就不能确定一个语句表达式的真实意义和真假。一个具体的语境，具有不容混淆的确定性，凭借语境，能够取消语言的岐义性和不确定性，进而保持语义的确定性、唯一性。
引用和评论任何言论，应该保持与其所处语境的同一，不能任意改变。违反这一要求的逻辑错误，称为混淆和偷换语境。

排中律 (Law of Excluded Middle)

A 或真或假，不能真假两不可
排中律规定：反应对象的思想（概念、判断或其它思维形式）必须处于“是（真、be）”或“非（假、not be）”两种状况之一，不存在中间状况，非此即彼。
排中律排除了事物情况的中间或两种以上的多种可能性，即不可能有“第三者”，所以又称为排三律（Law of Excluded Third）。

排中律有两层含义：
（1）形式逻辑考虑的思想、概念、判断或其它思维形式有且仅有两种可能的状况：一种称为“真”（是），一种称为“假”（非）。我们统一表述为“真”或“假”。
（2）任何思想、概念、判断或其它思维形式所处的状态必须二者居其一，含可此可彼。不能形成真假两不可的局面。

明显具有两种以上状态的问题显然不适用排中律，需要应用“多值逻辑”。对象不明确的问题，需要应用“模糊逻辑”或“概率逻辑”。因此，排中律仅是形式逻辑（二值逻辑）中的基本定律。
任何逻辑体系都有自己的使用条件和作用范围。排中律限定了形式逻辑仅适用和有效于涉及只有“真”和“假”两种允许状况的思维过程，因此形式逻辑是一种所谓的“二值逻辑”。

错误辨析：
A. 违反排中律，就会犯“真假两不可”的逻辑错误
B. 在不适合排中律的情形使用排中律，会犯逻辑使用不当的错误。

不适合排中律的情况：
a. 明显具有两种以上状态可能性的问题
b. 隐含某种假设的问题

无矛盾律 (Law of Non-contradiction)

反对状态：两种不能同时发生的状态，称为是上反对的状态。
下反对状态：两种不能同时不发生的状态，称为是下反对的状态。
两种上反对的状态可以同时不发生或不存在，可以伴随多种此两种状态之外的其它状态。
两种下反对的状态可以同时发生或共存。
通常，上反对的状态简称为反对的状态，其原因一是上反对的状态是最常遇到和处理的状态，二是两个下反对的状态可以描述为另外两个上反对的状态，因而无需特别讨论。

自相反对：一个事件同时处于两个相互反对的状态，称为自相反对。
无反对律：没有任何事件或事物处于自相反对的状态。可表述为：
没有 A 自相反对。

无反对律含义有两层基本含义：
（1）存在至少两种不能同时发生的状态，即相互反对的状态。无反对律不排除存在其它状态。
（2）同一思维中的任何思维形式不能同时处于两种相互反对的状态，即不能自相反对。
无反对律认定，任何自相反对的思维形式和结果一定是谬误。

自相反对的状态是普遍存在的。经典形式逻辑考虑两个特殊的反对状态。
矛盾状态：两种既不能同时发生，又不能同时不发生的状态，称为是相互矛盾的状态，简称矛盾状态。
矛盾状态即为两种既上反对又下反对的状态。如：“生”和“死”是两种矛盾的状态。它们不能同时发生，也不能同时不发生，非“生”即“死”。而“输”和“赢”不是相互矛盾的状态。
相互矛盾的状态必是相互反对的状态，相互反对的状态不一定是相互矛盾的状态。两种相互矛盾的状态必然一个发生，一个不发生。
一般语义下，“是”和“否”（或“真”和“假”）是两个相互矛盾的状态。

自相矛盾：一个事件同时处于两个相互矛盾的状态，称为自相矛盾。

无矛盾率：
没有任何 A 真假两可

严格意义的无矛盾率：（排中律和无反对律的共同限定下）
没有任何 A 自相矛盾

任何思想形式（概念、判断、命题等）不能同时“真”又“假”，即对任一事物，在同一过程、同一时间和同一意义下，不能同时处于“真”与“假”两种状况。
无矛盾律仅要求不能 A 真假两可，即不能处于两个不能同时发生的状态，但没有要求不
能 A 真假两不可。从这个意义上，无矛盾律等同于无反对律。

排中律和无矛盾律的含义有三层基本含义：
（1）有且仅有两种相互矛盾的状态，一种称为“真”，一种称为“假”。
（2）同一思维过中的任何思维形式不能同时处于这两种状态，即不能“真”“假”两可。
（3）同一思维过中的任何思维形式必须处于这两种状态之一，即不能“真”“假”两不可。
无矛盾律认定，任何自相矛盾的思维形式和结果一定是谬误。

充分理由律 (Law of Sufficient Reason)

在同一思维过程中，一个思想（概念、判断、思维形式）被确定为真，必须有其充足的理由。充足理由律的公式：
A 为真，因为由 B 真必然得到 A 为真, 并且 B 为真

充足理由律给出了判定一个思想（概念、判断、思维形式）为真的准则。充足理由律的根本作用是保证思维的论证性。思维要有论证性，才会有说服力。理由不真实、或者理由和推断之间没有必然的联系、或者理由没有充分到推出论断的程度，都会导致该思维或形式或过程或结果没有说服力。

习题

1. 无矛盾率。表述即为：有些科技人员既不懂计算机，又懂计算机，自相矛盾。
2. 排中律。伤人分为故意和过失，不能同时不属于。
3. 无矛盾率。"一定成功"和"可能失败"相互矛盾。
4. 同一律。"物质不灭"不同于"世界上的植物、动物、甚至恒星等物质的生灭"，偷换概念。
5. 充分理由律。不是充分理由。
6. 同一律。不是同一概念，偷换概念。
7. 不违反。情况可以存在两种以上状态。
8. 不违反。两句话不矛盾，可以同时发生。
9. 无矛盾律。"健在"与"身体不好"矛盾。
10. 无矛盾律。"所有"与"有一人"矛盾。
11. 同一律。两句中"兄弟"为不同概念。
12. 甲：不违反。
    乙：无矛盾率。“党风不好”与“社会风气好”矛盾。
    丙：充分理由律。不是充分理由。
    丁：不违反。
    戊：无矛盾率。甲与乙、丙与丁均矛盾。
    己：排中律。正确的论断为甲丙的两种，但除甲丙外没有其它状态，不能既不是甲又不是丙。
13. 无矛盾律。“几乎”与“肯定”矛盾。
14. 不违反。衣服可以流行两个月，衣服样品放在橱窗里挂两个月不矛盾。
15. 同一律。偷换概念，“幕后的人”与“父亲”不同。
16. 排中律。只有是否两种情况。
17. 同一律。偷换概念，“后代”不只他的后代。
18. 无矛盾律。“无私”与“互利”矛盾。
19. 同一律。“最高”的“高”标准不确定。
20. 排中律。只有两种情况。
21. 同一律。两节点间的时间与距离不同。
22. (1) 充分理由律。不是充分理由。
    (2) 充分理由律。不是充分理由。
    (3) 无矛盾律。不能同时成立。
    (4) 不违反。两句话不矛盾，可以同时发生。

第二章

概念

对象：一切能够被思考的客体。包括：有形的或无形的，物质的或思维的，存在的和不存在的。
引发人们思考的是客体的性质和关系。

性质：一个对象单独具有的特性。
关系：多个对象间的某些方面的相对性或比较特性。如：年长和年幼（年龄）、亲和疏（血缘）、多和少（数量）、轻和重（重量）、前和后（位置）、原因和结果（因果）等。其特点是比较和相对性。
属性：一个对象的性质或关系。
类：一些对象的全体称为一个类。
属性通常是个性的。但在一个类中，某些属性却是共性的。

偶有属性：类中部分对象所具有，但不是所有对象都具有的属性，称为该类的偶有属性。
特有属性：类中的对象共同具有的属性，称为该类的特有属性。分为本质属性和固有属性。
本质属性：类中对象共同具有，而别类的对象都不具有的属性，称为该类的本质属性。
固有属性：类中对象具有的非本质属性的其它特有属性（别类对象可能含有的），称为该类的固有属性。

逻辑学中研究的类不是任意分割出来的类，而是具有下述特征的类：
对象类：如果一个类中的对象具有相同的本质属性，称为一个对象类。
某个对象类的本质属性是该类区别于其它对象类的那些属性。在对象类的区分中，本质属性起决定性作用。固有属性则不具有这种性质，不同类可以具有许多相同的固有属性。固有属性大大多于本质属性。因此，在描述对象类时，应尽量去除固有属性，使得对象类简洁明了。
对象可以按照不同的本质属性形成不同的对象类。

概念：通过揭示其本质属性表征一个对象类的思维形式，其表现形式是词语。

分子：对象类中的每一对象，称为该类的分子。
子类：对象类中的对象又可以由偶有属性分成不同的子类或分类。
类可按偶有属性分成子类（如动物-界-门-纲...）；类可作分子形成新类（一个对象类也可作为对象，构成新类，作为这个新类的分子）。

内涵与外延

概念的内涵：概念所反映的对象类具有的本质属性。
概念一般是通过本质属性来表述的。
概念的外延：概念所反映的对象类中对象的全体。
概念的外延是一个由分子确定的类，表示为：$外延 =\{a\ |\ a 具有内涵所反映的本质属性\}$。
一个概念的外延是该概念所表征对象类的分子全体，不能再扩展至分子的组成部分（当分子本身可以是一个类时）。如：华师大是高校的一个外延，但华师大软院不是高校的一个外延，而是华师大直属院系的一个外延。
确定一个对象是否属于某概念的外延，标准是看它是否具有该概念的内涵。如“中国”属于“联合国成员国”和“联合国安理会成员国”的外延。

内涵与外延的关系：
a. 内涵和外延共存

• 内涵和外延是概念的两个不可分离的方面，任何概念都有内涵和外延（含空外延/空概念）。
• 内涵界定外延，外延共有内涵。
• 内涵是抽象的思维的产物，外延是个体或实体的全体。

b. 内涵与外延的反比率

概念的内涵与外延是互相制约的。内涵限定了外延，外延确定了内涵。同一个概念的内涵越多（限定越多），外延越少（满足限定的对象越少），即内涵和外延的数量向相反方向发展。形象地称这种现象为内涵与外延的反比率。（并非严格的反比率）。
例：高富帅的人：
内涵：{高} ⊂ {高、富} ⊂ {高、富、帅}
外延：{高的人} ⊃ {高且富的人} ⊃ {高富帅的人}

c. 两个概念等同是指其外延等同

一个概念只有一个外延，但其内涵的表述可以是不同的。概念的等同无法用内涵来认同。了解一个概念的外延，有助于深入理解该概念的内涵。在有些情况下，外延发挥了更大的作用。
例：三角形是三条直线围成的闭合图形和三角形是内角和为180度的闭合多边形。三条直线围成的闭合图形和内角和为180度的闭合多边形都是三角形的内涵，它们的内涵是不同的，但外延是相同的。
例：“water”、“水”和“H 2 O”是不同的内涵表述，但其外延是同一的。

d. 逻辑学研究正确形成内涵和外延的方法和规则

一个概念的外延究竟包含哪些对象，内涵究竟反映了哪些本质属性，这不是形式逻辑的研究任务，这是其它科学的研究任务。逻辑学研究正确形成概念的方法和规则。

概念的基本逻辑要求

1. 概念必须明确
概念明确，就是概念的内涵和外延两者都必须明确。即$概念明确 = 内涵明确 + 外延明确$。

A. 内涵必须明确
内涵明确：对任何一个确定的对象，能够确定它是否具有该内涵。
同一律是形式逻辑的基本且首要的要求。而同一性首先要求确定性，因而确定性是内涵明确的基本要求。

引起内涵不明确的常见原因有以下几个：
a. 内涵多意。
如：华师人一词对什么样的人是华师人没有明确定义（未毕业的、已毕业的、临时学习的...）。
b. 认知缺失。
人们对某个新事物认识不充分的情形，这种状况经常发生。但在形式逻辑里这种情况不允许发生。如：渐冻症，有关该疾病的概念的内涵是不明确的。
c. 内涵定义不当。
如：$S=\{a\ |\ a\in A 且 a\not\in A\}$；贝里悖论(Perry's Paradox):“不能用少于二十个字确定的最小自然数”（这句话的十七个字可以确定那个二十个字的自然数）。

B. 外延必须明确
外延明确：对任何一个确定的对象，能够确定它是否属于该外延。
在一个概念中，外延是由内涵界定的，内涵不确定，必然导致外延的不确定。但内涵确定，一定导致外延确定吗？

a. 内涵无法验证，导致外延不确定。
如：华裔的内涵可以定义为：祖上具有华人的血统。这个内涵很确定。但在实际操作中，该内涵的检验仅在理论上可行，但如果不确定上溯到多少代，这个内涵实际上无法操作验证。因此其外延是无法确定的。“华裔”就是不确定的外延。
b. 外延不封闭，导致外延不确定。
有些情形，内涵确定且可以验证，但由此内涵产生的外延不封闭，从而外延不确定。如：罗素悖论中，满足那一内涵的外延是不确定的。

定义

定义是揭示概念表述的本质属性的一种常用方式。

定义的一般形式
定义由三部分组成：
被定义项：具备所揭示的内涵的项，即为表示概念的那个词语。
定义项：揭示被定义项具备的内涵的词语。
定义联项：表示定义项与被定义项必然联系（关系）的项。
定义项和被定义项可以是名词、词组或语句。
如：直角三角形是有一个角是直角的三角形”，“直角三角形”是被定义项，即意图形成的概念；定义项是“一个角是直角的三角形”，即概念表达的内涵；“是”为定义联项。

定义的方式
1. 真实定义
揭示对象类的本质属性，一般结构为：Ds(被定义项) 是 Dp(定义项)。

2. 发生定义
事物发生或形成过程中的情况或产生的结果。
如：圆是由一线段的端点在平面上绕另一端不动点运动而形成的一条封闭曲线。

3. 属加种差定义
定义项为属加种差的方式。一般结构为：Ds(被定义项) =（邻近）属 + 种差。
属是具有某种共有属性的类，种是具有偶有属性的子类，种中可以划分为子种称为种差。
属加种差定义方式就是通过邻近属和种差一步步的细分/限定，逐步达到本质属性。
如：
鸟是有羽毛的卵生的动物。其中动物是属，羽毛和卵生是种的差别。
天文学是研究天体结构和演化的科学。
偶数就是能被2整除的整数。其中整数是属（界定整数），被2整除是种差，将整数分成不同的种类。

4. 因果定义
利用因果关系给出定义。
如：痢疾是由于细菌在肠内寄生而产生的疾病。

5. 词语定义
分为两种：
a. 说明定义：通过说明给出某个词语的定义。
如：犊表示小牛。“第一宇宙速度”是每秒 7.9 公里的速度。
b. 规定定义：对一个词语规定一个新的意义。
如：“双百方针”是中国共产党提出的百花齐放、百家争鸣的方针。“双百方针”本身没有确切的意义，这个定义给它规定了新的意义。

定义的规则
定义的基本要求：按照逻辑学基本规律，一个准确定义的基本要求是定义必须明确。
保证定义明确，应遵循下述基本原则：

1. 定义项的认知度高于被定义项
严格地讲，应该用已被明确定义的概念，定义未被定义的概念。这一规则是同一律和充分理由律的要求。
至少用较为普及、更广为人知和接受的概念，定义较为生疏的概念。违反这一规则，称为晦涩定义。

2. 定义项中不能直接地或间接地包括被定义项
直接包含称为同意反复，间接包含称为循环定义。二者都称自我指称或自我相关，导致不确定性，不满足同一律。
a. 包含直接循环定义的例子：
麻醉 就是 麻醉剂 所起的作用。（定义项直接含被定义项麻醉）
生命 就是 有生命的物质 的生理现象。（定义项直接含被定义项生命）
b. 包含间接（隐含）循环定义的例子：
太阳 是 白天发光 的星体。（白天隐含太阳白天的照射）
直线 是 不曲 的线。（曲相对于直，除非特别定义了曲，否则就隐含了直）
违反这个规则，有时会产生悖论。

悖论：无法满足形式逻辑基本规律的语句称为悖论。
如：这句话是假的。
该例特点是“部分指称整体”：主语包括了整个句子（当然包含主语自己），从而定义项包含了被定义项。
自我指称是产生悖论的重要根源。但自我指称不一定都会产生悖论。如：“这句话是中文”。
自我指称导致被定义项的不确定性（部分含整体、整体含部分，一词两意），不满足同一律，即使在非悖论的情形，在形式逻辑体系中也是不允许的。
如：
$S=\{x\ |\ x\notin S\}$，在定义$S$时使用了$S$本身。
罗素悖论。

3. 定义一般是肯定性陈述，除非必要和明确，定义项不应当是否定的
定义的目的是描述被定义项蕴含的本质属性。否定性定义项表示对象类不具有某种共有属性，通常并不能确定对象类具有某种本质属性。
定义项包含否定性陈述不是绝对不允许的，在很多情况下还是必需的。在使用否定性陈述，即当 A 被定义为非 B 时，A 和 B 在所属论域内必须互补，即 A 和 B 二者的外延互不相交，且二者的外延之和恰为所考虑的对象的论域全部。
如：
无机物是不含碳的化合物。化合物可分为含碳和不含碳两类，前者称为有机物，后者称为无机物，二者在化合物中互补。
健康是非病状态，为错误定义。人的身体状况并非仅健康或病态两种状态，健康和病态之间还有称之为亚健康的过渡状态。

4. 定义项中不能包括含混、歧义和比喻的概念或词语
定义项中如果包括了含混的概念或词语，定义项就是不明确的，从而不能达到明确被定义项的作用，不满足同一律。
使用比喻作为定义，不够严谨。

5. 定义项的外延与被定义项的外延必须是全同的
在交流和论辩中，为沟通各自采用的概念的内涵同一性，人们经常采用说明的方式进一步诠释被定义项或给出等价的定义。此时定义项和被定义项的外延必须全同，这是形式逻辑同一律的要求。
违反这条规则的情况有两种：
a. 定义项的外延多于被定义项的外延，称为定义太宽的错误。
b. 定义项的外延少于被定义项的外延，称为定义太狭的错误。

划分

清晰了解外延的最简单直接方法是列出所有分子。但当一个概念的外延中有很多甚至无穷多分子时，就不能用列举的方法了。划分是明确概念外延的一种逻辑方法。

类是具有共同本质属性的对象总体，类中具有某些偶有属性的对象总体称为一个子类。
属与种：类称为子类的属，子类称为属的种。
划分：划分是将一个大类根据偶有属性的不同分成几个小类的逻辑方法，也即将属分为几个种的逻辑方法。
如：将树木分成针叶树与阔叶树两个小类，则树木是针叶树与阔叶树的属，针叶树与阔叶树是树木的种。

划分涉及下面几个方面：
母项与子项：一个大类（或属）分成几个小类（或种），前者称为划分的母项，后者称为划分的子项。
划分标准（划分根据）：将一个母项划分为几个子项，必须根据一个标准来进行，划分时所根据的标准称为划分标准或划分根据。划分的标准可以是一个属性，也可以是几个属性。
子项相容：子项相容指子项的外延之间相交。

划分的规则
划分的基本要求：划分必须是明确的。
保证划分的明确性，应遵循以下规则：

1. 划分的各个子项应当互不相容
如果有两个子项之间相交，就会有一些事物，既属于这个子项，又属于另一个子项，可能会引起混乱，不满足同一律。违反这条划分规则的错误，叫做子项相容的错误。

2. 各子项外延之和必须与母项外延相同
违反这个原则，会出现两种错误：
a. 如果子项外延之和小于母项外延，母项外延中的一些对象被遗漏了，此类错误称为划分不全。

如：天气太热，人会不舒服；天气太冷，人也会不舒服；天气或太热，或太冷；总之，人会不舒服。这段论证中，关于天气的划分显然不全，天气还有不冷不热的情形。因此，结论显然是不对的。

b. 如果子项外延之和大于母项外延，一些对象不属于母项，此类错误称为多出子项。

3. 每次划分必须按同一标准进行
违反这一规则称为划分标准不统一。这条规则体现了形式逻辑的同一律要求。

4. 子项必须是同一层次的概念
违反这一规则称为子项不当并列。

限制 概括 分解

在施行划分时常采用限制和概括两种逻辑方法。

限制：通过增加内涵或缩小外延从属概念得到种概念的逻辑方法。
限制的作用是将一般概念再具体化。
如果一个定义过宽，可以通过限制的方法加以纠正。加限定词是常用的限制方法。
逻辑学中的限制必须在有属种关系的概念之间进行（即限制前后的对象需具有属种关系）。

概括：通过减少内涵或扩大外延从种概念得到其所在属概念的逻辑方法。
概括作用是将概念进一步一般化。
如果一个定义过窄，可以通过概括的方法加以修正。
逻辑学中的概括必须在有属种关系的概念之间进行。

除划分外，还可采用分解。

分解：将整体分成部分。
划分与分解有相同之处，二者都是讲整体分成部分，具有相同结构。
但逻辑学上的划分与分解有不同之处：划分是按偶有属性将类分成子类。分解则不一定，分解可以按任意方式进行。换言之，划分是一种特殊形式的分解。
划分后的子类与原类有种属关系。而分解产生的部分与整体之间没有种属关系。

概念的种类

论域：通常人们在一定范围内考虑某种概念，这个限定对象的范围称为论域。

设有一些属性。基于这些属性可以给出两种概念形式：
正概念：采用“具有这些属性”的方式表征的概念称为正概念。
否概念：采用“并非具有这些属性”的方式表征的概念称为否概念。
如：健康、典型肺炎是正概念，非健康、非典型性肺炎是否概念。

在确定的论域内，对任一对象类，如果用正概念形式表示它，就不能用否概念形式去表示它。反之亦然。
这是无矛盾律对概念的要求，该对象不能同时具有或者不具同一的内涵。这个要求的特点是正概念的外延与否概念的外延没有重合部分，即

又由排中律对概念的限定：该对象类或者具有或者不具有给定的内涵。这个要求的特点是正概念的外延与否概念的外延的并是整个论域，即

单独概念：外延具有独一无二的事物。
如：“中国”、“最高的山峰”、“二万五千里长征”。
普遍概念：外延包含并非独一无二的对象。
如：“国家”、“商品”、“动物”、“美丽的”。

集合体：集合体由许多对象作为部分有机地组成，其部分不必具有共有的特有属性。
集合体概念：反映集合体的概念。
非集合体概念：不是反映集合体的概念。将对象看作类。
如：“舰队”、“森林”、“政党”、“工人阶级”是集合体概念；“军舰”、“树木”、“党员”、“工人”是非集合体概念。

集合体与对象类有很大的区别：
对象类是具有某种共有属性的对象全体，相应概念表述的是共有属性。
而集合体则可以是一些不具有共有属性的对象全体，相应概念表述的是由其组成部分共同作用形成的属性。即使某些集合体是具有某种共有属性的对象全体，但当它们作为集合体看待时，对应概念表述的属性也会不同。
如：
“中国人是勤劳、智慧、勇敢的。”这里“中国人”是中华民族的集合体，是一个集合体概念，表达了中华民族整体的普遍的素质和品德。如果理解成“所有具有拥有中国国籍的人组成的类”（普遍概念），则这句话变为任何一个拥有中国国籍的人都是勤劳、智慧、勇敢的。
“人是由猿猴进化而来。张三是人。所以，张三是由猿猴进化而来的。”在这个推理中，第一个前提中的“人”是集合体，表达“人”这个物种，因而是集合体概念。第二个前提中的“人”是指具体的个体，因而是普通概念。概念没有保持同一性，因而这个推理是不正确的。

相对概念：反映具有某种关系的事物的概念。如反映年长和年幼、前和后、原因和结果等关系的概念。
绝对概念：反映具有某种独立性质的事物的概念。

概念间的关系

任何两类事物之间，都会存在相互关系。表现在概念上，就是概念间的相互关系。这种相互关系，是形式逻辑研究的对象之一。由于确定概念的因素是外延，所以概念间的相互关系表现为相应外延之间的相互关系。设 A 和 B 是两个概念，对应的外延表示为类 X 和 Y 。概念间的相互关系分成以下几类。

1. 全同关系
全同（重合、同一）: 如果概念 A 的外延与概念 B 的外延是一样的，即 X = Y 则称概念 A 和 B 是全同（重合、同一）的，二者是全同关系。
如：“正三角形”、“等角三角形”和“等边三角形”三个概念是全同关系。

2. 上属关系
上属：如果概念 A 的外延 X 包含概念 B 的外延 Y ，即 $X ⊇ Y$ ，则称概念 A 与概念 B 是上属关系，或概念 A 是概念 B 的上位概念，或 A 上属于 B。也称概念 A 为概念 B 的属概念，概念 B 为概念 A 的种概念，即 A 是 B 的属，B 是 A 的种。
如：工业上位于重工业。工业是重工业的属，重工业是工业的种。

3. 下属关系
下属：如果概念 A 的外延 X 包含于概念 B 的外延 Y 内，即 X ⊆ Y ，则称概念 A 与概念 B 是下属关系，或 A 是 B 的下位概念，或 A 下属于 B。

4. 交叉关系
交叉：如果概念 A 的外延 X 与概念 B 的外延 Y 有一部分相同，又有另一部分不同，即$X\cap Y\neq\varnothing$且$X \nsubseteq Y$和$X \nsupseteq Y$，则称概念 A 与概念 B 有交叉关系，或 A 交叉于 B。

5. 全异关系
全异（排斥）：如果概念 A 的外延 X 与概念 B 的外延 Y 完全不同，即$X \cap Y = \varnothing$，则称概念 A 与概念 B 是全异关系，或 A 全异于 B，A 和 B 相互排斥。

全异关系中有矛盾关系和反对关系两种特殊类型。
设 A（外延为 X）和 B（外延为 Y ）是全异的，且均下属于 C（外延为 Z），即$X \cap Y \subseteq Z$，会出现两种情况：
（a）X 和 Y 合起来与 Z 相同，即$X\cup Y = Z$，则称概念 A 和概念 B 在论域 Z 中是矛盾关系，或在论域 Z 中 A 与 B 是矛盾的。
（b）X 和 Y 合起来还是少于 Z，即$X \cup Y\subsetneq Z$，则称概念 A 和概念 B 在论域 Z 中有反对关系，或在论域 Z 中 A 与 B 是反对的。
反对与矛盾的区别在于：
反对情形下，论域 Z 中对任何对象，不可能同时满足 A 和 B 的本质属性，但有些可以同时不满足 A 和 B 的本质属性。在矛盾情形下，论域 Z 中对任何对象，不可能同时满足 A 和 B的本质属性，也不可能同时不满足 A 和 B 的本质属性。
如：男生与女生、牛与非牛、直边图形与曲边图形是矛盾概念；牛与马、黑与白是反对概念。

习题

一.
1. 错。性质和关系。
2. 错。需别类的对象都不具有。
3. 对。内涵界定外延，外延共有内涵。
4. 错。内涵和外延是概念的两个不可分离的方面，任何概念都有内涵和外延（含空外延）。
5. 错。一个概念只有一个外延，但其内涵的表述可以是不同的。概念的等同无法用内涵来认同。
6. 错。定义项包含否定性陈述不是绝对不允许的，在很多情况下还是必需的。
7. 错。同一个概念的内涵越多，外延越少，但不能用于两个概念间比较。

二.
1. 错。平反，是对过去的冤假错案以及不准确的认识评价做出正确的修改，定义太狭。
2. 错。符合实际的认识不一定是科学理论，定义太宽。
3. 错。两者间无种属关系。
4. 错。两者间无种属关系。

三.
1. C。概念：通过揭示其本质属性表征一个对象类的思维形式，其表现形式是词语。
2. A。非集合体概念：不是反映集合体的概念。
3. B。任何概念都有内涵和外延（含空外延）。
4. B。间接包含称为循环定义。
5. B。
6. A。各子项外延之和必须与母项外延相同。
7. B A。
8. A B。

四.
1. D D D D
2. A D
3. A C A
4. D D
5. C C

五.
1. C
2. A
3. E
4. D（不只含椭圆）
5. E
6. A
7. B
8. A
9. E
10. A
11. D
12. B

六.
1. 错。学生不一定是知识分子，无种属关系。
2. 错。勇敢和勇敢的人无种属关系。
3. 错。违法行为可限制为犯罪行为。
4. 错。限制概括反了。
5. 对。
6. 错。与专政工具无种属关系。

七.
1. 错。是不同的概念，不是种属关系。
2. 错。“中国最大的城市”与“中国北方最大的城市”不一定有同一外延，也不是种属关系。
3. 错。“亚洲”和“中国”间不是种属关系，是两个单独概念，“亚洲的某地”和“中国”才有种属关系。后面部分同理。

八.

第三章

注意，“要么... 要么... ”不包含两者同时成立的情况；“或者... 或者...”包含？
注意推断关系！“有作案行为”能推出“有作案动机”，反之不可。

命题

语句
语言学规定的语句：合乎语法规则、具有完整明确的意思，由某种语言文字的词语和词组组成的语言单位，包括陈述句、疑问句、祈使句、感叹句四种类型。
语句是思维表达的载体。在经典形式逻辑体系下，思维过程中使用的语句的表述方式必须满足逻辑学基本规律的要求。对于语句而言，排中律和无矛盾律的要求为：
排中律：语句明确表述或肯定或否定的意义。
无矛盾律：同一语句中不能表述同时肯定和否定。

语句的赋值
语句的真值和假值 一个陈述句所表达的事件或含义是否真实，引出逻辑学中关于语句的“真”值和“假”值问题，统称为真值问题。
真值承担者 如果语句能够取“真”或“假”值，称该语句可以作为真值承担者。尽管很多情形人们不知道该语句取何值，但至少其或真或假是有确切含义的。

命题
命题（Proposition）是具有下述两个特征的语句：
(1) 表述的内容和形式或者肯定或者否定，二者必居且仅居其一。
(2) 表达的事件与含义或者为真或者为假，二者必居且仅居其一。

判断（Judgment）是一种重要的思维形式，即对思维对象是否具有某种性质或某种关系给出的断言。判断具有真假性。
陈述（Statement）是一个或真或假的陈述语句。

二值逻辑 从命题的定义我们可以看出，经典逻辑学讨论的语句仅包含肯定和否定两种选择，语句取值也仅有真与假两种可能的取舍，因而是所谓“二值逻辑”。这种二值性，也决定了形式逻辑仅适用于确定性问题，在数学领域，适用于确定性数学。
有大量多值的语句，这些语句需要采用不同的逻辑来处理。

等值的命题（Equivalent proposition) 两个同时取真值，也同时取假值的命题称为等值的命
题，即 p 为真，则 q 为真，且 p 为假，则 q 为假。如果两个命题 p 和 q 等值，则记为 p = q。

(上) 反对的命题 (Contrary proposition) 两个不能同时取真值的命题称为（上）反对的命题。

命题 3.1 同时出现的两个互相反对的命题必有一假。
定理 3.1 如果两个互相反对的命题同时为真，则违反无反对律。

下反对的命题 两个不能同时取假值的命题称为下反对的命题。

命题 3.2 同时出现的两个互相下反对的命题必有一真。
定理 3.2 如果两个互相下反对的命题同时为假，则违反无反对律。

矛盾的命题 (Contradictory proposition) 两个不能同取真值，也不能同时取假值的命题称为
矛盾的命题。

命题 3.3 两个互相矛盾的命题必有一真一假。
定理 3.3 在同一思维过程中，如果两个互相矛盾的命题同时断言为真或同时断言为假，则违反无矛盾律。

复合命题

复合命题 用一定的联接词连接若干个命题而形成的命题称为复合命题。
复合命题形式上是复合句，其子句皆为命题，称为该复合命题的支命题。

在复合命题中，联接词分为两类：
一类联接词构成的复合命题的真假是完全由它联接的支命题的真假决定的，联接词表现的是命题之间的逻辑关系，与命题的内容无关，这类联接词称为逻辑联接词。
另一类联接词构成的复合命题的真假不是由它联接的支命题的真假决定的，而与其内容有关。此类联接词称为非逻辑联接词。

真值表 设复合命题$\alpha(p_1,p_2,···,p_n)$。将支命题$p_1,p_2,···,p_n$的取值与对应 $\alpha(p_1,p_2,··· ,p_n)$的取值的所有情况排成一个表，称为该复合命题的真值表。（取值均为0或1）
$n$个支命题的真值表有$2^n$行。

定义 3.7 设$\alpha=\alpha(p_1,p_2,···,p_n)$是任意复合命题。称一组命题$p_1,p_2,···,p_n$构成复合命题命题$\alpha$，当且仅当这组命题满足$\alpha$的真值表。
一个复合命题可以表征为一张真值表。反之，每一张真值表对应着一类复合命题，这一类复合命题的内容和表示形式是多种多样的，但它们内涵的逻辑约束是一样的。

定义 3.8 设$\alpha=\alpha(p_1,p_2,···,p_n)$和$\beta=\beta(p_1,p_2,···,p_n)$是任意复合命题。称二者是等值的，记为$α = β$，当且仅当两者真值表相同。

基本复合命题

否命题
否命题是最简单的复合命题，它形式上仅涉及一个支命题，故称为一元复合命题。

否命题 (Negation) 设 p 是一个命题。称一个命题是 p 的否命题，记为\neg p，如果始终满足$\neg p=1-p$。

命题 3.4 (双否律) 设 p 是任意命题，则 \neg \neg p = p。

合取命题/联言命题（与）
定义 3.10 设 p 和 q 是任意的命题。称 p 和 q 构成合取命题，记为 p ∧ q，如果满足当且仅当 p, q 同时为真时为真。

一般合取命题
合取命题可以推广到含多个支命题的情形。
定义 3.11 设$p_1,p_2,···,p_n$是任意命题。称$p_1,p_2,···,p_n$构成一个合取命题，记为$p_1\land p_2\land ···\land p_n$，如果满足当且仅当所有都为真时为真。

析取命题/选言命题/可兼析取命题（Disjunction）（或）
定义 3.13 设 p 和 q 是任意命题。称 p 和 q 构成析取命题，记为 p ∨ q，如果 p 和 q 满足当且仅当 p, q 均为假时为假。

一般析取命题
析取命题可以推广到含多个支命题的情形。

不可兼析取命题（异或）
定义 3.16 设任意命题 p 和 q。称 p 和 q 构成不可兼析取命题，记为 p ⊕ q，如果满足当且仅当 p, q 取值不同时为真。

一般不可兼析取命题
不可兼析取命题可以推广到含多个支命题的情形。

条件命题
定义 3.18 (条件命题) 由条件联接词连接的两个命题 p 和 q 形成的复合命题，称为条件命题。

条件命题的标准形式为：$p A q$，其中 A 是某个条件联接词。p 称为条件命题的前件 (antecedent)，q 称为条件命题的后件 (consequent) 。

蕴含命题
定义 3.19 设任意命题 p 和 q。称 p 和 q 构成一个蕴含命题，记为 p → q，满足当且仅当 p为真q为假时为假。
$p\to q=\neg p\lor q$。

反命题
定义 3.21 设任意命题 p 和 q。如果成立 $\neg p\to \neg q$，称 p 和 q 构成一个反命题。等价于当且仅当 p假, q真 时为假。
$\neg p\to \neg q=p\lor\neg q$。

逆命题
定义 3.22 设任意命题 p 和 q。如果满足 $q → p$，称 p 和 q 构成一个逆命题，记为：$p ← q$, 读作“p 蕴含于 q”，p implies in q。

逆反命题
定义 3.23 设任意命题 p 和 q。如果成立$\neg q → \neg p$，称 p 和 q 构成一个逆反命题。

等价命题
定义 3.24 设任意命题 p 和 q。称 p 和 q 构成等价命题，记为$p ↔ q$，当且仅当 p, q相同时为真。
$p\leftrightarrow q=(p\land q)\lor(\neg p\land\neg q)$。

命题 3.17 设 p 和 q 是任意命题。如果 p = q，则 p ↔ q。反之亦然。

负命题
用“并非”开头的命题。

$除非 p，q := \neg p → q$
$除非 p，才能 q := q → p$
$除非 p，否则 q := \neg p → q = \neg q → p$
$除非 p，否则不 q := \neg p → \neg q = q → p$

复合命题的否命题

德摩根率：取反，并将或、与互换，则命题不变。

习题

一.
1. 错。还需或者为真或者为假，二者必居且仅居其一。
2. 对。
3. 对。
4. 错。
5. 错。是$\neg q$的。

二.
1. B
2. B
3. AC
4. ABCD

三.
1. 必要。
2. 充分。
3. 不构成。
4. 充要。
5. 必要。

四.
1. 这个商店的商品要么不价廉，要么不物美。
2. 昨晚既不是小张也不是小李值班。
3. 人的大胆和地的产量无关。
4. 非经济发达地区，也可能有环境治理问题。
5. 老张和老李都不当选代表或都当选代表。
6. 衣食不足也能知荣辱，衣食足也能不知荣辱。
7. 认识字母，也不一定能学好外语。
8. 孩子每天不吃巧克力，身体也能长好；每天吃巧克力，身体也能长不好。

五.
1. 对。
2. 对。
3. 对。
4. 对。

六.
1. “并非pq至少有一个为真”，即“pq均为假”。

2. 左式为 p 和 q 构成不可兼析取命题，即“当且仅当 p, q 取值不同时为真”，即“要么p真q假，要么p假q真”，即右式。

3. 若有$p\to q$：则$\neg q$时，一定有$\neg p$，即$\neg q\to \neg p$。
若有$\neg q\to \neg p$：则$p$时，一定有$q$，即$p\to q$。

4. 若$q\to p$（逆命题），则由3.，$\neg p\to \neg q$（反命题）。
若$\neg p\to \neg q$（反命题），则由3.，$q\to p$（逆命题）。

七.
1.
蕴含
$\left(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\right)\land x\in A\cup(B\cap C)\\ \to x\in(A\cup B)\cap(A\cup C)$
逆反
若$x\not\in(A\cup B)\cap(A\cup C)$，又$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$，则$x\not\in A\cup(B\cap C)$，则$x\not\in(A\cup B)\cap(A\cup C)\to x\not\in A\cup(B\cap C)$，即$\neg(x\in(A\cup B)\cap(A\cup C))\to \neg(x\in A\cup(B\cap C))$，所以其逆反命题即原命题成立。

2.
反命题
若$x\not\in A\cup(B\cap C)$，又$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$，则$x\not\in(A\cup B)\cap(A\cup C)$，则$x\not\in A\cup(B\cap C)\to x\not\in(A\cup B)\cap(A\cup C)$，即$\neg p\to\neg q$，所以有$q\to p$。
逆命题
因为$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$，又$x\in(A\cup B)\cap(A\cup C)$，所以$x\in(A\cup B)\cap(A\cup C)\to x\in A\cup(B\cap C)$，即逆命题成立。

九. A. $p\land q$。

十.
设“2+2=5”为$p$，“地球为方”为$q$，则$p\to q$，等价于$\neg q\to\neg p,\ \neg p\lor q$。
即 2,3。

十一.
逆反：如果$x^2+1=0$，则$x=1$。
不等价，因为在$x\in R$的情况下，$x\neq 1$与$x^2+1\neq 0$无关。

十二.
C,D。

A. 孙不教俄语，赵不教法语，有D真。
B. 钱教德语，李不教德语，孙不教俄语，赵不教法语，有D真。
C. 周教英语，赵教法语，孙教俄语，钱不教德语，李教德语。
D. 赵不教法语，周不教英语，孙教俄语，钱不教德语，李教德语。

十三.
甲是。

乙不会开车，所以乙不是。
若甲不是，则只有丙是，但与2矛盾。所以甲一定是作案。

十四.
B错了。都及格了。

若为A：则都不及格，与C矛盾。
若为B：全及格，无矛盾。
若为C：D不及格，与A矛盾。
若为D：则都及格，与B矛盾。

十五.
B患肺炎，D患胃溃疡。甲全对，丁全错。

C疟疾，则丁诊断不全对，丙诊断的B不对，则B不为气管炎，乙诊断B正确。
A患痢疾，则乙诊断A错误，甲诊断A正确；乙丙诊断不全对，所以甲诊断全对，丁诊断全错。

十六.
五人：CDEFG或BCEFG猜中，死于G。
三人：DEF或BEF猜中，死于C。

是否猜对的组中：A,H一定一组；A,E一定不一组，A,F一定不一组，B,D一定不一组。

若五人猜中：
设A猜中，则E,F不猜中，H猜中。
若B不猜中，则剩下所有人C,D,G猜中，死于G，与A矛盾；若B猜中，则D不猜中，剩下CG猜中，死于G，与A矛盾。
设A不猜中，则E,F猜中，H不猜中。
若B不猜中，则剩下所有人C,D,G猜中，死于G，不矛盾；若B猜中，则D不猜中，剩下CG猜中，死于G，不矛盾。

若三人猜中：
设A猜中，则E,F不猜中，H猜中。
若B猜中，则剩下所有人C,D,G不猜中，死于G，与A矛盾；若B不猜中，则D猜中，剩下C,G不猜中，死于C，与A矛盾。
设A不猜中，则E,F猜中，H不猜中。
若B猜中，则剩下所有人C,D,G不猜中，死于C，不矛盾；若B不猜中，则D猜中，剩下C,G不猜中，死于C，不矛盾。

十七.
铜。

若金为真：则铜错，在铜。
若银为真：则铜为真，矛盾。
若铜为真：则金银有且仅有一个为真，矛盾。

十八.
CD进去过，ABE没进去过。

若A进去：则B进去，C不进去，D不进去，E进去，则D进去，矛盾。
若A不进去：则E不进去，D进去，C进去，B不进去，无矛盾。

十九.
C。

要么服过要么没服过，所以A,C不同时是。因为服过，所以不是A。
要么在落雨前要么不在，所以要么是A，要么不是B。所以不是B。
所以是C。

二十.
A,B,C,E,G,R 上场，D,F,P,Q,S,T 不上场。

有G上场，则D不上场。所以R上场，所以C上场、F不上场。
C上场可得A上场，P不上场，S不上场，所以T,Q不上场。
此时有D,F,P,Q,S,T 不上场，剩下的都上场。

第四章

注意，如果$p$则$q$，表示的是$\neg p\lor q$，如果$p$本身为假但$q$本身为真，则“如果$p$则$q$”也成立。
比如：“如果$1>2$，则$2\lt 3$”和“如果$1>2$，则$2\gt 3$”均为真，因为前提为假，该式就为真。（同理，如果推论为真，则该式一定为真）

复合命题的符号化

原子命题/简单命题 不包含任何其它命题作为组成部分的命题。语言或文字形式上就是简单句。
在命题逻辑中，原子命题是最小的基本单位，对它不再分解。
复合命题 至少包含一个原子命题作为组成部分的命题。

定义 4.1 用小写字母 p,q,r,······ 等表示命题。p 取值 1，表示 p 所代表的实质命题所刻画的事实是存在或发生的。p 取值 0，表示 p 所代表的实质命题所刻画的事实是不存在或不发生的。
命题变元 可取值 T（真）或 F（假）的变元。
命题常元 仅取一个确定的值 T（真）或 F（假）的命题变元称为命题常元。

逻辑联接词 非$\neg$，合取/与 $\land$，析取/和 $\lor$，蕴函 $\to$，等价 $\leftrightarrow$。
或非/nor $\downarrow$，合非/nand $\uparrow$。

注：
$p\downarrow q=\neg(p\lor q)=\neg p\lor\neg q,\ p\uparrow q=\neg(p\land q)=\neg p\land\neg q$。
p仅当q：$p\to q$。
p当且仅当q：$p\leftrightarrow q$。

复合命题符号化的基本步骤：
(1) 找出各个原子命题，并逐个符号化。
(2) 找出各个联接词，符号化成相应联接词。
(3) 用联接词符号将原子命题符号逐个联接起来。

命题形式 复合命题经符号化得到由命题变元和逻辑联接词与括号按一定顺序连接起来的符
号串称为该复合命题的命题形式。
命题是有具体内容的，而命题形式是抽象的符号，没有具体内容。

命题公式 满足下面条件的命题形式称为命题公式：
（1）单个命题常元和命题变元是命题公式，并称为原子命题公式。
（2）若 p 是命题公式，则 \neg p 是命题公式。
（3）若 p 和 q 是命题公式，则 p ∧ q、p ∨ q、p → q、p ↔ q 是命题公式。
（4）有限次地应用（1）-（3）形成的符号串是命题公式。

按照上述规则形成的命题公式全体称为命题公式类。
设 p 为命题公式，q 是 p 中的一部分，若 q 也是命题公式，q 称为 p 的子公式。

合式公式与命题公式定义基本相同，但合式公式是一个真值函数。

定义 4.6 设$p_1,p_2,··· ,p_n$是出现在命题公式 $q = q(p_1 ,p_2 ,··· ,p_n)$中的全部命题变元，给$p_1,p_2,··· ,p_n$各指定一个真值，称为对$p_1,p_2,··· ,p_n$的一个赋值（指派或解释）。若指定的一组值使得 $q$ 的值为真值，则
称这组值为 $q$ 的成真赋值；若指定的一组值使得 $q$ 的值为假值，则称这组值为 $q$ 的成假赋值。

逻辑联接词的完备集 逻辑联接词的完备集是指这样一个集合，它使得每个命题公式能用该集合的逻辑联接词表示出来。
定理 4.1 以下逻辑联接词集都是完备集：
（1）{\neg ,∧,∨,→,↔}.
（2）{\neg ,∧,∨,→}.
（3）{\neg ,∧,∨}.
（4）{\neg ,∧}.
（5）{\neg ,∨}.
（6）{\neg ,→}.
（7）{↓}.
（8）{↑}.

定理 4.1 表明，可以用较少的逻辑符号表示命题公式。

初始联接词 完备集中的联接词称为初始联接词，其它联接词可以由它们表示出来。
含有一个初始联接词的完备集有两个，含有两个初始联接词的完备集有三个，含有三个初始联接词的完备集有一个。

优先级
从大到小：$\{()\},\{\neg\},\{\land\},\{\lor\},\{\to,\Leftrightarrow\}$，同一优先级，从左到右顺序进行。

真值函数

真值函数是一类自变量和因变量均仅取 0 或 1 两个值的特殊函数。

等值式 设 $\psi$ 和 $\varphi$ 是任意两个包含$n$个自变量的真值函数，如果对于自变量的任何赋值，两个真值函数的值总是相同，则称它们是等值的，用符号$\psi=\varphi$表示。
符号“=”不是真值联接词，只是表示两端的公式等值。

真值表 一个真值函数在所有自变量赋值情况下的取值列成的表称为该真值函数的真值表。
哑元 一个真值函数中缺失的自变量称为该公式的哑元。任一真值函数的取值与哑元无关。

真值函数类 具有相同真值表的真值函数全体称为一个真值函数类。两个具有相同真值表的真值函数称为同一类的真值函数。
含 n 个自变量的不同的真值函数表共有$2^{2^n}$种。

定理 4.2 任意含有限个自变量的真值函数都可由真值联接词 {\neg ,∧,∨} 表示出的公式与之等值。

等值运算

等值关系是一种等价关系：设 p、q 和 r 是任意真值函数
（1）自反性：p = p；
（2）对称性：若 p = q，则 q = p；
（3）传递性：若 p = q 和 q = r，则 p = r。

等值演算法
每个人的判断可能真可能假（比如有的人全对，有的人对一半，有的人全错），可对每个人设三个式子对应三种情况，然后将“有的人全对，有的人对一半，有的人全错”的所有情况列出来（若干式子的与）（附加条件就再与），找到为真的情况。

范式

简单析取式 具有如下形式的真值函数
$A_1\lor A_2\lor ···\lor A_k$, $A_j = p_i 或\neg p_i$, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ k,

简单合取式 具有如下形式的真值函数
$A_1\land A_2\land ···\land A_k$, $A_j = p_i 或\neg p_i$, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ k,

k = 1 的情形既是简单析取式，也是简单合取式。简单析取式和简单合取式是形式最简单的两类公式。

极小项 $n$个变量的积，且这$n$个变量的原变量或反变量只出现一次。
在含有 n 个变量的简单合取式中，若每个变量和它的否定项恰好出现一个且仅出现一次，而且它们按下标从小到大或按字典顺序排列，称这样的简单合取式为极小项。
编号：0对应$A'$，1对应$A$。

极大项 $n$个变量的和，且这$n$个变量的原变量或反变量只出现一次。
在含有 n 个自变量的简单析取式中，若每个自变量和它的否定项恰好出现一个且
仅出现一次，而且它们按下标从小到大或按字典顺序排列，称这样的简析取式为极大项。
编号：0对应$A$，1对应$A'$。

由于极小项和极大项中每个自变量的顺序位置是确定的，若自变量形成的二进制数$p_1 p_2···p_n$对应十进制数为 i，就将这个极小项（极大项）记作$m_i (M_i)$，$0 ≤ i ≤ 2^n − 1$.

定理 4.3 设$m_i$和$M_i$是含$n$个自变量的极小项和极大项，则$m_i = \neg M_i$, $M_i = ¬m_i$, $0 ≤ i ≤ 2^n − 1$。

析取范式(CNF) 极小项的和。由有限个简单合取式的析取构成的公式。
合取范式(DNF) 极大项的积。由有限个简单析取式的合取构成的公式。
析取范式和合取范式统称为范式。

注意：$A+BC=(A+B)(A+C)$（生成DNF）
用$A=AB+AB'$生成CNF。

范式存在定理 任一公式都存在与之等值的析取范式和合取范式。

一个公式的析取范式和合取范式是不唯一的。为了使得公式的范式唯一，通过进一步限定合取范式和析取范式中的简单析取式和简单合取式的形式，对每一公式给出唯一的标准范式形式。

主范式 所含的全部简单合取式都是极小项的析取范式称为主析取范式（最小项之和）。所含的全部简单析
取式都是极大项的合取范式称为主合取范式（最大项之积）。
求主范式的过程，就是在范式的基础上，进一步将其中的简单析取式或简单合取式规化成极小项或极大项。

主范式存在唯一性 除常值公式外，任何公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式，并
且是唯一的。
取值恒为 0 的公式仅有主合取范式。取值恒为 1 的公式仅有主析取范式。

定理 4.6 公式 A 和 B 等值，当且仅当 A 与 B 有相同的主析取范式或主合取范式。

真值表计算主范式

可以用数字逻辑上的：利用真值表上的相邻的1（表示最小项），可以合并。

竖着列出真值表，取值为1的部分为所有最小项（0对应$A'$，1对应$A$）；取值为1的部分为所有最大项（0对应$A$，1对应$A'$）。
例子见习题十.
这样即使只知成真赋值，也可得最小项、最大项（见习题十一）。

定义 4.17 设 A 为含 n 个自变量的任一合式公式。
(1) 若 A 在自变量的各种赋值下取值均为 1，则称 A 是永真式/重言式。
(2) 若 A 在自变量的各种赋值下取值均为 0，则称 A 是永假式。
(3) 若 A 不是永假式，则称 A 是可真式，又称为可满足式。

永真式的判别方法
（a）完全真值表法
用真值表列出所有取值。
（b）简化真值表法
假设整个式子为假，推出某部分有矛盾。
（c）范式法
一个简单析取式是永真式当且仅当同时含某个变量和它的否定式；一个简单合取式是永假式当且仅当同时含某个变量和它的否定式。

逻辑蕴含和等价

设$A,B$是拥有相同一组变量的任意公式，当且仅当$A\to B$是永真式时，$A$ 逻辑蕴含 $B$。记为$A\Rightarrow B$。
$A$逻辑蕴含B，即$A\Rightarrow B$，当且仅当$A$的任意成真赋值，也是$B$的成真赋值。

若$A\Rightarrow B$且$B\Rightarrow A$，则称$A,B$逻辑等价，记为$A\Leftrightarrow B$。

习题

一.
1. $\neg R\to C$。
2. $(M\to N)\land(\neg N)$
3. $(A\land R\to H)\land \neg R$
4. $(R\land\neg S)\land(\neg S\to\neg H)$
5. $(\neg H\to F)\land\neg(H\to \neg F)$
6. $B\to(\neg C\land\neg A)$
7. $(N\lor M)\land\neg L$
8. $A\oplus B$

二.
1. $p\to q$。真。
2. $p\to\neg q$。真。
3. $\neg q\to p$。假。
4. $\neg q\to p$。假。
5. $q\to p$。真。
6. $p\to\neg q$。真。

三.
1. 真。

记三句话分别为A,B,C，论述即为$A\land B\land C$。
显然A为真。因为B的前提为假，所以B的蕴含命题为真。C表示，若$6=4k$，则有$6=2k'$，也为真。
所以合取为真。

2. 小王会唱歌，小李不会跳舞。

记：A:小王会唱歌，B:小李会跳舞。
则原句：$(\neg A\lor \neg B)\land\neg(A\to B)=(\neg A\lor \neg B)\land(A\land\neg B)=A\land \neg B$。

四.
1. 若俄罗斯位于南半球，则亚洲人口最多。真。
2. 若亚洲人口最多，则俄罗斯位于南半球。假。
3. 若俄罗斯不位于南半球，则亚洲人口最多。真。
4. 若俄罗斯位于南半球，则亚洲人口不是最多。真。
5. 若亚洲人口不是最多，则俄罗斯位于南半球。真。
6. 若俄罗斯不位于南半球，则亚洲人口不是最多。假。
7. 若亚洲人口不是最多，则俄罗斯不位于南半球。真。

五.
李强为生活委员，丁金生为班长，王小红为学习委员。

设：A:王小红为班长，B:李强为生活委员，C:丁金生为班长，D:王小红为生活委员，E:李强为班长，F:王小红为学习委员。
则由每个人担一个职责：$A\land D=A\land F=D\land F=B\land E=0$。
由一个职责职能一个人：$A\land C=A\land E=C\land E=B\land D=0$
甲对一半：$AB'+A'B=1$
乙对一半：$CD'+C'D=1$
丙对一半：$EF'+E'F=1$
各对一半：

$$(AB'+A'B)(CD'+C'D)(EF'+E'F)=1\\ \Leftrightarrow AB'CD'(EF'+E'F)+AB'C'D(EF'+E'F)\\+A'BCD'(EF'+E'F)+A'BC'D(EF'+E'F)\\ \Leftrightarrow AB'CD'EF'+A'BCD'E'F+A'BC'DE'F\\ \Leftrightarrow A'BCD'E'F$$
所以BCF成立，李强为生活委员，丁金生为班长，王小红为学习委员。

六.
赵、钱、周没去，孙、李去。

设赵、钱、孙、李、周去分别为$A,B,C,D,E$，则：
$(A\to B)(D+E)(B'C+BC')(CD+C'D')(E\to BD)\\ \Leftrightarrow (A'+B)(D+E)(B'C+BC')(CD+C'D')(E'+BD)\\ \Leftrightarrow A'DB'C(CD+C'D')(E'+BD)+A'DBC'(CD+C'D')(E'+BD)\\+A'EB'C(CD+C'D')(E'+BD)+A'EBC'(CD+C'D')(E'+BD)\\+BDC'(CD+C'D')(E'+BD)+BEC'(CD+C'D')(E'+BD)\\ \Leftrightarrow A'DB'CE'=1$
所以$A'DB'CE'=1$。

七.
五种，派 abde 或 bcde 或 abdf 或 acdf 或 acde。

$(b+f)(d+f)(e+f)(b+c)(a+c)d(a+e)=1\\ \Leftrightarrow (bde+bdf+bef+bf+def+df+fe+f)(ab+abe+abc+bce+ac+ace+ce)d\\ \Leftrightarrow (bde+f)(ab+ac+ce)d\\ \Leftrightarrow (abde+abcde+bcde+abdf+acdf+acde)\\ \Leftrightarrow (abde+bcde+abdf+acdf+acde)$
所以有五种。

八. B。

设派甲乙丙分别为ABC。
$(ABC+A'B'C')'(B+C\to A)(A\to B'C')=1\\ \Leftrightarrow (A'+B'+C')(A+B+C)(B'C'+A)(A'+B'C')\\ \Leftrightarrow (AB'+B'C+AC'+BC')(A'B'C'+B'C'+AB'C')\\ \Leftrightarrow AB'C'$

九.
1. $(p'+q)(q+p)=q$
主析取范式：$pq+p'q=(p\land q)\lor(\neg p\land q)$
主合取范式：$(p\lor q)\land(p\lor\neg q)$

2. $p(p'+q)\to q=p'+q'+q=1$
主析取范式：$1$
主合取范式：$1$

3. $(p'q'+r)'+p=(p+q)r'+p=p+qr'$
主析取范式：
$(p\land q\land r)\lor(p\land q\land \neg r)\lor(p\land\neg q\land r)\lor(p\land\neg q\land\neg r)\lor(\neg p\land q\land\neg r)$
主合取范式：
$(p+q)(p+r')=(p\lor q\lor r)\land(p\lor q\lor\neg r)\land(p\lor\neg q\lor\neg r)$

十.
1.

主析取范式：$p'q'r+p'qr+pq'r+pqr'+pqr$
主合取范式：$(p+q+r)(p+q'+r)(p'+q+r)$

2.

主析取范式：$p'q'r'+p'q'r+p'qr'+p'qr+pq'r'+pq'r+pqr'+pqr$
主合取范式：$1$

十一.
主析取范式：$p'q'r'+p'qr+pqr'$
主合取范式：$(p+q+r')(p+q'+r)(p'+q+r)(p'+q+r')(p'+q'+r')$

十二.

设$A,B,C,D,E$分别表示五个老师的前一种选择为真，$A',B',C',D',E'$分别表示五个老师的后一种选择为真。
则：$(AB'+A'B)(B'C'+BC)(A'D'+AD)(CE+C'E')(D'E+DE')=1\\ \Leftrightarrow (AB'C'D'+AB'C'D+A'BCD')(CD'E+CDE'+C'DE')\\ \Leftrightarrow AB'C'DE'+A'BCD'E$
所以有两种方案。

十三.
1.
永真式。

2.
可满足式。

十四.
1.
设其为假，则$(p\to q)\to q$为真，$p+q$为假，则有$p+q$和$p'q'$均为真，则$p$或$q$至少有一个为1，且$p,q$均为0，矛盾。
所以为永真式。

2.
设其为假，则$(p\to q)+r$为真，$pr+qr$为假，则有$(p'+q+r)(p'+r')(q'+r')=1$，即$p'q'+p'r'+qr'=1$，因为$p'q'+p'r'+qr'$不是永假式，所以存在使其为假的可能。
所以不是永真式。

第五章

论证

论证(Argument) 一个论证是一个命题系列，其中一个命题称为结论 (Conclusion)，另外的
命题称为前提 (Premises)，作为接受结论为真的理由。

论证必须具有以下两个特征：
（1）前提结论共存。没有前提和结论之分，则不能称之为论证。
（2）前提判断结论。有前提和结论也不一定是论证。前提和结论具有因果关系，前提是原因或理由，结论是结果。前提是已被获知或被假定为真的信息，而结论是未知真假的信息。

论证的标准形式：先陈述前提，最后陈述结论。
前提：$A_1$...
前提：$A_2$...
...
结论：$B$...

或：$(\because)A_1,A_2,...,A_n;\ \therefore\ B$（$\because$可省）。

论证形式化即用上面的形式或式子表示论证（先设变量）。

描述 没有结论，只是叙述事实。描述的特征是命题序列中，没有哪个命题在逻辑结构上是其它命题的结论，简言之，命题序列是并列句。
说明 叙述已知事件之间的因果关系。说明的特征是：命题序列中，命题间通常含有因果关系，具有“因为······，所以 ······”，“由于 ······，必有 ······”，“由 ······，推断 ······”，“······，一定······”等等明显表述因果关系的句型，但所述因果都是已知的事实，没有推断的含义。

如：“家用计算机的价格近年来不可思议地大幅下降（p）。我相信这是因为微晶片的生产成本已经直线下降”是说明，因为因果都是已知的事实。

论证的分类
论证分为两种基本类型：演绎论证和归纳论证。
演绎论证 试图确然地断言前提真必有结论真的论证称为演绎论证。
归纳论证 试图某种程度地支持前提真有结论真的论证称为归纳论证。

演绎论证和归纳论证的区别在于前提对结论的支持程度，演绎论证是试图前提对结论给出完全确定的支持，尽管这个论证可能不成功。归纳论证是前提仅能给出结论部分支持，仅提供了较大的可能性支持。
本课程仅考虑演绎论证。

论证的可信性

可信性/可靠性 如果前提$A_1,A_2,...,A_n$都为真，且结论$B$不为假，则论证$A_1,A_2,...,A_n;\ \therefore\ B$称为是可信的（sound）。

可信和不可信与真和假是不同的概念。可信指确信论证的结论为真，不可信表示不确信论证的结论为真，即使结论可能为真。所以不可信不意味着结论假。可信不可信依赖逻辑推断。

$A;\ \therefore\ B$ 与 $A\to B$是不同的两个概念。
论证和蕴含命题的本质不同之处在于：
$A\to B$表述两个命题$A$和$B$之间满足蕴含命题真值表，即已知
$A$和$B$之间具有因果关系，因此$A$真时$B$真是自然结果。$A\to B$可以认为是一个说明。且$A$不一定是真。
$A;\ \therefore\ B$是推断$A$和$B$之间具有因果关系，在确认可信性之前，这种因果关系是不确定的。该论证可信必须已有$A$是真、$B$是假。
论证是可信不可信的问题，蕴含命题是真假的问题。

确定可信性的标准
充分理由律：$B$真, 当且仅当$A_1,A_2,...,A_n$都为真且$A_1,A_2,...,A_n$能推出$B$。

$A_1,A_2,...,A_n$能推出$B$指：
（1）$A_1,A_2,...,A_n$和$B$之间存在某种内在的逻辑关系。
（2）如果$A_1,A_2,...,A_n$真，则$B$假不可能。

论证的有效性

论证形式 将一个论证$A_1,A_2,...,A_n;\ \therefore\ B$内的命题形式化，抽去具体含义，得到的形式，称为该论证的论证形式，记为：$\mathscr{A}_1,\mathscr{A}_2,...,\mathscr{A}_n;\ \therefore\ \mathscr{B}$。

定义 5.4 如果该论证形式中的前提$\mathscr{A}_1,\mathscr{A}_2,...,\mathscr{A}_n$皆为真必然地得出结论$\mathscr{B}$不可能假，则论证形式$\mathscr{A}_1,\mathscr{A}_2,...,\mathscr{A}_n;\ \therefore\ \mathscr{B}$称为有效的（valid）。

定义 5.5 如果论证形式$\mathscr{A}_1,\mathscr{A}_2,...,\mathscr{A}_n;\ \therefore\ \mathscr{B}$是有效的，则称$\mathscr{B}$是$\mathscr{A}_1,\mathscr{A}_2,...,\mathscr{A}_n$的逻辑结论（logical consequence），记为$\mathscr{A}_1,\mathscr{A}_2,...,\mathscr{A}\vDash\mathscr{B}$。
又称$\mathscr{A}_1,\mathscr{A}_2,...,\mathscr{A}_n$逻辑推出$\mathscr{B}$，简称推出$\mathscr{B}$。

论证的可信性判定

可信性的判定准则
定义 5.6 一个论证称为有效论证，当且仅当其论证形式是有效的。

定理 5.1 一个论证是可信的，当且仅当该论证是有效的，并且论证中前提的实际内容全部为真，即：可信性 = 有效性 + 前提全部为真，也即：有效，当且仅当前提为真能推出结论为真，且有前提为真（和结论为真）。

推理 (Inference) 推理是一个有限的合式公式系列，其中一个公式$\mathscr{B}$称为结论，其余公式组成的集合称为前提，记前提为：$S=\{\mathscr{A}_1,\mathscr{A}_2,...,\mathscr{A}_n\}$。则$S\therefore\mathscr{B}$，或$\mathscr{A}_1,\mathscr{A}_2,...,\mathscr{A}_n \therefore\mathscr{B}$称为由$S$得$\mathscr{B}$一个推理。

定理 5.2 设$\mathscr{A}_1,\mathscr{A}_2,...,\mathscr{A}_n$和$\mathscr{A}$都是公式。下面命题等价：
(a) $\mathscr{A}_1,\mathscr{A}_2,...,\mathscr{A}_n\vDash\mathscr{B}$.
(b) $\mathscr{A}_1\land\mathscr{A}_2\land...\land\mathscr{A}_n\to \mathscr{B}$是永真式.（前者为假或后者为真都可以）
(c) $\mathscr{A}_1\land\mathscr{A}_2\land...\land\mathscr{A}_n\Rightarrow \mathscr{B}$.

推理实际上是一系列合式公式的运算，与任何实际的内容无关，它并不满足论证的定义，甚至不是论证形式，而是实际论证的论证形式的进一步抽象表达。

等价性定理
定理 5.3 $\mathscr{A}_1,\mathscr{A}_2,...,\mathscr{A}_n\vDash\mathscr{A}\to \mathscr{B}$，当且仅当$\mathscr{A}_1,\mathscr{A}_2,...,\mathscr{A}_n,\mathscr{A}\vDash\mathscr{B}$。
由上面的等价式可推。

有效性判定方法

定义法
直接方法 正常推理方法。
反例方法 举反例。

真值表法
完全真值表法 列出论证形式的前提和结论的真值表，查看是否有前提全真而结论假的行。如果不存在，则该论证有效。否则无效。
不完全真值表法 只需考察结论为假的行：假设结论假，检验是否有对应的前提全为真的行。
赋谬法（简化真值表法） 考察是否存在满足前提全真而结论为假的赋值。只需存在一个即可说明无效。和不完全真值表法差不多，只不过不需要列表，假设前提全真、结论为假，判断是否有这种赋值即可。

永真式方法
将判断$\mathscr{A}_1\land\mathscr{A}_2\land...\land\mathscr{A}_n\therefore\ \mathscr{B}$的有效性，转为判断$\mathscr{A}_1\land\mathscr{A}_2\land...\land\mathscr{A}_n\to \mathscr{B}$是否为永真式。
可用真值表法或等值演算法（化简）。

证明（演绎）方法
后面再介绍。

习题

一.
1. 前提：$p$，结论：$q$。
2. 前提：$q$，结论：$p$。
3. 前提：$p$，结论：$q$。
4. 前提：$p,q$，结论：$r$。
5. 前提：$p,q$，结论：$r$。

二.
1. 论证。前提：$p$，结论：$q$。
2. 论证。前提：$p$，结论：$q$。
3. 说明。因果都是已知的事实。
4. 论证。前提：$p$，结论：$q$。

三.
1. 有效。
2. 有效。
3. 无效。两个条件为真不能推出结论一定为真。

四.
1. 不可靠。结论不对，是感叹句，不是陈述。
2. 可靠。

五.
1. 有效。

判断$(p\to(q+rs))(p+s')(q+r')\to p'+q$是否为永真式。
化简：

$$\begin{aligned}原式&=\left((p'+q+rs)(p+s')(q+r')\right)'+p'+q\\&=\left(pq+qs'\right)'+p'+q\\&=(p'+q')(q'+s)+p'+q\\&=q'+p'+q=1\end{aligned}$$
所以为永真式。

1. 有效。

   判断$(p+q'+r's+rs')(p+s')ps'\to p+q$是否为永真式。
   化简：
   

   $$\begin{aligned}原式&=\left(ps'\right)'+p+q\\&=p'+s+p+q=1\end{aligned}$$
   所以为永真式。

2. 有效。

   判断$(pr'+pq'+p'rq)(p+r)\to q+p$是否为永真式。
   化简：
   

   $$\begin{aligned}原式&=\left(pr'+pq'+p'rq\right)'+p+q\\&=(p'+r)(p'+q)(p+r'+q')+p+q\\&=p'r'+p'q'+pqr+p+q\\&=p+q+r'+q'=1\end{aligned}$$
   所以为永真式。

六.
1.
设：$A$：丹麦拒绝加入欧洲共同体，$B$：爱沙尼亚依然处于俄罗斯势力范围内，$C$：芬兰将不接受自由贸易政策。
形式化：$A\to(B\to C),\ B;\ \therefore\ A\to C$

有效。

2.
设：$A$：人是完全理性的，$B$：人所有的行为是可被提前预测的，$C$：宇宙基本上是决定论的。
形式化：$A\to (B\lor C),\ \neg B;\ \therefore \neg C\to\neg A$

有效。

第六章

论证的基本形式结构

演绎论证的最简形式：三段论
大前提 所考虑的事件之间存在的逻辑关系，通常是涉及这些事件的某些命题。
小前提 关于其中某些事件的某些命题，作为前提条件。
结论 关于另外某些事件的某些命题，作为结论。

合取、析取、充分、必要命题论证

合取命题论证
合取命题论证是前提或结论为合取命题的论证形式，有分解式和组合式两种形式。

分解式合取命题 化简
分解式是前提为合取命题，推出任意一支命题为真的论证。论证形式为：$A_1\land A_2\land...\land A_k\therefore A_i,\ \forall 1\leq i\leq k$。

组合式合取 合取
$A_i,\ \forall 1\leq i\leq k\therefore A_1\land A_2\land...\land A_k$。

析取命题论证
析取命题推理是前提或结论含有析取命题的推理。

析取三段论
$p\lor q,\ \neg p\ \to q$。

组合式析取命题 附加
$p\to p\lor q$

不可兼选言命题
$p\oplus q,\ p\to q'$，$p\oplus q,\ p'\to q$。注意可扩展到多个命题的情况。

充分条件假言论证

肯定前件式充分条件假言论证 假言推理
$(p,\ p\to q )\to q$

否定后件式充分条件假言论证 拒取式
$(\neg q,\ p\to q)\to \neg p$

必要条件假言论证
充分条件假言论证的反转形式。本质一样，为什么要再整一个定理，无语了。

条件连锁论证
前面的连续情况。无语了，这还用你再搞个定理再证明？

假言易位论证
就是逆反命题等价于原命题。

6.8 多重假言析取复合论证

归谬论证
$(p\to q,p\to \neg q)\to \neg q$

习题

一.
a. 即判定$(p\to q)(r\to s)(p+r)\to q+s$是否为永真式：
$原式=((p'+q)(r'+s)(p+r))'+q+s=p+r+p'+q+s=1$，得证。

b. 即判定$(p\to q)(r\to s)(q'+s')\to p'+r'$是否为永真式：
$原式=((p'+q)(r'+s)(q'+s'))'+p'+r'=pq'+rs'+qs+p'+r'=q'+s'+s+p'=1$，得证。

二. B。
设$a,b,c$分别表示选甲乙丙，则有下面的式子成立：
$(abc)'(a'\to b'c')(a\to b'c')=ab'c'$。

三. D。
设$a$：喜欢表演，$b$：报考戏剧学院，$c$：可以成为戏剧理论家，则：
$(a\to b)(a'\to c)(c\to b)=b$。

四. D。
A：真城：1。假城：1。
B：真城：0。假城：0。
C：真城：0。假城：0。
D：真城：真人：1，假人：1。假城：真人：0，假人：0。

五. “如果我问和你相反的人，你和他谁会说真话，他会回答是你说真话吗？”
说真话：则他说假话，会回答不是。
说假话：则他说真话，他会回答不是，但本人会说假话，回答是。

六. D。
可信需前提为真且结论为真。但前提“或者是自傲，或者是自卑”不总为真，即没有穷尽支判断，两个不是矛盾关系，只是反对关系。

七. B。
唯二的两种选择都会使声誉受威胁。

八. BD。
设$a,b,c,d,e$分别为选樟树、柳树、桂树、雪松、桃树，则：
$(a+b)(c'\to d)(b\to e)(de)'$，即$(a+b)(c+d)(b'+e)(e'+d')=(ac+ad+bc+bd)(b'e'+b'd'+d'e)=ab'ce'+ab'cd'+acd'e+ab'de'+bcd'e=ab'c(e'+d')+acd'e+ab'de'+bcd'e$，选两种即$ac$或$ad$。

九. BC。
设a：修池塘，b：架桥，c：建花园，d：植树，则：
$(a'+b)(b'+c')(c'+d)(d'+b)=(a'b'+a'c'+bc')(c'd'+bc'+bd)=a'c'd'+bc'$。

十. 保住耕地，增加住房，多盖高楼。
设a：保住耕地，b：饿肚子，c：人口增长，d：增加住房，e：多盖高楼，则：
$(a'b+ab')(c'+d)(a'd'+e)b'c=ab'cde$。

第七章

命题的形式推理系统

定义 7.1 一个形式推理系统$I$由下面 4 个部分组成：
（1）非空的字母表$A(I)$。
（2）$A(I)$中符号构造的合式公式集$E(I)$。
（3）$E(I)$中一些特殊的公式组成的公理集$AX(I)$。
（4）推理规则集$R(I)$。
将$I$记为四元组$\langle A(I),E(I),AX(I),R(I)\rangle$，其中$\langle A(I),E(I)\rangle$是$I$的形式语言；$\langle AX(I),R(I)\rangle$为$I$的形式推理系统。

命题的自然推理系统 ND

自然推理系统 ND 定义如下：
1. 字母表

a. 变元或常元。
b. 真值联接符。
c. 辅助符号：括号。

2. 合式公式
3. 基本推理规则

IS规则 $\Rightarrow\neg a\lor a$
$\to -$规则
递推/Tr规则
$\lor+$规则
$\lor-$规则
$\land+$规则
$\land-$规则
置换规则：双否律$\neg\neg a=a$，幂等律$a\land a=a$，交换律$a\land b=b\land a$，结合律，分配律$a\lor(b\land c)=(a\land b)\lor(a\land c)$，摩根律，吸收律$a\land(a\lor b)=a$，同一律$a\lor(b\land\neg b)=a$，蕴含等值式$a\to b=\neg a\lor b$，等价等值式$a\leftrightarrow b=(a\land b)\lor(\neg a\land\neg b)$，假言易位（逆否），归谬律$(a\to b)\land(a\to \neg b)=\neg a$。

自然推理系统 ND 中的演绎和证明

见课本。

ND 的可靠性、相容性和完备性

可靠性/有效性 (Soundness)
如果有公式$a$，在ND中可证明结论$b$，则推理$a\ \therefore b$是有效的。即如果$a\vdash b$，则$a\vDash b$。

完备性 (Completeness)
设公式$a,b$，如果推理$a\ \therefore b$是有效的，则$b$在ND中是可证明的。即如果$a\vDash b$，则$a\vdash b$。

相容性 (Consistence)
如果存在公式$a,b$，使$a=1$时，有$a\vdash b$且$a\vdash\neg b$，则称ND为不相容的。

定理 7.4 自然推理系统 ND 是相容的。
定理 7.5 设$a$是 ND 中任意公式，$a$是永真式与$\vdash a$等价。

直接证明方法

对公式标号，用规则。

间接证明方法

附加前提法
证明形如$a\to b$的结论时，可假设有前提$a$（附加前提引入），证明$b$。

归谬证明法
设要证明$p\to q$，可假设存在$\neg q$（归谬前提引入），证明$p\land\neg q$在推理中会出现矛盾。

习题

一.
1. 设结论$A=r\lor s$，$\neg(p\to q)\land q=p\land\neg q\land q=0$，所以论证前提为假，所以前提的合取式为假，前提的合取式$\to A$为真。

2. 同1，对任意结论$A$证明都成立。

二.
1.
$(1)\ p\to(q\to r)\quad 前提引入$
$(2)\ p\quad 前提引入$
$(3)\ q\quad 前提引入$
$(4)\ \neg p\lor\neg q\lor r\quad (1)蕴含等值式$
$(5)\ r\quad (2)(3)(4)\lor-$
$(6)\ r\lor s\quad (5)\lor+$

2.
$(1)\ p\to q\quad 前提引入$
$(2)\ \neg(q\land r)\quad 前提引入$
$(3)\ r\quad 前提引入$
$(4)\ \neg p\lor q\quad (1)蕴含等值式$
$(5)\ \neg q\lor \neg r\quad (2)摩根律$
$(6)\ \neg q\quad (3)(5)\lor -$
$(7)\ \neg p\quad (4)(6)\lor -$

3.
$(1)\ \neg p\lor r\quad 前提引入$
$(2)\ \neg q\lor s\quad 前提引入$
$(3)\ p\land q\quad 前提引入$
$(4)\ p,q\quad (3)\land-$
$(5)\ r\quad (1)(4)\lor -$
$(6)\ s\quad (2)(4)\lor-$
$(7)\ r\land s\quad (5)(6)\land+$
$(8)\ \neg t\lor(r\land s)\quad (7)\lor+$
$(9)\ t\to(r\land s)\quad (8)蕴含等值式$

三.
1.
$(1)\ p\to(q\to r)\quad 前提引入$
$(2)\ s\to p\quad 前提引入$
$(3)\ q\quad 前提引入$
$(4)\ s\quad 附加前提引入$
$(5)\ p\quad (4)(2)\to-$
$(6)\ q\to r\quad (1)(5)\to-$
$(7)\ r\quad (3)(6)\to-$

2.
$(1)\ p\quad 附加前提引入$
$(2)\ p\lor q\to(r\land s)\quad 前提引入$
$(3)\ s\lor t\to u\quad 前提引入$
$(4)\ p\lor q\quad (1)\lor+$
$(5)\ r\land s\quad (2)(4)\to-$
$(6)\ s\quad (5)\land-$
$(7)\ s\lor t\quad (6)\lor+$
$(8)\ u\quad (3)(5)\to-$
$(9)\ p\to u\quad (1)(8)$

3.
$(1)\ p\to\neg q\quad 前提引入$
$(2)\ \neg r\lor q\quad 前提引入$
$(3)\ r\land\neg s\quad 前提引入$
$(4)\ p\quad 归谬前提引入$
$(5)\ \neg q\quad (1)(4)\to -$
$(6)\ \neg r\quad (2)(5)\lor-$
$(7)\ r\quad (3)\land -$
$(6)(7)$矛盾，所以得证。

4.
$(1)\ p\lor q\quad 前提引入$
$(2)\ p\to r\quad 前提引入$
$(3)\ q\to s\quad 前提引入$
$(4)\ \neg(r\lor s)\quad 归谬前提引入$
$(5)\ \neg r\land\neg s\quad (4)摩根律$
$(6)\ \neg r,\neg s\quad (5)\land-$
$(7)\ \neg r\to \neg p,\ \neg s\to\neg q\quad (2)(3)假言易位$
$(8)\ \neg p,\ \neg q\quad (6)(7)\to-$
$(9)\ \neg p\land \neg q\quad (8)\land+$
$(10)\ \neg(p\lor q)\quad (9)摩根律$
$(1)(10)$矛盾，所以得证。

四.
1. 设a：A曾到过受害者房间，b：A11点前离开，c：A是谋杀嫌犯，d：看门人看见了A。
$(1)\ (a\land\neg b)\to c\quad 前提引入$
$(2)\ a,\ \neg d\quad 前提引入$
$(3)\ b\to d\quad 前提引入$
$(4)\ \neg d\to\neg b\quad (3)假言易位$
$(5)\ \neg b\quad (2)(4)\to -$
$(6)\ a\land\neg b\quad (2)(5)\land+$
$(7)\ c\quad (1)(6)\to-$

2. 设a：是星期六，b：到颐和园玩，c：到圆明园玩，d：颐和园人太多。
$(1)\ a\to(b\lor c)\quad 前提引入$
$(2)\ d\to\neg b\quad 前提引入$
$(3)\ a,d\quad 前提引入$
$(4)\ b\lor c,\ \neg b\quad (1)(2)(3)\to-$
$(5)\ c\quad (4)\lor-$

3. 保住耕地，增加住房，多盖高楼，不饿肚子。
设a：保住耕地，b：饿肚子，c：人口增长，d：增加住房，e：多盖高楼
$(1)\ (\neg a\land b)\lor(a\land\neg b)\quad 前提引入$
$(2)\ c\to d\quad 前提引入$
$(3)\ a\land d\to e\quad 前提引入$
$(4)\ \neg b,\ c\quad 前提引入$
$(5)\ \neg(\neg a\land b)\quad (1)\land+$
$(6)\ a\land\neg b\quad (1)(5)\lor -$
$(7)\ d\quad (2)(4)\to-$
$(8)\ a\quad (6)\land-$
$(9)\ a\land d\quad (7)(8)\land+$
$(10)\ e\quad (3)(9)\to-$
$(11)\ a\land(\neg b)\land c\land d\land e\quad (4)(9)(10)\land+$

第八章

量词

定义 个体词是指可以独立存在于命题中的被研究的对象的词，它可以是具体的研究对象，也可以是抽象的研究对象。
个体词一般是某人、某物或某概念。在语句中，个体词通常作为主语或宾语。

定义 命题形式中，特指的形式个体词称为个体常元，用英文字母表中靠前的小写字母$a,b,c...$表示；泛指的个体词称为个体变元，用英文字母表中靠后的小写字母$p,q,r,...,x,y,z$表示，个体变元的取值范围称为该变元的个体域，用大写字母$...,X,Y,Z$等表示。

全称量词 在自然语言中表示“全部”、“凡是”、“任意”等概念的词叫全称量词，用符号$\forall$表示。
存在量词 在自然语言中表示“存在一个”、“至少有一个”、“有的”等概念的词叫存在量词，用符号$\exists$表示。

一般情况下，在使用量词时，应指明该变元的个体域。但在个体域非常清楚的情形，可以略去个体域。

定义 谓词是表示个体词的性质、行为或个体词之间的关系的词，通常用英文大写字母 $E,F,G,H$ 等表示。

量化命题

全称量化命题 形为“$P(x)$对个体域中的所有$x$为真”的命题称为全称量化肯定命题，其形式化表述为$\forall x\in X(P(x))$，其中$P$是谓词，$x$是个体变元，$X$是个体域。
全称量化否定命题同理。

存在量化命题 同理，$\exists x\in X(P(x))$。

定义 $\forall x\in X(P(x))$和$\exists x\in X(P(x))$中，$P(x)$称为量词的辖域或作用域。

定义 $\forall x\in X(P(x,y_1,y_2,...))$和$\exists x\in X(P(x,y_1,y_2,...))$中，$x$称为约束变元或约束出现，$y$称为自由变元或自由出现。

量化命题的否命题

$\neg(\exists x, P(x))=\neg(\exists x\in X(P(x)))=\forall x\in X(\neg P(x))$
$\neg(\forall x, P(x))=\neg(\forall x\in X(P(x)))=\exists x\in X(\neg P(x))$

全称消去 $\forall -$，Universal Instantiation。
全称生成 $\forall +$，Universal Generalization。

存在消去 $\exists -$，Existential Instantiation。
存在生成 $\exists +$，Existential Generalization。

习题

一.
设：$P(x)$：$x>0$且$x$为实数。$Q(x)$：$x\in(a,b)$。$R(a,x,y)$：$x$和$y$的距离小于$a$。$S(a,x,y)$：$f(x)$和$f(y)$的距离小于$a$。
1.
$\forall x (P(x)\to(\exists y(P(y)\to \forall x_1,x_2(Q(x_1)\land Q(x_2)\land R(y,x_1,x_2)\to S(x,x_1,x_2)))))$
2.
$\exists x (P(x)\land(\forall y(P(y)\land(\exists x_1,x_2(Q(x_1)\land Q(x_1)\land R(y,x_1,x_2)\land \neg S(x,x_1,x_2))))))$

二.
$(1)\ \exists x F(x)\to \forall y((F(y)\lor G(y))\to R(y))\quad 前提引入$
$(2)\ \exists x F(x)\quad 前提引入$
$(3)\ 存在c，F(c)\quad (2)\exists -$
$(4)\ \forall y((F(y)\lor G(y))\to R(y))\quad (1)(2)\to-$
$(5)\ (F(c)\lor G(c))\to R(c)\quad \forall-$
$(6)\ F(c)\lor G(c)\quad (3)\lor+$
$(7)\ R(c)\quad (5)(6)\to-$
$(8)\ \exists x R(x)\quad (7)\exists+$

三.
1. $\forall x H(x)$不成立，引入前提错误（应该是$\forall x \neg H(x)\lor \neg F(x)$）。

2.
$(1)\ \forall x(F(x)\to\neg G(x))\quad 前提引入$
$(2)\ \forall x (H(x)\to G(x))\quad 前提引入$
$(3)\ 对任意c，H(c)\to G(c)，F(c)\to \neg G(c)\quad (1)(2)\forall-$
$(4)\ 对任意c，\neg G(c)\to\neg H(c)，G(c)\to\neg F(c)\quad (3)假言易位$
$(5)\ 对任意c，G(c)\lor\neg G(c)\quad 定理$
$(6)\ 对任意c，\neg H(c)\lor\neg F(c)\quad (4)(5)\to -$
$(7)\ 对任意c，H(c)\to\neg F(c)\quad (6)\to-$
$(8)\ \forall x(H(x)\to\neg F(x))\quad (7)\forall+$

四.
记：$P(x)$：$x$喜欢步行，$Q(x)$：$x$喜欢骑自行车，$R(x)$：$x$喜欢乘汽车。
$(1)\ \forall x(P(x)\to\neg Q(x))\quad 前提引入$
$(2)\ \forall x(Q(x)\lor R(x))\quad 前提引入$
$(3)\ \exists x\neg R(x)\quad 前提引入$
$(4)\ 对某个c，\neg R(c)\quad (3)\exists-$
$(5)\ Q(c)\lor R(c)\quad (2)\forall-$
$(6)\ Q(c)\quad (4)(5)\lor-$
$(7)\ P(c)\to\neg Q(c)\quad (1)\forall-$
$(8)\ Q(c)\to\neg P(c)\quad (7)假言易位$
$(9)\ \neg P(c)\quad (6)(8)\to-$
$(10)\ \exists x\neg P(x)\quad (9)\exists+$

五.
记：$P(x)$：$x$是科学工作者。$Q(x)$：$x$是刻苦钻研的。$R(x)$：$x$是聪明的。$S(x)$：$x$会在事业中成功。记$c$为王大海，个体域为全体人。
$(1)\ \forall x(P(x)\to Q(x))\quad 前提引入$
$(2)\ \forall x(Q(x)\land R(x)\to S(x))\quad 前提引入$
$(3)\ P(c)\quad 前提引入$
$(4)\ R(c)\quad 前提引入$
$(5)\ P(c)\to Q(c)\quad (1)\forall-$
$(6)\ Q(c)\quad (3)(5)\to-$
$(7)\ Q(c)\land R(c)\quad (4)(6)\land+$
$(8)\ Q(c)\land R(c)\to S(c)\quad (2)\forall-$
$(9)\ S(c)\quad (7)(8)\to-$

第九章

简单命题

主项（Subject）命题所反映的思维对象称为命题的主项，常用 s 表示。
谓项（Predicate）命题所反映的思维对象施加作用的词称为谓项，常用 p 表示。

词项 主项和谓项统称为词项。
个体域 主项或谓项所处的范围称为个体域，表示不同的概念的外延，也称为类名，表达不同种类的事物。

联项 (Copula) 联系主项和谓项的词称为联项，表示主项和谓项间某种关系。
量项 (Quantifier) 表示主项数量的词项称为量项。

全称量项 表示个体域中所有对象的量项称为全称量项，用“所有”、“全部”、“一切”、“任意一个”等来表示。
特称量项 表示个体域中部分对象的量项称为特称量项，用“有”、“有的”、“存在”等表示。
单称量项 表示一般的单独对象的量项称为单称量项，常用“这个”、“一个”表示。表达唯一或指定的一个。

命题的质 对命题中联项肯定或否定形式的专称。
换质 推理过程中的术语，指命题的质的互换：肯定形式（如“是”）与否定形式（如“否”）的互换。
命题的量 对命题中主项和谓项的量的专称。

简单命题 只包含一个主项和一个谓项的命题称为简单命题。
基本结构为：（量项）+ 主项 + 联项 +（谓项）

直言命题

直言命题 (Categorical proposition） 直言命题是一类简单命题，直接陈述事物具有或不具有某种属性。
直言命题的分类 直言命题按质分为肯定命题和否定命题；按量分为全称命题、特称命题和单称命题；按质和量结合起来分为六种基本形式：全称肯定命题与全称否定命题，特称肯定命题与特称否定命题，单称肯定命题与单称否定命题。

全称肯定命题 断定某类事物的全部都具有某种性质的简单命题。
形式结构为：所有s是p。
全称肯定命题的代表符号为 A，又称为 A 型命题（A 命题），简记为：SAP。
形式化：$SAP\Leftrightarrow\forall x\exists y(x=y)$
一般应指明主项和谓项的个体域：$SAP\Leftrightarrow\forall x\in X\exists y\in Y(x=y)$

特称肯定命题 断定某类事物中的某个或某一部分具有某种性质的简单命题。
形式结构为：有 s 是 p。
特称肯定命题的代表符号为 I，又称为 I 型命题（I 命题），简记为：SIP。
形式化：$SIP\Leftrightarrow\exists x\exists y(x=y)$

单称肯定命题 断定某一特定的个别对象具有某种性质的简单命题。
形式结构为：这个 s 是 p。

全称否定命题 指断定某类事物的全部都不具有某种性质的简单命题。
形式结构为：所有 s 不是 p。
全称否定命题的代表符号为 E，又称为 E 型命题（E 命题），简记为：SEP。
形式化：$SEP\Leftrightarrow\forall x\forall y(x\neq y)$

特称否定命题 指断定某类事物中的某个或某一部分不具有某种性质的简单命题。
形式结构为：有 s 不是 p。
特称否定命题的代表符号为 O，又称为 O 型命题（O 命题），简记为：SOP。
形式化：$SOP\Leftrightarrow\exists x\forall y(x\neq y)$

单称否定命题 指断定某一特定的个别对象不具有某种性质的命题。

对应否命题很简单不写了。

直言命题推理的有效性

直言命题论证的有效性判定-直接法
从论证有效性的定义直接证明直言命题论证的有效性称为直接法。
例：
令：m 是哺乳动物，p 是脊椎动物，s 是狗。将例 (I) 形式化，我们得到其论证形式(A)：
$所有 m 都是 p$
$\underline{所有 s 都是 m}$
$所有 s 是 p$
论证形式(A)是有效的。

直言命题论证的有效性判定-反例法
举反例。
例：
$所有资本家都不是慈善家$
$\underline{所有慈善家都是利他主义者}$
$所有资本家都不是利他主义者$

令 a 是资本家，b 是慈善家，c 是利他主义者。则上面论证的论证形式为：
$所有 a 都不是 b$
$\underline{所有 b 都是 c}$
$所有 a 都不是 c$

为了表明该论证无效，需构造一个前提是确知的真理，而结论是确知谬误的具体例子。最好采用广为人熟悉和接受的事例。如：先选结论谬误的例为犬不是动物，则取 a 为犬和 c 为动物。于是论证变为：
$所有犬都不是 b$
$\underline{所有 b 都是动物}$
$所有犬都不是动物$

如果可选择 b 使得前提全为真，则我们给出了前提全真但结论假的实例，构成了有效性的反例，从而表明该论证是无效的。显然只要选 b 为一种不是犬的动物即可。如选 b 为猫，则
$所有犬都不是猫$
$\underline{所有猫都是动物}$
$所有犬都不是动物$

至此我们构造了该论证形式的一个前提全真结论为假的实例论证，即论证可信性的反例，所以该论证是无效的。

注意：
命题“s 是 p”形式化为 s → p，是错的。s 和 p 是词项，不是命题，不可赋值，而“$\to$”是真值运算符，因而$s\to p$无意义。
在将多个命题形式化为“s 是 p”或“s 不是 p”的时候，要注意“是”的含义的一致性，这是同一
律的基本要求，否则就会导致错误的结果。

关系命题

关系命题是一种简单命题，是描述事物之间存在某种关系的命题。
基本结构为：（量项）主项 + 关系联词 +（量项）谓项.

关系命题的种类
选用大写英文字母 R 表示关系联项，$\overline R$表示否定关系联项，s 和 p 分别表示主项和谓项。
最简单的关系命题形式为：$sRp,\ s\overline R p$

a. 仅涉及全称量词的关系命题
$\forall s\in S(sRp),\ \forall s\in S(s\overline Rp)$
表示所有的 s 和 p 之间有关系 R，或所有的 s 和 p 之间没有关系 R。

$\forall p\in P(sRp),\ \forall p\in P(s\overline Rp)$
表示 s 和所有的 p 之间有关系 R，或 s 和所有的 p 之间没有关系 R。

$\forall s\in S\forall p\in P(sRp),\ \forall s\in S\forall p\in P(s\overline Rp)$
形式化：$R(s,p),\ \forall s\in S,p\in P$
表示所有的 s 和所有的 p 之间有关系 R，或所有的 s 和所有的 p 之间没有关系 R。

b. 仅涉及存在量词的关系命题
同理。

c. 全称和存在量词共存的混合关系命题
同理。

关系命题的否命题
对于关系联接词 R，双否律成立：$\neg\neg R=\neg\overline R=r$

关系的类型
对称关系 主项和谓项是可以交换的。
对称性
设个体域 X，R 是 X 上的关系。R 称为对称关系，如果满足对 X 中任意 x 和 y，xRy 当且仅当 yRx。否则称为非对称关系。
形式化：$\forall s\forall p(Sym(s,p))$

反对称性
设个体域 X，R 是 X 上的关系。R 称为反对称关系，如果满足对 X 中任意 x 和 y，如果 xRy 且 $x\neq y$，则没有 yRx。
形式化：$\forall s\forall p(Asym(s,p))$

传递关系 即有传递性。
传递性
形式化：$\forall s\forall p(Tr(s,p))$

等价关系
等价关系R满足自反、对称、传递。
形式化：$\forall s\forall p(Eq(s,p))$

序关系
序关系R满足自反、反对称、传递。
形式化：$\forall s\forall p(Ord(s,p))$

全序关系：集合中任意两元素可比较。包含偏序关系
偏序关系：集合中任意的两元素不一定都可比较。

习题

一.
1. BCDE
2. D
3. A

若a真，所有人都是。若b真，负责人不是，与c矛盾。若C真，ab矛盾。

二.
1.无效
设：a是鸟，b是动物，c是树，则论证形式为：
$所有 a 都是 b$
$\underline{所有 c 都不是 a}$
$所有 c 都不是 b$

取a是草，b是植物，c是树，则上可得：
$所有 草 都是 植物$
$\underline{所有 树 都不是 草}$
$所有 树 都不是 植物$
不成立。所以原论证不成立。

2.无效
喜欢关系不是传递关系。

3.有效
设：a是马克思主义，b是不怕批评的，c是真理，有：
$所有 c 都是 b$
$\underline{所有 a 都是 c}$
$所有 a 都是 b$

三.
1. 可信。由三段论易知，且前提为真。
2. 不可信。前提不为真。
3. 不可信。前提不为真。

四.
1.
$所有 a 都不是 c$
$\underline{有些 b 不是 c}$
$有些 b 是 a$
令a是植物，b是动物，c是爬行动物。
$所有 植物 都不是 爬行动物$
$\underline{有些 动物 不是 爬行动物}$
$有些 动物 是 植物$
显然矛盾。

2.
$所有 a 都不是 c$
$\underline{有些 b 是 c}$
$所有 b 都不是 a$
令a是狗，c是猫，b是动物，则：
$所有 狗 都不是 猫$
$\underline{有些 动物 是 猫}$
$所有 动物 都不是 狗$
显然矛盾。

3.
$有些 a 是 b$
$\underline{所有 b 都是 c}$
$有些 c 不是 a$
令a是动物，b是狗，c是哺乳动物，则：
$有些 动物 是 狗$
$\underline{所有 狗 都是 哺乳动物}$
$有些 哺乳动物 不是 动物$
显然矛盾。

4.
$所有 a 都是 c$
$\underline{所有 b 都不是 a}$
$所有 b 都不是 c$
令a是猫，c是动物，b是狗，则：
$所有 猫 都是 动物$
$\underline{所有 狗 都不是 猫}$
$所有 狗 都不是 动物$
显然矛盾

第十章

直言命题的形式化

直言命题的抽象形式
项和谓项是个体变元，用等号$=$形式化“是”，则不等号$\neq$形式化“不是”。
注意：“是”不同于$\to$（直言命题），“是”就是“是”。
不同的例子可见教材P202。

等式 x = y 具有自反性、对称性、传递性。

具体格式见上 https://www.zybuluo.com/SovietPower/note/1823011#%E7%9B%B4%E8%A8%80%E5%91%BD%E9%A2%98

关系命题的形式化

具体格式见上 https://www.zybuluo.com/SovietPower/note/1823011#%E5%85%B3%E7%B3%BB%E5%91%BD%E9%A2%98

简单命题的对当关系

设 α 和 β 是任意两个命题。
(a) 如果 α 真则 β 真，则称 β 上从属于 α，α 和 β 是上从属关系。
(b) 如果 α 假则 β 假（即如果 β 真则 α 真），则称 β 下从属于 α，α 和 β 是下从属关系。

即：$a\to b$，则 b 上从属于 a，a 下从属于 b。

如果 α 和 β 不能同时为真，则称 α 和 β 是上反对命题。
如果 α 和 β 不能同时为假，则称 α 和 β 是下反对命题。
上反对概念等同于反对概念。矛盾命题之间既是上反对关系也是下反对关系。

α 和 β 是上反对关系，当且仅当：$α 和 \neg β$ 是上从属关系，或 $β 和 \neg α$ 是上从属关系。即$(a\to\neg b)\lor(b\to\neg a)$。
α 和 β 是下反对关系，当且仅当：$α 和 \neg β$ 是下从属关系，或 $β 和 \neg α$ 是下从属关系。即$(\neg b\to a)\lor(\neg a\to b)$。

一般简单命题对当关系
上下从属、上下反对、矛盾 5种关系。
除了矛盾，另外4种任意成立一条则其余全部成立，称为对当表（见教材P194图片）。

(a) 如果全称肯定命题 SAP 真，则特称肯定命题 SIP 必真，即 SIP 上从属于 SAP。
(b) 如果特称肯定命题 SIP 假，则全称肯定命题 SAP 必假，即 SAP 下从属于 SIP。
(c) 如果全称否定命题 SEP 真，则特称否定命题 SOP 必真，即 SOP 上从属于 SEP。
(d) 如果特称否定命题 SOP 假，则全称否定命题 SEP 必假，即 SEP 下从属于 SOP。

将上述四种类型直言命题之间的关系绘制成一张表，称之为对当图。

关系命题对当关系
见教材P198图片。

直言命题的词项逻辑

量词推理规则
就是将$\forall \exists$换成所有/某个，放到命题后面（-）或前面（+）。
见教材P198图片。

矛盾规则/摩根律
取反即所有的$\forall \exists =$均取反。
下面的规则只取反第二个$\forall\exists$。
$¬SAP\vDash SOP, ¬SOP\vDash SAP$
$¬SIP\vDash SEP, ¬SEP\vDash SIP$

上反对规则
$\forall x\exists y(x = y)\vDash ¬\forall x\forall y(x\neq y)$
$\forall x\forall y(x\neq y)\vDash ¬\forall x\exists y(x = y)$

下反对规则
$¬\exists x\exists y(x = y)\vDash \exists x\forall y(x\neq y)$
$¬\exists x\forall y(x\neq y)\vDash \exists x\exists y(x = y)$

上从属规则
$\forall x\exists y(x = y)\vDash \exists x\exists y(x = y)$
$\forall x\forall y(x\neq y)\vDash \exists x\forall y(x\neq y)$

下从属规则
$¬\exists x\exists y(x = y) \vDash \neg \forall x\exists y(x = y)$
$\neg \exists x\forall y(x\neq y) \vDash \neg \forall x\forall y(x\neq y)$

递推规则

换位规则
$\exists x\exists y(x = y) = \exists y\exists x(y = x)$
$\forall x\forall y(x\neq y) = \forall y\forall x(y\neq x)$

换质规则
将等号“=”和“$\neq$”互换称为换质。
设个体词 x 的个体域为 X。$X^c$为 X 之外的个体全体组成的个体域，$x^c$称为$X^c$的个体词，即$\neq X$的一个个体词。
$∀x∃y(x = y) = ∀x∀y^c (x\neq y^c)$
$∃x∃y(x = y) = ∃x∀y^c (x\neq y^c)$
$∀x∀y(x\neq y) = ∀x∃y^c (x = y^c)$
$∃x∀y(x\neq y) = ∃x∃y^c (x = y^c)$
注意是可能用到的！如习题四.2。

关系命题的词项逻辑

a. 对称关系推理规则
对称关系有换位规则

b. 传递关系推理规则
传递关系有递推规则

c. 等价关系推理规则
等价关系有换位规则、递推规则

简单命题推理系统

与前面基本相同，但$\to$不同于“是”，“是”使用上述规则：递推、换位、从属规则等。

习题

一.
记$\alpha$为a，$\beta$为b。
1. a和b是上从属，则$a\to b\Leftrightarrow\neg b\to\neg a$（逆否命题），即b和a下从属。
2. a和b是上从属，则$a\to b\Leftrightarrow\neg(\neg a)\to\neg(\neg b)$，即$\neg a$和$\neg b$下从属。
3. a和b上反对，则$(a\to\neg b)\lor(b\to\neg a)\Leftrightarrow \neg a\lor\neg b\Leftrightarrow(\neg b\to a)\lor(\neg a\to b)$，即ab下反对。
4. a和b上反对，等价于$(a\to\neg b)\lor(b\to\neg a)$，即$a,\neg b$上从属或$b,\neg a$上从属。
5. a和b下反对，等价于$(\neg b\to a)\lor(\neg a\to b)$，即$a,\neg b$下从属或$b,\neg a$下从属。

二.
1.
$(1)\ \exists x\exists y(x=y)\quad 前提引入$
$(2)\ \forall y\exists z(y=z)\quad 前提引入$
$(3)\ x_0=y_0, 对某个x_0,y_0\quad (1)\exists\exists-$
$(4)\ y_0=z_0, 对某个z_0\quad (2)\exists-$
$(5)\ x_0=z_0\quad (3)(4)递推$
$(6)\ \exists x\exists z(x=z)\quad (5)\exists\exists+$

2.
$(1)\ \exists x\exists y(x=y)\quad 前提引入$
$(2)\ \forall y\forall z(y\neq z)\quad 前提引入$
$(3)\ x_0=y_0, 对某个x_0,y_0\quad (1)\exists\exists-$
$(4)\ \forall z, y_0\neq z\quad (2)\forall-$
$(5)\ \forall z, x_0\neq z\quad (3)(4)$
$(6)\ \exists x\forall z(x\neq z)\quad (5)\exists+$

四.
1.不可信。
令a是社会主义国家，b是重视福利的国家，c是没有税收的国家。
$所有 a 都是 b$
$\underline{所有 b 都不是 c}$
$有些 c 是 a$
令a是猫，b是动物，c是植物，则：
$所有 猫 都是 动物$
$\underline{所有 动物 都不是 植物}$
$有些 植物 是 猫$
显然矛盾

2.可信。
令x是经营不善的企业，y是无法生存的企业，z是老字号。
$(1)\ \forall x\exists y(x=y)\quad 前提引入$
$(2)\ \exists z\forall y(z\neq y)\quad 前提引入$
$(3)\ \forall x\forall y^c(x\neq y^c)\quad (1)换质规则$
$(4)\ \exists z\exists y^c(z=y^c)\quad (2)换质规则$
$(5)\ z_0=y^c_0, 对某个z,y^c\quad (4)\exists\exists-$
$(6)\ \forall x(x\neq z_0)\quad (3)(5)$
$(7)\ \exists z\forall x(x\neq z)\quad (6)\exists+$
得证。

3.不可信。前提不为真。
令：a是抽烟的医生，b是不爱惜自己生命的医生，c是不爱惜他人生命的医生，d不会认真对待患者的，e是好医生。
$(1)\ \forall a\exists b(a=b)\quad 前提引入$
$(2)\ \forall b\exists c(b=c)\quad 前提引入$
$(3)\ \forall c\exists d(c=d)\quad 前提引入$
$(4)\ \forall d\forall e(d\neq e)\quad 前提引入$
$(5)\ \forall a\forall e(a\neq e)\quad (1)(2)(3)(4)递推规则$

4.可信。
令：a是古典文学作品，b是名作，c是给人历史知识的，d是人们喜欢读的，e是枯燥无味的。
$(1)\ \forall a\exists b(a=b)\quad 前提引入$
$(2)\ \exists a\exists c(a=c)\quad 前提引入$
$(3)\ \forall b\exists d(b=d)\quad 前提引入$
$(4)\ \forall e\forall d(d\neq e)\quad 前提引入$
$(5)\ a_0=c_0, 对某些a,c\quad (2)\exists\exists-$
$(6)\ c_0=b_0, 对某些b\quad (1)\forall-$
$(7)\ c_0=d_0, 对某些d\quad (3)\forall-$
$(8)\ \exists c\exists d(c=d)\quad (7)\exists\exists+$

5.有效。
令：$A(x)$：x是古典文学作品，$B(x)$：x是名作，$C(x)$：x是给人历史知识的，$D(x)$：x是人们喜欢读的，$E(x)$：x是枯燥无味的。
结论：$\exists x(C(x)\land\neg E(x))$
$(1)\ \forall x(A(x)\to B(x))\quad 前提引入$
$(2)\ \exists x(A(x)\land C(x))\quad 前提引入$
$(3)\ \forall x(B(x)\to D(x))\quad 前提引入$
$(4)\ \forall x(E(x)\to\neg D(x))\quad 前提引入$
$(5)\ A(x_0)\land C(x_0), 对某个x\quad (2)\exists-$
$(6)\ A(x_0)\to B(x_0)\quad (1)\forall-$
$(7)\ B(x_0)\land C(x_0)\quad (5)(6)假言推理$
$(8)\ B(x_0)\to D(x_0)\quad (3)\forall -$
$(9)\ D(x_0)\land C(x_0)\quad (7)(8)假言推理$
$(10)\ \forall x(D(x)\to\neg E(x))\quad (4)假言易位$
$(11)\ D(x_0)\to\neg E(x_0)\quad (10)\forall-$
$(12)\ C(x_0)\land\neg E(x_0)\quad (9)(11)假言推理$
$(13)\ \exists x(C(x)\land\neg E(x))\quad \exists+$
得证。