数学分析期末复习

课程学习

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zzzc18：突然发现考试好近，系统复习不靠谱了，要用习题导向法了

Chap1极限与连续

Chap1-1预备知识

有理数集是不完备的

好像也不是在说极限是无理数，而是

实数的完备性，是指实数能满足确界原理/单调有界原理/柯西收敛定理/区间套定理/有限覆盖定理的一种特性。

上确界

集合中若有最大元素，则该元素为上确界

基本初等函数与初等函数

常量函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的 函数,称为初等函数

Chap1-2数列极限

Eg1

$\lim\limits_{n \to \infty} a^{\frac{1}{n}}=1$

$a>1$时用到了 $a^{\frac{1}{n}}-1 \leq \frac{a-1}{n}$

Chap1习题

由极限确定参数

要充分利用 $\frac{0}{0}$ 型极限不为 $0$ 的情况

如 $\lim \limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=A$ 则可以判断 $\lim \limits_{x \to 0} f(x) = 0$，
类似的，有 $\lim \limits_{x \to \infty} x\cdot f(x)=A$ 也可以说明 $\lim \limits_{x \to \infty} f(x)=0$

因此，要求参数而条件看起来不够时可以对原式变形让它长成上面两种样子，然后就获得新条件了

同时不要忘了可以用洛必达法则

Tips

根式可以试一下有理化，分子分母都算

Chap2导数与微分

弧微分

$$ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=dx\sqrt{1+y'_x}$$

曲线的曲率半径

$$\begin{equation}\nonumber \left\{ \begin{array}{lcl} x=\phi(t) \\ y=\psi(t) \end{array} \right. \end {equation} \\ R=\frac{|\phi'(t)\psi''(t)-\phi''(t)\psi'(t)|}{[\phi'^2(t)+\psi'^2(t)]^{\frac{3}{2}}}$$

不好记不好推的导数

$$(arcsin\ x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$(arcscos\ x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$(arctan\ x)'=\frac{1}{x^2+1}$$

$$(arccot\ x)'=-\frac{1}{x^2+1}$$

$$(sec\ x)'=sec\ x\cdot tan\ x$$

$$(csc\ x)'=-csc\ x\cdot cot\ x$$

$$(tan\ x)'=sec^2x$$

$$(cot\ x)'=-csc^2x$$

Tips

• 一个式子里面重复次数太多的东西可以换个元

• 别忘了导数可以用定义算

• 对于 $|f(x)|$ 在 $x=x_0$ 处可导，考虑 $x_0$ 处的左右导数，一个 $\geq0$ 一个 $\leq0$ 即可 $\Rightarrow$ $(|f(x)|)'\bigg|_{x=x_0}=0$

• 分段点不可随意归入某一区间， 应单独用定义求导

• 用求导公式前应该明确是否可导，若没说，计算导数应用极限定义式算

• 题目里给 $\alpha(x)$ 不妨两边求个极限，那它不就是 $0$ 了

• 分式的极限看看能不能化成导数，可能有意外之喜

Chap3中值定理与导数的应用

常用麦克劳林公式

$$e^x=\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$$

$$ln(x+1)=0+\frac{x}{1}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$$

$$sin\ x=\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^m\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}+o(x^{2m+1})$$

$$cos\ x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^m\frac{x^{2m}}{(2m)!}+o(x^{2m})$$

拉格朗日中值定理

一般写成 $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=f'(\xi)$

不过注意这个公式并不只这么用，另有$f'(\xi)=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$ 和 $f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)f'(\xi)$。两个都特别重要特别好用。

Tips

• 同时出现 $f'(x)$ 和 $f(x)$ 考虑用拉格朗日中值定理。此时若涉及到 $x \to \infty$ ，考虑取区间 $[x,2x]$ ，则有 $\frac{f(2x)-f(x)}{x}=f'(\xi)$， 再两边对 $x$ 取极限，等式右边就有 $\lim \limits_{x \to \infty}f'(x)$ 了。

• 式子中含有不知道是否可导的东西（比如说直愣愣来个 $f(x)$)，不能用洛必达法则

• 判断是否是拐点，看 $f''(x)$ 是否在某区间不变号，特别地，如果有 $\lim \limits_{x \to x_0}f(x)=A,(A\neq0)$ ，则可利用局部保号性来说明其符号不变

• 看起来要用罗尔中值定理的，但又不直观，构造和差积商包括 $e^{f(x)},ln(f(x))$ 之类的东西凑导数。

• 用中值定理时，同时有两个变量($a,b$或$x,y$)时，对式子适当变形，把同一个变量整合到一块，然后构造柯西中值定理

• 看不出是咋玩的中值定理，用泰勒展开到2阶，可能会有新大陆

Chap4Chap5Chap6 不定积分与定积分，广义定积分

不定积分要+C

不定积分公式

$$\int\frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C$$

$$\int\frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln\frac{x-a}{x+a}+C$$

$$\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C$$

$$\int\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx=ln(x+\sqrt{x^2\pm a^2})+C$$

某些公式与性质

$$\Bigg|\int^{b}_{a}f(x)dx\Bigg|\leq \int^{b}_{a}|f(x)|dx$$

变上下限积分求导：

$$\frac{d}{dx}(\int^{\psi(x)}_{\phi(x)}f(t)dt)=f(\psi(x))\psi'(x)-f(\phi(x))\phi'(x)$$

参数方程面积:

$$\begin{equation}\nonumber \left\{ \begin{array}{lcl} x=\phi(t) \\ y=\psi(t) \end{array} \right. \end {equation} \ t\in [0,T]\\ S=\int^{T}_{0}ydx=\int^{T}_{0}\psi(t)d(\phi(t))$$

柯西不等式：

$$\int^{b}_{a}f^2(x)dx\cdot \int^{b}_{a}g^2(x)dx \geq \Bigg[\int^{b}_{a}f(x)g(x)dx\Bigg]^2$$

积分中值定理：

$$\int^{b}_{a}f(x)g(x)dx=f(\xi)\int^{b}_{a}g(x)dx\ (\xi\in(a,b))$$

Tips

• 分母是多项式，若能因式分解，则因式分解，按有理函数做；若为二次多项式，直接看能不能配方然后积 $\alpha arctan\ \beta x$

• 广义定积分计算的时候写成取极限的形式，如

$$\int^{2}_{1}\frac{dx}{x\sqrt{3x^2-2x-1}}=\lim \limits_{\epsilon \to 0^+ }\int^{2}_{1+\epsilon}\frac{dx}{x\sqrt{3x^2-2x-1}}$$

• 二次多项式配方然后三角换元

• 定积分积分变量换元的时候注意积分上下限的改变

• 分段函数不定积分要看间断点，把两边的 $C_1,C_2$统一起来。一般的，题里面对具体值有约束的要把 $C$ 搞出来

• 变上限不定积分就要往求导上靠（太简单的就不说了），洛必达可以求导，分部积分可以求导，等式两边求导等。注意若对 $x$ 求导而积分变量为 $t$ ，$x,t$ 都有的项要想办法分离出来，即 $x$ 与被积式无关

Chap7 微分方程

公式

1.一阶齐次线性微分方程

$$y'+P(x)y=0 \\ \Rightarrow y=Ce^{-\displaystyle\int P(x)dx}$$

2.一阶线性微分方程

$$y'+P(x)y=Q(x) \\ \Rightarrow y=(\int Q(x)e^{\displaystyle\int P(x)dx}dx+C)e^{-\displaystyle\int P(x)dx}$$

3.1换元

$$u=\frac{y}{x} \\ \Rightarrow\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$$

3.2换元

$$z=y^{1-a} \\ y^{-a}y'=\frac{dz}{dx}\cdot\frac{1}{1-a}$$

4.二阶常系数齐次线性微分方程
形如

$$y''+py'+qy=0$$
则其特征方程为
$$\lambda^2+p\lambda+q=0$$
上述方程的根称为特征根，由特征根可以直接写出通解
4.1两不等实根 $\lambda_1\neq\lambda_2$

$$y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$$

4.2两相等实根 $\lambda_1=\lambda_2=\lambda$

$$y=e^{\lambda x}(C_1+C_2x)$$

4.3一对共轭复根 $\lambda_1=\alpha+i\beta,\ \lambda_2=\alpha-i\beta$

$$y=e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)$$

4.4对于高于2阶的上述方法同样适用，方法略有不同，见课本

5.二阶常系数线性微分方程

求一个特解，不细说了

6.欧拉方程
形如：

$$x^ny^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}+p_2x^{n-2}y^{(n-2)}+\cdots+p_{n-1}xy'+p_ny=f(x)$$

令 $x=e^t$ 即 $t=lnx$ ，则 $\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}$

此时有 $y'=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}$ ， $y''=\frac{1}{x^2}(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt})$

如果用 $D$ 表示 $\frac{d}{dt}$（这里只考虑记法即形式上而不考虑其含义），则有

$$x^ky^{(k)}=x^k\frac{d^ky}{dx^k}=D(D-1)\cdots(D-k+1)y$$

这是一个由 $y$ 及 $y$ 的高阶阶导数组成的多项式，所以接下来可以按4、5的解法去做

常数变易法

• 一阶线性微分方程，求解非齐次的时候可以把对应其次方程求解公式中的 $C$ 变成 $C(x)$