BZOJ4827: [Hnoi2017]礼物

bzoj FFT

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由于之前FFT学习笔记实在太长了，就不再往里面加了

Description

我的室友最近喜欢上了一个可爱的小女生。马上就要到她的生日了，他决定买一对情侣手 环，一个留给自己，一个送给她。每个手环上各有 $n$ 个装饰物，并且每个装饰物都有一定的亮度。但是在她生日的前一天，我的室友突然发现他好像拿错了一个手环，而且已经没时间去更换它了！他只能使用一种特殊的方法，将其中一个手环中所有装饰物的亮度增加一个相同的自然数 $c$（即非负整数）。并且由于这个手环是一个圆，可以以任意的角度旋转它，
但是由于上面 装饰物的方向是固定的，所以手环不能翻转。需要在经过亮度改造和旋转之后，使得两个手环的差异值最小。在将两个手环旋转且装饰物对齐了之后，从对齐的某个位置开始逆时针方向对装饰物编号 $1,2,…,n$，其中 $n$ 为每个手环的装饰物个数，第 $1$ 个手环的 $i$ 号位置装饰物亮度为 $x_i$，第 $2$ 个手环的 $i$ 号位置装饰物
亮度为 $y_i$，两个手环之间的差异值为(参见输入输出样例和样例解释)： $\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2$ 麻烦你帮他计算一下，进行调整（亮度改造和旋转），使得两个手环之间的差异值最小， 这个最小值是多少呢？

Input

输入数据的第一行有两个数 $n$ , $m$ ，代表每条手环的装饰物的数量为 $n$ ，每个装饰物的初始亮度小于等于 $m$ 。
接下来两行，每行各有 $n$ 个数，分别代表第一条手环和第二条手环上从某个位置开始逆时 针方向上各装饰物的亮度。
$1≤n≤50000, 1≤m≤100, 1≤ai≤m$

Output

输出一个数，表示两个手环能产生的最小差异值。
注意在将手环改造之后，装饰物的亮度 可以大于 $m$。

Sample Input

5 6
1 2 3 4 5
6 3 3 4 5

Sample Output

1

【样例解释】

需要将第一个手环的亮度增加1，第一个手环的亮度变为： 2 3 4 5 6 旋转一下第二个手环。对于该样例，是将第二个手环的亮度6 3 3 4 5向左循环移动 2017-04-15 第 6 页，共 6 页 一个位置，使得第二手环的最终的亮度为：3 3 4 5 6。此时两个手环的亮度差异值为1。

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Solution:

我们根据题意，另第一个手环的增加量为 $c$ ，第二个手环旋转过 $t$ 个位置，最终在 $t$ 位置的差异值为函数 $G(t)$。

不难把题意写成一下式子：

$$G(t)=\sum_{i=1}^{n}(a_i+c-b_{i+t})^2$$

然后进行一些化简

$$\begin{equation*} \begin{aligned} G(t)&=\sum_{i=1}^{n}(a_i+c-b_{i+t})^2\\ &=\sum_{i=1}^{n}[(a_i+c)^2-2(a_i+c)b_{i+t}+b^2_{i+t}]\\ &=\sum_{i=1}^{n}(a^2_i+2a_ic+c^2-2a_ib_{i+t}-2cb_{i+t}+b^2_{i+t})\\ &=\sum a^2_i + \sum b^2_{i+t} + nc^2 + 2c\sum(a_i-b_{i+t})-2\sum_{i=1}^{n}a_ib_{i+t} \end{aligned} \end{equation*}$$

这时，我们可以发现，上式中的$\sum a^2_i + \sum b^2_{i+t}$ 是一个定值，而对于各个 $t$ 的 $\sum_{i=1}^{n}a_ib_{i+t}$可以进行计算，而考虑到 $m$ 只有 $100$，可以枚举每一个 $c\in [0,m]$计算上式的值，并取最小值即为最终答案。

对于$\sum_{i=1}^{n}a_ib_{i+t}$的计算，记$f(t)=\sum_{i=1}^{n}a_ib_{i+t}$，

将 $a$ 反转得到 $a^R$，则$f(t)=\sum_{i=1}^{n}a^R_{n-i+1}b_{i+t}$，

那么 $h(n+t+1)=f(t)=\sum_{i=1}^{n}a^R_{n-i+1}b_{i+t}$，这是一个卷积的形式，可以使用FFT进行优化，具体操作的时候只要在 $b$ 数组，后面复制一遍其本身，使长度达到 $2n$即可。

感觉m可以很大，不知道为什么只有100，可以直接暴力枚举

总时间复杂度为 $O(mnlogn)$

/**************************************************************
    Problem: 4827
    User: zzzc18
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:980 ms
    Memory:10980 kb
****************************************************************/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const double PI = acos(-1.0);
const int MAXN = 200000+9;
int n,m;
int loc[MAXN];
int size,bit_length;
struct C{
    double x,y;
    C(double _x=0,double _y=0):x(_x),y(_y){}
};
C operator + (const C &A,const C &B){
    return C(A.x+B.x,A.y+B.y);
}
C operator - (const C &A,const C &B){
    return C(A.x-B.x,A.y-B.y);
}
C operator * (const C &A,const C &B){
    return C(A.x*B.x-A.y*B.y,A.x*B.y+A.y*B.x);
}
C A1[MAXN],B1[MAXN];
LL calc[MAXN];
LL sumA,sumB;
LL sumA2,sumB2;
int a[MAXN],b[MAXN];
void init(int len){
    for(size=1,bit_length=-1;size<len;size<<=1,bit_length++);
    int now=0;
    for(int i=0;i<size;i++){
        loc[i]=now;
        for(int j=1<<bit_length;(now^=j)<j;j>>=1);
    }
}
void DFT(int *A,C *re){
    for(int i=0;i<size;i++)
        re[i]=C(A[loc[i]],0);
    for(int k=2;k<=size;k<<=1){
        int len=k>>1;
        C Wn(cos(2.0*PI/k),sin(2.0*PI/k));
        for(int i=0;i<size;i+=k){
            C W(1,0);
            for(int j=0;j<len;j++){
                C u=re[i+j],v=re[i+j+len]*W;
                re[i+j]=u+v;
                re[i+j+len]=u-v;
                W=W*Wn;
            }
        }
    }
}
void IDFT(C *A,C *re){
    for(int i=0;i<size;i++)
        re[i]=A[loc[i]];
    for(int k=2;k<=size;k<<=1){
        int len=k>>1;
        C Wn(cos(2.0*PI/k),sin(-2.0*PI/k));
        for(int i=0;i<size;i+=k){
            C W(1,0);
            for(int j=0;j<len;j++){
                C u=re[i+j],v=re[i+j+len]*W;
                re[i+j]=u+v;
                re[i+j+len]=u-v;
                W=W*Wn;
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<size;i++)
        re[i].x/=size;
}
void solve(){
    init(n<<1);
    DFT(a,A1);DFT(b,B1);
    for(int i=0;i<size;i++)
        A1[i]=A1[i]*B1[i];
    IDFT(A1,B1);
    for(int i=0;i<size;i++)
        calc[i]=-2LL*LL(B1[i].x+0.5);
    /*//DEBIG
      for(int i=0;i<size;i++)
      printf("%lld\n",calc[i]/(-2LL));*/
    LL ans=1000000000000000;
    for(int t=0;t<=n;t++){
        LL val=calc[n+t+1]+sumA2+sumB2;
        LL tmp=1000000000000000;
        for(int i=0;i<=m;i++)
            tmp=min(tmp,1LL*n*i*i+2LL*i*(sumA-sumB)+val);
        ans=min(ans,tmp);
    }
    printf("%lld\n",ans);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        sumA+=a[i];
        sumA2+=a[i]*a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&i[b]);
        b[i+n]=b[i];
        sumB+=b[i];
        sumB2+=b[i]*b[i];
    }
    reverse(a+1,a+n+1);
    solve();
    return 0;
}