图论 笔记

正睿OI 图论

有些东西不知道有什么用...但既然dls讲了就记记吧。很多东西来自国庆正睿 dls课件。
把以前的写的合并到一篇了。
也可以看这儿。

度数序列

对于无向图，$d_1,d_2,...,d_n$为每个点的度数。
有$d_1+d_2+...+d_n=2e$（每条边被计算两次）。
有偶数个度数为奇数的点。

Havel–Hakimi算法

给定一个由有限多个非负整数组成的度数序列，是否存在一个简单图使得其度数序列恰为这个序列。
令$S=(d_1,d_2,...,d_n)$为有限多个非负整数组成的非递增序列。
$S$可简单图化当且仅当有穷序列$S’=(d_2-1,d_3-1,...,d_{d_1+1}-1,d_{d_1+2},...,d_n)$只含有非负整数且是可简单图化的。
序列$S$可简单图化是指存在一个无向图（无重边无自环），使得其度数序列恰为$S$。
（这个其实就是很显然的东西。。主要是一个定义）

Erdős–Gallai定理

令$S=(d_1,d_2,...,d_n)$为有限多个非负整数组成的非递增序列。
$S$可简单图化当且仅当这些数字的和为偶数，且

对于任意$1\leq k\leq n$都成立。
也不难理解。对前$k$个点分配度数，除了两两能连$\frac{k(k-1)}{2}$条边外，剩下的度数由后面点的度数补。
因为$d_i$非递增，从小到大枚举$k$，维护$d_i$后缀与$k$取$\min$的和（$d_i,k$都是单调的，维护从哪开始$\min(d_i,k)$的结果是$d_i$）。就可以$O(n)$判断了。

例题：Good Bye 2018 E（竟然真的遇到了），NEERC2013 K.Kids in a Friendly Class。

欧拉路与欧拉回路

给定一张无向/有向图，求一条经过所有边恰好一次的回路。
有解当且仅当所有点 度数为偶数(无向)/入度等于出度(有向)。
任选一点开始dfs，每条边只经过一次。回溯时将回溯的边加入队列，最后队列的逆序就是答案。
时间复杂度 $O(m)$.
欧拉路径也可以用一样的方法求出（找度数为奇数的点进行DFS）。

欧拉回路：有向图：所有点的出度入度都相等；从任意一点都可实现。
　　　　　无向图：所有点度数都为偶数。
欧拉路：有向图：有两个点可以入度出度不相等（差不大于一），即起点终点；起点入度小于出度，终点入度大于出度 。
　　　　无向图：仅有两个点度数为奇数。
注：必须为连通图（用并查集判断）。
两笔画问题：
有解当且仅当入度为奇数的点不超过四个。
将其中两个点加一条边后求欧拉路径，然后在这条边处断开成两条欧拉路即可。
时间复杂度 $O(m)$.

题目

UOJ.117(模板)、题集。

Prufer序列

这个很全啊，可以看这儿。
Defination：
　　Prufer序列是一种无根树的编码表示。
　　对于一棵$n$个点的无根树，对应唯一一串长度为$n-2$的$Prufer$序列。

无根树转$Prufer$序列

　　定义无根树中度数为$1$的节点是叶子节点，每次找到编号最小的叶节点删除，在序列中添加与之相邻的点。如此重复直到剩下最后两个节点。

　　上图对应无根树的$Prufer$序列为$3,5,1,3$。

$Prufer$序列转有根树

　　给定点集$G={1,2,\ldots,n}$，$Prufer$序列$[a_1,a_2,\ldots,a_{n-2}]$。
　　每次取出$Prufer$序列中的第一个元素$x_i$，在$G$中找在当前$Prufer$序列中没有出现的第一个元素$y_i$，在$x_i$和$y_i$间连一条边；将$x_i$从$Prufer$序列中删除，$y_i$从$G$中删除。
　　最后$G$中还剩下$2$个元素，在这$2$个元素间连一条边。

生成树计数

Cayley定理：完全图的生成树个数为$n^{n-2}$。
如果每个点的度数为$d_i$，那么生成树个数为$\frac{(n-2)!}{(d_1-1)!(d_2-1)!...(d_n-1)!}$。
每个连通块大小为$a_i$，那么添加一些边将这些连通块连通的生成树个数为$a_1\times a_2\times...\times a_n\times(a_1+a_2+...+a_n)^{n-2}$。

题目

　　题集。

Matrix-Tree定理

　　无向图生成树计数：令$G=D-A$（基尔霍夫矩阵=度数矩阵-边矩阵），然后去除$G$的任意一行一列得到$G’$，$G’$的行列式即生成树个数。
　　有向图生成树计数：与无向图不同的是，$D$矩阵为入度/出度矩阵分别对应外向树/内向树。且删掉第$i$行第$i$列表示以$i$为根节点的生成树个数。

题目

　　题集。

最小生成树 Borůvka算法

一开始每个连通分量是一个点本身。
每轮枚举所有属于不同连通分量的边，每个连通分量选择和其他连通分量相连的最小的边，然后合并。
每轮连通块个数至少减半，所以最多进行$\log V$轮。时间复杂度$O(E\log V)$。
具体实现直接用并查集即可。代码可以看这里。

题目

一般用来做边权与点权相关，还是个完全图，求MST的题？
1. 有$n$个点的完全图，每个点的权值为$a_i$，两个点之间的边权为$(a_i+a_j)\ mod\ M$。求这张图的最小生成树。
$N\leq10^5,0\leq M,a_i\leq10^9$
具体怎么做忘了。。你们结合下面的题脑补一下。
2. CF888G。
有一张$n$个点的完全图，每个点的权值为$a_i$，两个点之间的边权为$a_i\ \text{xor}\ a_j$。求该图的最小生成树。
$n\leq2*10^5,0\leq ai<2^{30}$。

最小瓶颈生成树

使得生成树树上最大边权值最小。
方法1：最小生成树一定是最小瓶颈生成树。
方法2：二分答案，看点是否连通。
方法3：
　　类比找第k大值的方法(nth_element)，首先随机一个边权$w$。然后将不超过这个边权的边加入，遍历这张图。
　　如果图连通，那么瓶颈不超过$w$，于是只需考虑边权不超过$w$的边；否则将这些连通点缩起来，考虑边权大于$w$的边。
　　每次将问题的规模缩小至一半。期望时间复杂度$T(m)=T(\frac m2)+O(m)=O(m)$。

单源最短路(SSSP)

$Dijkstra$（贪心）或者$Bellman Ford$（动态规划）。
时间复杂度$O(m\log n)$或者$O(nm)$。

一些变种

边权是$0/1$：双端队列，如果是$0$在头部插入，否则在尾部插入。
最长路径不超过$W$, 正权图：使用$0...W$的桶+链表维护这些点（代替堆），时间复杂度$O(m+W)$。

关于判负环

复杂度$O(nm)$。代码实现可以记录最短路树上的深度来判环，而不是入队次数，这样会有优化。

if(dis[v]>dis[u]+w)
    dis[v]=dis[u]+w
    dep[v]=dep[u]+1
    if(dep[v]>n) return;

差分约束

大体过程：http://www.cppblog.com/menjitianya/archive/2015/11/19/212292.html
考虑最短路中的松弛操作：if(dis[v]>dis[x]+w) dis[v]=dis[x]+w，也就是强制使得$dis[v]$满足$dis[v]\leq dis[x]+w\Rightarrow dis[v]-dis[x]\leq w$。
所以对于$x_j-x_i\leq w$的限制，可以连一条边$(i\to j,w)$。这样求$x_n-x_0$的最大值，就是求$0\to n$的最短路。
如果限制是$x_j-x_i\geq w$，同理连边$(i\to j,w)$。$x_n-x_0$的最小值就是求$0\to n$的最长路。
如果两种限制都有，就把$\geq$变成$\leq$。
解的存在性：
比如求$x_n-x_0$的最大值：若图中存在负环，则$0\to n$的最短路无穷小，则不存在最大值（无解）。
若$0$和$n$就不在同一连通块，则$0\to n$的最短路无穷大，最大值无穷大（或者存在无数多解）。
否则有解。
PS：
$SPFA$可以根据入队次数判负环，也可以据此判正环。虽然效率都不高就是了。
$Dijkstra$不能求最长路（本质是贪心）。
如何判断解唯一：
对原图求一遍最短路。将原图取反，边权取反，求一遍最长路。
一个标号对应的是能取到的最小值，一个是最大值。
如果相同则解唯一。（没什么用）

题目

题集。

多源最短路(APSP)

$Floyd$：$O(n^3)$
$Johnson$算法（可用于负权图）：$O(nm\log n)$

$Johnson$算法

原理：首先给图中每个点一个权值$h(u)$, 把每条边的边权$w(u,v)$改成$w(u,v)+h(u)-h(v)$。
对于$s\to t$的一条路径$p$，权值为

=
所以这么做不会改变最短路。（具体也可以看这里）
实现：第一次SPFA预处理$1$到每个点的距离$dis$，记$h(v)=dis(v)$。然后把边权$w(u,v)$改为$w(u,v)+h(u)-h(v)$。
其中$h(u)$为给每个点设定的权值，$h(u)=dis[u]$。
由不等式可以得到$dis(u)+w(u,v)\geq dis(v)$，也就是改完之后所有边权非负。
之后可以每个点用$Dijkstra$跑。就是$O(nm\log n)$啦。
这样也可以实现$Dijkstra$跑费用流。

半径 直径 (正权图)

（后面就直接抄dls课件了QAQ）
$u$的偏心距 $ecc(u)=\max\{dis(u,v)\}$
直径 $d=\max\{ecc(u)\}$
半径 $r=\min\{ecc(u)\}\ (d\neq2r)$
中心 $arg\ \min\{ecc(u)\}$（要求定义在点上）
绝对中心（可以定义在边上）

绝对中心

相关：求最小直径生成树（差不多）。
实现：固定一条$(u,v)$，考虑上面的点$p$的偏心距。
假设第三个点是$w$, $dis(p,u)=x$。
那么对应的折线为$\min\{x+dis(u,w),\ w(u,v)-x+dis(v,w)\}$。
那么偏心距为$n$条折线的最大值形成的折线。
按左端点排序维护一下。时间复杂度$O(nm\log n)$

最小直径生成树

即绝对中心的最短路树。
如何证明？
注意一棵树$T$的直径为半径的两倍(对绝对中心来说)。如果最小直径生成树$T’$不包含绝对中心，那么取$T’$的绝对中心$v$，显然矛盾。

拓扑排序

每次去掉图中入度为$0$的点。
时间复杂度$O(n+m)$。
如果最后不为空集，那么这个图不为DAG。（否则每个点入度不为0，即每个点可以选择一个前趋，沿着前趋走根据抽屉原理一定能找到相同点，也就是一个环。）
按照反图DFS，出栈序列就是一个合法的拓扑序列。
scc缩点顺序也是一个合法拓扑序。

求字典序最小的拓扑序

每个点有不同的标号，要使得拓扑序最小。
将拓扑排序的队列改成优先队列即可。

最小拓扑序的一个变种

使得最后的拓扑序中1的位置尽量靠前，如果相同比较2的位置，依次类推。
首先考虑如何求1最早出现的位置，可以将原图反向，然后每次弹除了1之外的元素，直到队列只剩下1为止。
这是反图中1的最晚的出现的位置，也就是原图中最早的。
根据是否在队列里，这个图被分成两部分，在对应的图中用同样的方法处理2，依次类推。
容易发现每次找尽量大的元素出队，能完成上述的过程。
所以等价于反图最大字典序。

题目

题集。

二分图匹配

Hall's marriage theorem（霍尔定理）

对于一个二分图$G=(X,Y,E)$，记$S$为$X$的一个子集，$N(S)$为所有$S$中所有点的相邻点的并集。
一个图有完备匹配当且仅当$X$的所有子集$S$都有$|S|\leq|N(S)|$。
对一般图的推广:

推论: 每个正则二分图都有完备匹配。

Kőnig's theorem

最小点覆盖=最大匹配 (与最大流最小割定理等价)
最大独立集=点数-最大匹配 (独立集为点覆盖的补集)
最小边覆盖=最大独立集 (独立集中每个点需要一条边去覆盖)

DAG最小路径覆盖

覆盖所有的边：每条边下界设为1, 然后求最小流。
覆盖所有的点：建立二分图，对于$u\to v$的边，看做二分图中的$(u,v’)$，然后答案为点数-最大匹配。
$Dilworth$定理: 最大反链=最小链覆盖；最短的最长链=最小反链划分数-1（？存疑。见BZOJ4160）。（当然这个不应该只放在二分图部分的）

题目

题集。

连通分量

强连通分量

$Tarjan$。
将一个图的所有强联通分量缩起来会得到一个DAG。

双联通分量

点连通度: 最小的点集使得删去之后图不连通
边连通度: 最小的边集使得删去之后图不连通
如果一个图的点连通度大于1，那么是点双连通的，边连通同理。
双联通分量为图中的极大双联通子图。

割点和桥

考虑DFS树，每条非树边对应着一个点到祖先的路径。对于一条非树边只要把对应的边打上标记即可。
比如对于$(u,v)$这条非树边，只要在$u$点打上$+1$的标记，$v$点打上$-1$的标记。
$x$到$fa[x]$的树边的覆盖次数为子树内所有标记的和。
割点同理（注意特判根节点和叶节点）。
（没看懂下面要干嘛）

题目

题集。

2-SAT

一堆变量的二元限制。
问是否存在合法的赋值。

题目

例题，题集。

曼哈顿距离与切比雪夫距离

将原坐标系每个点的坐标$(x,y)$变为$(x+y,x-y)$，则原坐标系中的曼哈顿距离等于新坐标系中的切比雪夫距离。
反过来，将原坐标系每个点的坐标$(x,y)$变为$(\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})$，则原坐标系中的切比雪夫距离等于新坐标系中的曼哈顿距离。
例题：BZOJ3170 松鼠聚会。