欧拉函数的狄利克雷前缀和

数学

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关于这个问题，我search了好长时间终于发现一个令人满意的答案。

命题：

$$\sum_{d|n}\varphi(d)=n$$

证明：

$$\begin{equation*} \because n=\prod_{i=1}^{m}p_i^{a_i}\\ 又\because \varphi(n) 是积性函数\\ \therefore \sum_{d|n}=\sum_{d|n}\prod_{i=1}^{m}\varphi(p_i^{j})\times[p_i^j|d]\\ \begin{aligned} 对上式因式分解可得\ 右边&=\prod_{i=1}^{m}(\sum_{j=0}^{a_i}\varphi(p_i^j))\\ &=\prod_{i=1}^{m}(\sum_{j=1}^{a_i}(p_i^j-p_i^{j-1})+1)\\ &=\prod_{i=1}^{m}p_i^{a_i}\\ &=n \end{aligned} \end{equation*}$$

证毕